资源简介

2.3.2　两点间的距离公式
学案设计
学习目标
1.掌握平面内两点间的距离公式.
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
自主预习
1.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=　　　　　　　　.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=　　　　　　　　.
2.对两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序　　　　　.
(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=　　　　　.
当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=　　　　　.
课堂探究
1.探究新知
问题:如图,已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2间的距离|P1P2|
方法1:
方法2:
思考:当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|怎么表示 当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|怎么表示
【学以致用】
求下列两点间的距离:
(1)A(6,0),B(-2,0);(2)C(0,-4),D(0,1);
(3)P(6,0),Q(0,-2);(4)M(2,1),N(5,-1).
【例题讲解】
例1　已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
例2　用坐标法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
变式训练　用坐标法证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
核心素养专练
1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是(　　)
A.2 B.3 C. D.
3.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),则当|AB|取最小值时,实数a的值是(　　)
A.- B. C.- D.
4.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　)
A.2 B.4 C.5 D.
5.已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　)
A.5 B. C.5 D.2
6.如图,已知△ABC的三顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
7.试在直线x-y+4=0上求一点P,使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等.
8.在△ABC中,AD是BC边上的中线.求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
参考答案
自主预习
1.
2.(1)无关　(2)|x1-x2|　|y1-y2|
课堂探究
问题:
方法1:由点P1(x1,y1),P2(x2,y2),得=(x2-x1,y2-y1),于是||=.
由此得到P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为||=.
方法2:如图,以P1P2为斜边构造一个Rt△P1P2Q,则点Q的坐标为(x2,y1).
所以|P1Q|=|x2-x1|,|P2Q|=|y2-y1|,
由勾股定理得|P1P2|=.
思考:当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x1-x2|;当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y1-y2|.
【学以致用】
解 (1)|AB|=8;(2)|CD|=5;(3)|PQ|=2;
(4)|MN|=.
【例题讲解】
例1　解 设所求点为P(x,0),则
|PA|=,
|PB|=,
由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.
所以,所求点为P(1,0),且|PA|==2.
例2　证明 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,以顶点A为原点,边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
在 ABCD中,点A的坐标是(0,0),设点B的坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c),由平行四边形的性质,得点C的坐标为(a+b,c).
由两点间的距离公式,得|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2,|AB|2=a2,|AD|2=b2+c2.
所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2),|AB|2+|AD|2=a2+b2+c2.
所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
变式训练　证明 如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以直角顶点C为原点,两条直角边AC,BC所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
在Rt△ABC中,有C(0,0),设A(a,0),B(0,b),则有M,
所以|MC|=,|AB|=,所以|MA|=|MB|=|MC|=|AB|.
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
核心素养专练
1.C　解析 ∵|AB|==5,
∴a=-5或a=1.
2.C　解析 由题意知BC的中点D的坐标为,则|AD|=.
3.D　解析 由题意知|AB|=,所以当a=时,|AB|取得最小值.
4.D　解析 根据中点坐标公式可得=1且=y,解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),则点P(x,y)到原点的距离d=.
5.D　解析 两定点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0的同侧,
设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),
则解得即C(4,-2).
所以|PA|+|PB|的最小值为|BC|==2.
6.解 (1)方法1:∵|AB|==2,
|AC|==2,
|BC|==2,
∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
∴△ABC是等腰直角三角形.
方法2:∵kAC=,kAB==-,
∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.
又|AC|==2,
|AB|==2,
∴|AC|=|AB|,∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)S△ABC=|AC|·|AB|=×()2=26,
即△ABC的面积为26.
7.解 由直线x-y+4=0,得y=x+4,因为点P在该直线上,所以可设点P的坐标为(a,a+4).
由已知可得|PM|=|PN|,
所以
=,
即.
所以(a+2)2+(a+8)2=(a-4)2+(a-2)2.
解得a=-,从而a+4=-+4=.
故所求点P的坐标为.
8.证明 以边BC所在直线为x轴,以D为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,
设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0).
∵|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,
∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),
|AD|2+|DC|2=a2+b2+c2,
∴|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).

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