资源简介

2.3.1　两条直线的交点坐标
学案设计(一)
学习目标
1.会求两条直线的交点坐标.
2.理解两条直线的位置关系与方程组的解之间的关系.
3.理解过两条直线交点的直线系方程,理解直线系方程并能初步应用.
自主预习
1.两条直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0
点A在直线l上 　　　　　　　
直线l1与l2的交点是A 方程组 的解是　　　　
2.两条直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 　　　 零个
直线l1与l2的位置关系 　 重合 　
课堂探究
例1　求直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点坐标.
变式训练　将第一条直线的方程改为4x+2y+3=0,这两条直线的交点坐标是什么
例2　判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标.
(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;
(2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;
(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.
思考:对于两条直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.若方程组有唯一解,有无数组解,无解,则两直线的位置关系如何
问题:当λ变化时,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形 图形有何特点
核心素养专练
1.下列各直线中,与直线2x-y-3=0相交的是 (　　)
A.2ax-ay+6=0(a≠0) B.y=2x+3
C.2x-y+a=0 D.2x+y-6=0
2.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,则点N的坐标是(　　)
A.(-2,-3) B.(2,1)
C.(2,3) D.(-2,-1)
3.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p=(　　)
A.24 B.20 C.0 D.-4
4.求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点,且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程.
5.求过两条直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程.
(1)过点(2,1);(2)和直线3x-4y+5=0垂直;
(3)和直线2x-y+6=0平行.
参考答案
自主预习
1.Aa+Bb+C=0　
2.无数个　相交　平行
课堂探究
例1　解 解方程组
故l1与l2的交点坐标为(-2,2).
变式训练　解 解方程组该方程组无解,所以两条直线没有交点.
例2　解 (1)解方程组
所以l1与l2相交,交点的坐标为.
(2)解方程组
①×2-②得9=0,矛盾,这个方程组无解,所以l1与l2无公共点,l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得6x+8y-10=0,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
思考:若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的横纵坐标;
若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;
若方程组有无数个解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合.
问题:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线.
核心素养专练
1.D　解析 直线2x-y-3=0的斜率为2,D选项中的直线的斜率为-2,两直线相交,故选项D符合题意.
2.C　解析 将A,B,C,D四个选项代入x-y+1=0可知A,B错误,又MN与x+2y-3=0垂直,可知D错误,故选C.
3.B　解析 因为两直线互相垂直,所以k1·k2=-1,
所以-=-1,所以m=10.
又因为垂足为(1,p),所以代入直线10x+4y-2=0得p=-2,将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0得n=-12,所以m-n+p=20.
4.解法1 解方程组
所以两条直线交点坐标为(3,-1).
又因为x+3y-5=0的斜率是-,
所以所求直线的斜率为3,
故所求直线方程为y+1=3(x-3),即3x-y-10=0.
解法2 所求直线在直线系(2x-y-7)+λ(x+2y-1)=0中,
经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0,
所以-=3,解得λ=.
故所求直线方程为3x-y-10=0.
5.解 (1)设经过两条直线交点的直线方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
整理得(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0.
∵直线l过点(2,1),
∴2×(1+λ)+1×(λ-2)+(4-2λ)=0,
∴λ=-4,∴直线的方程为x+2y-4=0.
(2)同(1),∵直线l和直线3x-4y+5=0垂直,
∴3×(1+λ)-4×(λ-2)=0,
∴λ=11,
∴直线的方程为4x+3y-6=0.
(3)∵直线l和直线2x-y+6=0平行,
∴,
∴λ=1,
故所求直线的方程为2x-y+2=0.
学案设计(二)
学习目标
1.会求两条直线的交点坐标.
2.理解两条直线的位置关系与方程组的解之间的关系.
3.理解过两条直线交点的直线系方程,理解直线系方程并能初步应用.
自主预习
预习教科书第70到71页内容,完成以下问题:
1.判断正误.
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交. (　　)
(2)若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交. (　　)
(3)当两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线相交. (　　)
2.直线x-2y+3=0与直线2x-y+3=0的交点坐标为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(-1,-1)
3.判断以下两组直线交点个数,并分析原因:
(1)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(2)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
课堂探究
一、温故知新
1.复习回顾:如何判定两条直线平行或垂直
2.情境问题:直线x+y-2=0与直线x-y=0的位置关系是什么
二、讲授新课
1.探究新知
(1)提出问题:
①已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上
②已知l1:2x+3y-7=0,l2:5x-y-9=0,在同一平面直角坐标系中画出两直线,并判断下列各点分别在哪条直线上:A(1,-4),B(2,1),C(5,-1).
③由题②可以看出点B与直线l1,l2有什么关系
④请试着总结求两条直线交点的一般方法.
(2)尝试解决:试求以下两组直线的交点:
①l1:4x-y+4=0,l2:8x-2y-1=0;
②l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.
2.建构数学
(1)两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解;
(2)两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系;
(3)归纳总结解题过程中运用的思想方法(数形结合).
3.学以致用
活动一　由交点求参数值或范围
例1　(1)若方程组有且只有一组解,则k的取值范围是　　　　　.
(2)若两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k=　　　　　.
活动二　求过两条直线交点的直线方程
例2　已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
尝试探究:2x+3y+8+λ(x-y-1)=0表示什么图形 图形有什么特点
思考:对于例2还有不同的解决方法吗
核心素养专练
1.(多选题)已知两条直线l1:(a-2)x+3y+2a=0,l2:x+ay+6=0,则下列结论正确的是(　　)
A.当a=时,l1⊥l2
B.若l1∥l2,则a=-1或a=3
C.当a=2时,l1与l2相交于点
D.直线l1过定点
2.经过两直线l1:2x-3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且平行于直线l3:4x-2y+7=0的直线方程是　　　　　.
3.判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点坐标:
(1)l1:x-2y+1=0,l2:x-2y+3=0;
(2)l1:3x+2y-1=0,l2:x+5y+4=0;
(3)l1:=1,l2:y=-3x+8.
4.设m为实数,已知三条直线x+y-3=0,3x-y-1=0和2x+3y+m=0相交于一点,求m的值.
5.已知点A(2,4),直线l:x-2y+1=0,且点M在直线l上,AM⊥l,求点M的坐标.
6.设a为实数,若直线ax+2ay+1=0垂直于直线(a-1)x-(a+1)y-1=0,求垂足的坐标.
7.已知直线2x+ay-1=0与x+4y-2=0的交点在第一象限,求a的取值范围.
8.求证:不论λ为何实数,直线(2x+y-4)+λ(3x-2y+1)=0恒过定点.
9.经过点A(1,0)的直线l被两条直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰被点A平分,求直线l的方程.
参考答案
自主预习
1.(1)√　(2)√　(3)√
2.A
3.(1)l1和l2重合,有无数个交点;
(2)l1和l2平行,无交点.
课堂探究
一、温故知新
1.根据直线的斜率,当斜率存在时,两条直线斜率相等,则平行;斜率乘积为-1,则垂直.
当斜率都不存在时,两条直线平行;当一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时,则垂直.
2.垂直.
二、讲授新课
1.探究新知
(1)提出问题
①若点在直线上,则点的坐标适合直线方程;
②画图略.点A在l2上;点B既在l1上又在l2上;点C在l1上;
③点B为l1,l2的交点;
④联立方程可得该方程组的解就是点B的横纵坐标.
(2)尝试解决:①无解;②无数组解.
3.学以致用
例1　(1){k|k≠2}　(2)±6　解析 (1)当直线kx-6y=0与y=x+平行时,k=2,
此时方程组无解,又两直线不重合,
故当方程组有且只有一组解时,k≠2.
(2)在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=,
将代入x-ky+12=0中,解得k=±6.
例2　B　解析 由解得故交点坐标为(-1,-2).
又因为直线l过原点,所以直线l的方程为2x-y=0.
尝试探究:过直线2x+3y+8=0与直线x-y-1=0交点的一组直线.
思考:解 有,方法如下:
设所求直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,
即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,
因为l过原点,所以λ=8.
故所求直线l的方程为2x-y=0.
核心素养专练
1.ACD　解析 因为l1:(a-2)x+3y+2a=0,l2:x+ay+6=0,
对于A:当a=时,l1:-x+3y+1=0,l2:x+y+6=0,则=-2,所以=-2×=-1,所以l1⊥l2,故A正确;
对于B:若l1∥l2,则(a-2)×a=1×3,解得a=-1或a=3,当a=-1时,l1:-3x+3y-2=0,l2:x-y+6=0满足题意,当a=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0,l1与l2重合,故a=3舍去,所以a=-1,故B错误;
对于C:当a=2时,l1:3y+4=0,l2:x+2y+6=0,则解得即两条直线的交点为,故C正确;
对于D:l1:(a-2)x+3y+2a=0,即(x+2)a+3y-2x=0,令可知直线l1过定点,故D正确.
故选ACD.
2.2x-y-18=0　解析 由解得
所以直线l1与l2的交点坐标是(14,10).
设与直线4x-2y+7=0平行的直线l的方程为4x-2y+c=0(c≠7).
因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10),
所以c=-36,
从而直线l的方程为4x-2y-36=0,即2x-y-18=0.
3.解 (1)因为k1=k2=,令x=0,y1=,y2=,y1≠y2,所以l1∥l2;
(2)因为k1=-,k2=-,k1≠k2,所以两直线相交,联立解得所以交点坐标为(1,-1);
(3)因为k1=-2,k2=-3,k1≠k2,所以两直线相交,联立解得所以交点坐标为(4,-4).
4.解 联立方程组解得x=1,y=2,即交点为P(1,2),
把点P(1,2)代入直线2x+3y+m=0,可得2×1+3×2+m=0,解得m=-8,所以m的值为-8.
5.解 设点M的坐标为(m,n),由题意可得解得
所以点M的坐标为(3,2).
6.解 由直线ax+2ay+1=0知,直线的斜率为k1=-=-,
由直线(a-1)x-(a+1)y-1=0知,直线的斜率为k2=-,
又两直线垂直,所以k1k2=-=-1,解得a=-3,
所以两直线的方程分别为3x+6y-1=0和4x-2y+1=0.
由解得x=-,y=,
即垂直的两直线的垂足坐标为.
7.解 由题意,两条直线相交于一点,即两条直线不平行,故a≠8.
由解得
即两条直线的交点坐标为.
因为交点在第一象限,所以解得a<2.
故a∈(-∞,2).
8.证明 由
解得
故当时,不论λ为何实数,(2x+y-4)+λ(3x-2y+1)=0恒成立,
即不论λ为何实数,直线(2x+y-4)+λ(3x-2y+1)=0恒过定点(1,2).
9.解 当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=1,两交点为(1,2),(1,-3),不满足所截得的线段恰好被点A平分,
当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x-1),k≠2,且k≠-1,
联立方程组可得A,
同理联立方程组可得B,
由中点坐标公式得=2,
解得k=8,
所以直线l的方程为y=8(x-1)=8x-8.

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