资源简介

2.3.3　点到直线的距离公式
学案设计(一)
学习目标
1.探索并掌握点到直线的距离公式.
2.学会点到直线距离公式的应用.
3.通过经历公式多种推导方案的设计及比较,领会特殊到一般、转化与化归、分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想.
自主预习
点到直线的距离:
1.定义:点到直线的　　　　　的长度.
2.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=　　　　　　　　　　.
课堂探究
一、温故知新
平面直角坐标中两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为　　　　　　　　　　　　　　　.
二、探究新知
问题:在平面直角坐标系中,求点P(1,2)到直线l:x+y-5=0的距离.
法1:
法2:
法3:
法4:
问题一般化:在平面直角坐标系中,求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离.
点到直线的距离公式:　　　　　　　　　　　　　.
例题讲解
例1　求点P(-1,2)到下列直线的距离:
(1)y=x-1;(2)=1;
(3)3x=2;(4)5x+2y+1=0.
例2　已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.
核心素养专练
1.若点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(7,+∞) B.(-∞,-3)
C.(-∞,-3)∪(7,+∞) D.(-3,7)∪(7,+∞)
2.已知P(a,b)是第二象限的点,则它到直线x-y=0的距离是(　　)
A.(a-b) B.b-a
C.(b-a) D.
3.如果直线l经过两直线2x-3y+1=0和3x-y-2=0的交点,且与直线y=x垂直,则原点到直线l的距离是(　　)
A.2 B.1
C. D.2
4.(多选题)过点P(1,2)引直线,使M(2,3),N(4,-5)两点到它的距离相等,则这条直线的方程为(　　)
A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0
C.2x+3y-7=0 D.3x+2y-7=0
5.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 (　　)
A.1 B. C. D.2
6.已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标为　　　　　.
7.已知P(m,n)是直线2x+y+5=0上的任意一点,则的最小值为　　　　　.
8.已知正方形ABCD的边CD所在直线的方程为x+3y-13=0,对角线AC,BD的交点为P(1,5),求正方形ABCD其他三边所在直线的方程.
参考答案
自主预习
1.垂线段
2.
课堂探究
一、温故知新
|P1P2|=
二、探究新知
问题:法1:垂线段法
图1
如图1,过点P作PQ⊥l于点Q.
步骤一:求出直线PQ的方程:x-y+1=0;
步骤二:联立直线PQ,l的方程,求出交点Q的坐标为(2,3);
步骤三:求出距离,|PQ|=.
法2:解直角三角形法
图2
如图2,在图1的基础上,过点P作PR∥x轴交直线l于点R.
步骤一:求出点P到直线l的水平距离|PR|=2;
步骤二:在Rt△PQR中,∠PRQ=45°,
故|PQ|=|PR|sin∠PRQ=.
法3:等面积法
如图3,在图2的基础上,过点P作PS∥y轴交直线l于点S.
图3
步骤一:求出Rt△SPR的三条边的长.
易得,|PR|=2,|PS|=2,|RS|=2.
步骤二:利用等面积法求出斜边上的高.
|PQ|=.
法4:目标函数法
步骤一:求出点P到直线l上任一点M(x,y)的距离的平方:
|PM|2=(x-1)2+(y-2)2.
步骤二:消元,转化为一元二次函数;
|PM|2=2x2-8x+10=2(x-2)2+2,x∈R.
步骤三:求目标函数的最小值;当且仅当x=2时,取到最小值2;此时,|PM|=.
问题一般化:等面积法
图4
步骤一:过点P作x轴、y轴的垂线,分别交直线l于M,N两点,构造直角三角形MPN,则PQ为斜边上的高(如图4);
步骤二:求出直角三角形三条边的长;
易得,|PM|=,
|PN|=,
|MN|=;
步骤三:利用等面积法求出|PQ|.
|PQ|=.
注意:A,B必须都不等于0,验证A=0或B=0时,该公式成立.
点到直线的距离公式:d=.
例题讲解
例1　解 (1)3;(2);(3);(4)0.
例2　解 设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|h.
|AB|==2,
kAB==-1,所以直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
则点C到直线AB的距离为h=,
故△ABC的面积为S=×2=5.
核心素养专练
1.C　解析 根据题意,得>3,解得a>7或a<-3.故选C.
2.C　解析 ∵P(a,b)是第二象限的点,
∴a<0,b>0,∴a-b<0.
∴点P到直线x-y=0的距离d=(b-a).
3.C　解析 由题意建立方程组
解得即直线2x-3y+1=0与直线3x-y-2=0的交点坐标为(1,1).
∵直线l与直线y=x垂直,∴直线l的斜率k=-1.
∴直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
∴原点到直线l的距离d=.
4.AD　解析 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0).
∵直线过点(1,2)且M(2,3),N(4,-5)到它的距离相等,
∴
由②可得A=4B或3A-B+C=0,
代入①中得A=4B,C=-6B或2A=3B,-7A=3C.
∴所求直线方程为4Bx+By-6B=0或3Ax+2Ay-7A=0,即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.故选A,D.
5.B　解析 (方法1)由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=.当k=0时,d=1;当k≠0时,d=,要使d最大,需k>0且k+最小,所以当k=1时,dmax=,故选B.
(方法2)设点A(0,-1),直线l:y=k(x+1),由l过定点B(-1,0),知当AB⊥l时,距离最大,最大值为.
6.(-1,0)或　解析 由两点式得直线AB的方程为,即3x+4y-17=0.
由|AB|=5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4.
设点C的坐标为(x,3x+3),
利用点到直线的距离公式d==4,解得x=-1或x=.
故点C的坐标为(-1,0)或.
7.　解析 求的最小值,即求点P(m,n)与点(0,0)的距离的最小值,也就是点(0,0)到直线2x+y+5=0的距离,所以的最小值d=.
8.解 设点P(1,5)到lCD的距离为d,则d= .
因为lAB∥lCD,所以可设lAB:x+3y+m=0(m≠-13).
点P(1,5)到lAB的距离也等于d,则 .
又因为m≠-13,所以m=-19,
即lAB:x+3y-19=0.
因为lAD⊥lCD,所以可设lAD:3x-y+n=0,
则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离,且都等于d=,即,解得n=5或n=-1,
则lAD:3x-y+5=0,lBC:3x-y-1=0.
所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x+3y-19=0,3x-y+5=0,3x-y-1=0.
学案设计(二)
学习目标
1.探索并掌握点到直线的距离公式.
2.学会点到直线距离公式的应用.
3.通过经历公式多种推导方案的设计及比较,领会特殊到一般、转化与化归、分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想.
自主预习
预习教材内容,并思考以下问题
一、知识梳理
1.点到直线距离的坐标法推导.
2.点到直线距离的向量法推导.
3.点到直线的距离
(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得　　　　　的长度.
(2)公式:d=　　　　　　　　　　.
二、及时评价
1.判断正误.
(1)已知点P和直线l:Ax+By+C=0,当A=0或 B=0或点P在直线l上时,点到直线的距离公式仍然适用. (　　)
(2)点P(x0,y0)到x轴的距离是d=y0. (　　)
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C.2 D.
3.已知点(m,2)到直线x+y-4=0的距离等于,则m的值为　　　　　.
课堂探究
问题1:求点P(-1,2)到直线l1:2x+y-5=0的距离.
问题2:一般化:怎样求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d
法1:
法2:
思考:获得了哪些方法
概念形成——点到直线的距离
1.定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得　　　　　　　　的长度.
2.图示:
3.公式:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=　　　　　　　　.
例题讲解
例1　求点P(2,-3)到下列直线的距离:
(1)y=x+;(2)3y=4;(3)x=3.
例2　已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
变式训练　若将本例2改为“已知直线l经过点M(-1,2),A(2,3),B(-4,5)两点在直线l的同侧且到直线l的距离相等”,则所求直线l的方程为　　　　　　　　.
核心素养专练
1.若直线x+y-1=0与直线x-2y-4=0交于点P,则点P到直线2x+y-1=0的距离为(　　)
A. B. C. D.
2.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
3.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,4),B(-2,-1),C(4,1),求△ABC的面积.
4.已知直线l经过点A(-1,3),且点P(1,-1)到直线l的距离为2,求直线l的方程.
5.已知直线l的斜率为-,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,写出直线m的斜截式方程.
6.已知G(-1,0)为正方形的中心,且这个正方形的一边所在的直线方程为x-3y-5=0,求这个正方形其他三条边所在的直线的方程.
7.已知点A(1,3)关于直线l:y=x-3的对称点为B,求点B到直线l的距离.
8.已知直线l1:x+3y-3m2=0和直线l2:2x+y-m2-5m=0相交于点P(m∈R).
(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标;
(2)当m为何值时,点P到直线x+y+3=0的距离最短 并求出最短距离.
参考答案
自主预习
一、知识梳理
1.略
2.略
3.垂线段　
二、及时评价
1.(1)√　(2)×
2.D
3.0或4
课堂探究
问题1:解 过点P作PP1⊥l1,垂足为P1,则点P到直线l1的距离即为PP1的长度.
设直线PP1的方程为x-2y+C=0,又因为直线过点P,所以-1-2×2+C=0,解得C=5,所以直线PP1的方程为x-2y+5=0.
解方程组解得即P1(1,3),
所以|PP1|=,
即点P到直线l1的距离为.
问题2:解法1 坐标法:
设过点P与直线l垂直的直线方程为Bx-Ay+C1=0,又因为直线过点P(x0,y0),则Bx0-Ay0+C1=0,即C1=-Bx0+Ay0,所以该直线的方程为Bx-Ay-Bx0+Ay0=0.
设两条直线的交点为P1(x1,y1),则PP1⊥l,垂足为P1(x1,y1),则d=.
将P1(x1,y1)代入方程得Bx1-Ay1-Bx0+Ay0=0,①
Ax1+By1+C=0,②
B(x1-x0)-A(y1-y0)=0,③
在②式的左右两边同时减去Ax0,By0并整理得
A(x1-x0)+B(y1-y0)=-(Ax0+By0+C).④
将③式和④式平方求和可得
(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2.⑤
因此(x1-x0)2+(y1-y0)2=,
从而d=.
解法2 向量法:
如图,点P到直线l的距离,就是向量的模,设M(x,y)是直线l上的任意一点,n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,则在n上的投影向量,||=|·n|.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0上的任意两点,则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的方向向量.把Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0两式相减,得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.
由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直.向量(A,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量.我们取n=(A,B),
从而·n=(x-x0,y-y0)·(A,B)=[A(x-x0)+B(y-y0)]=(Ax+By-Ax0-By0).
因为点M(x,y)在直线l上,所以Ax+By+C=0.所以Ax+By=-C.代入上式,
得·n=(-Ax0-By0-C),
因此|PQ|=||=|·n|=.
思考:1.坐标法:思路清晰明了,计算量较大,采取“设而不求”的方法简化计算;
2.向量法:运算量小,体现向量工具的作用.
概念形成
1.垂线段
2.
3.
例题讲解
例1　解 (1)y=x+可化为4x-3y+1=0,
则点P(2,-3)到该直线的距离为.
(2)3y=4可化为3y-4=0,
则点P(2,-3)到该直线的距离为.
(3)x=3可化为x-3=0,
则点P(2,-3)到该直线的距离为=1.
例2　解 (方法1)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,
恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
即,解得k=-,
此时直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
(方法2)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,直线l的斜率为kl,则kAB=kl=-,
此时直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
变式训练　x+3y-5=0　解析 将例2中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.
核心素养专练
1.B　解析 联立解得
可知点P的坐标为(2,-1),所以点P到直线2x+y-1=0的距离为.
2.解 (1)由点斜式方程得y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.
(2)设直线m的方程为3x+4y+c=0,则由点到直线的距离公式得=3,
解得c=1或c=-29.
所以直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
3.解 由题意得直线AB的斜率为kAB=,所以直线AB的方程为y+1=(x+2),即5x-3y+7=0.
点C到直线AB的距离为.
由题意得|AB|=.
所以△ABC的面积为=12.
4.解 当直线l的斜率不存在时,满足题意,此时直线方程为x=-1;
当直线l的斜率k存在时,设直线方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0,
由题意得=2,所以k=-.
所以直线方程为3x+4y-9=0.
综上得直线l的方程为x=-1或3x+4y-9=0.
5.解 (1)根据题意,直线kx-y+2k+5=0,
即y-5=k(x+2),过定点(-2,5),
因为直线l的斜率为-,且过点(-2,5),
其方程为y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0,
所以直线l的一般式方程为3x+4y-14=0.
(2)根据题意,若直线m平行于直线l,
设直线m的方程为y=-x+b,
则3=,解得b=-或b=.
所以直线m的斜截式方程为y=-x-或y=-x+.
6.解 G(-1,0)到直线x-3y-5=0的距离d=,
设与直线x-3y-5=0相对的边所在直线方程为x-3y+c=0,
则由,解得c=7或c=-5(舍去),
所以与直线x-3y-5=0相对的边所在直线方程为x-3y+7=0.
由垂直关系可设另外两边所在直线方程为3x+y+t=0,
可得,解得t=9或t=-3,
所以另外两边所在直线的方程为3x+y+9=0,3x+y-3=0.
7.解 ∵点A(1,3)关于直线l:y=x-3的对称点为B,
∴点B到直线l的距离等于点A到直线l的距离,
∴d=,
即点B到直线l的距离为.
8.解 (1)解方程组
由①×2-②,得y=m2-m,③
把③代入①,得x=3m,
所以点P的坐标为(3m,m2-m).
(2)设点P到直线x+y+3=0的距离为d,
则d=,
所以当m=-1,即点P的坐标为(-3,2)时,d取得最小值.

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