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2.4.1　圆的标准方程
学案设计(一)
学习目标
1.会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程的特点.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
3.能准确判断点与圆的位置关系.
自主预习
知识点一:圆的标准方程
1.圆的定义:平面上到　　　　　的距离等于　　　　　的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
2.圆的要素:　　　　　和　　　　　,如图所示.
3.圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是　　　　　　　　　　.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点为圆心、r为半径的圆.
知识点二:点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法:
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2
点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2
点M在圆内 |CM|课堂探究
探究一:圆的标准方程
问题1:在平面中,圆的定义是什么 如何用集合语言描述
问题2:在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢
问题3:圆的特征是什么 通过哪些要素刻画圆
探究二:点与圆的位置关系
例1　(1)判断下列方程是否为圆的方程:
①(x-2)2+y2=4;②x2+(y+1)2=m2(m∈R).
(2)求圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7),M2(-2,-1)是否在这个圆上.
(3)点M0(x,y)在圆x2+y2=r2内的条件是什么 在圆x2+y2=r2外的条件又是什么
探究三:求圆的标准方程
例2　写出下列各圆的标准方程:
(1)圆心为C(-3,4),半径是;
(2)圆心为C(-8,3),且经过点M(-5,-1);
(3)以线段AB为直径的圆,其中A(5,1),B(7,-3);
(4)△ABC的外接圆,其中A(5,1),B(7,-3),C(2,-8).
例3　已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程.
核心素养专练
1.以A(-3,-1)和B(5,5)两点为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x+1)2+(y+2)2=100
B.(x-1)2+(y-2)2=100
C.(x+1)2+(y+2)2=25
D.(x-1)2+(y-2)2=25
2.(多选题)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值不可能是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.- C. D.2
3.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　　.
4.与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.
5.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
参考答案
自主预习
知识点一:
1.定点　定长
2.圆心　半径
3.(x-a)2+(y-b)2=r2
知识点二:=　>　<
课堂探究
探究一:
问题1:平面上,到定点的距离等于定长的点的集合,称为圆;其中,定点称为圆心,定长称为半径.设☉A的圆心为点A,半径为r,则☉A就是以下点的集合:P={M||MA|=r}.
问题2:圆心在原点上的圆的方程x2+y2=r2;圆心不在原点上,设圆心为A(a,b),则圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
问题3:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小,通过圆心和半径这两个要素来刻画圆.
探究二:
例1　解 (1)①是圆心为(2,0),半径为2的圆的方程;
②当m=0时,不是圆的方程;当m≠0时,是圆心为(0,-1),半径为|m|的圆的方程.
(2)圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5,-7)的坐标代入方程成立,即点M1的坐标满足圆的方程,所以点M1在圆上;
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程不成立,即点M2的坐标不满足圆的方程,所以点M2不在圆上.
(3)根据圆的定义,点M0在圆x2+y2=r2内的条件是点M0到圆心(0,0)的距离小于半径r,即x2+y2r2.
探究三:
例2　解 (1)(x+3)2+(y-4)2=5.
(2)解法1(几何法):设圆C的半径为r,则r==5,所以圆C的标准方程是(x+8)2+(y-3)2=25.
解法2(代数法):设圆C的标准方程是(x+8)2+(y-3)2=r2,将点M(-5,-1)的坐标代入方程得r2=25,所以圆C的标准方程是(x+8)2+(y-3)2=25.
(3)设圆的半径为r,则2r==2,即r=,圆心为线段AB的中点,即(6,-1),所以该圆的标准方程是(x-6)2+(y+1)2=5.
(4)解法1(几何法):设△ABC的外接圆的圆心为M,则点M是线段AB,BC,CA的垂直平分线的交点.
由线段AB的中点(6,-1)及直线AB的斜率kAB==-2,知线段AB的垂直平分线为y+1=(x-6);同理可得线段BC的垂直平分线为y+=-x-.
联立解得即圆心M的坐标为(2,-3).
而半径r=|MA|==5,所以△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
解法2(代数法):设△ABC的外接圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点坐标分别代入方程,联立解出参数a,b,r的值.
此处略,详见教科书P83例2解法.
例3　解法1 (几何法):此处略,详见课本P84~85例3解法.
解法2(代数法):设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将A(1,1),B(2,-2)两点坐标分别代入得到两个方程,再将圆心坐标(a,b)代入直线l的方程可得第三个方程.联立三个方程解出参数a,b,r的值.
核心素养专练
1.D　解析 ∵AB为直径,∴AB的中点(1,2)为圆心,|AB|==5为半径,∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
2.AD　解析 由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-13.(x-2)2+(y-4)2=20　解析 由可得即圆心为(2,4),从而r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
4.(x+5)2+(y+3)2=25　解析 ∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,∴该圆的半径为5,
∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.
5.解 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则有
解得
即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.
学案设计(二)
学习目标
1.会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程的特点.
2.会根据已知条件求圆的标准方程;
3.能准确判断点与圆的位置关系.
自主预习
1.判断正误.
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　)
(2)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. (　　)
(3)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),则圆的半径一定是a. (　　)
2.圆(x-1)2+(y+2)2=2的半径为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C.2 D.4
3.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足(　　)
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
课堂探究
探究一:圆的几何特征及圆的标准方程
(1)欣赏校园里教学楼、体育馆等建筑物的照片,观察装饰图形.
(2)回忆初中所学的圆的定义.
(3)从定义知道,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.解析几何的本质是用代数方法研究几何图形问题,比如直线我们用方程表示,请你们回顾直线方程的推导过程有哪些步骤 类比直线,我们想办法用方程来表示圆,实现代数化.如果已知☉C的圆心坐标为C(a,b),半径长为r,你们能推导出☉C的方程吗
探究二:圆的标准方程
题组1　求下列各圆的圆心坐标和半径长:
(1)(x-1)2+(y-2)2=52;
(2)(x-2)2+(y+3)2=25;
(3)x2+(y-2)2=3;
(4)(x+a)2+(y-b)2=r2(r≠0).
题组2　(1)写出圆心为C(2,-3),半径r=5的☉C的方程,并判断点A(5,-7),B(3,2)是否在这个☉C上,若不在☉C上,请指出在☉C内还是在☉C外.
(2)已知点M(x0,y0),☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).当点M在☉C内时,写出满足的条件;当点M在☉C外时,写出满足的条件.
(3)已知点P(a,4)在圆x2+y2=25的内部,求a的取值范围.
题组3　(1)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,0),B(0,2),C(0,0),求它的外接圆的方程.
(2)已知☉C经过点A(4,0)和O(0,0),且圆心C在直线l:2x+y-5=0上,求☉C的标准方程.
(3)已知☉C经过点O(0,0),且圆心C在直线l:2x+y-5=0上,当圆的半径长最小时,求☉C的标准方程.
核心素养专练
1.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
2.方程(x-1)=0所表示的曲线是(　　)
A.一个圆 B.两个点
C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆
3.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=5
4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的标准方程为(　　)
A.(x+2)2+(y-2)2=1
B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1
D.(x-2)2+(y-2)2=1
5.已知点A(1,2)在圆C:(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.
6.在△ABC中,已知点A(-1,0),B(2,1),AC边上的中线所在直线的方程为y=1,BC边上的高所在直线的斜率为.
(1)求直线BC的方程;
(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.
参考答案
自主预习
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.B
3.C
课堂探究
探究一:
设M(x,y)为☉C上任意一点,那么点M满足的条件是|MC|=r,由两点间的距离公式得|MC|=,所以=r,化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.
根据“曲线与方程”的意义,坐标满足方程的点在曲线上,坐标不满足方程的点不在曲线上,让学生来判断(x-a)2+(y-b)2=r2是不是圆的方程.首先由推导过程可知,点M的坐标(x,y)满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2;然后设是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的任意一组解,则(x1-a)2+(y1-b)2=r2,因为r>0,所以=r,即点N(x1,y1)到点C(a,b)的距离等于r,故点N(x1,y1)在以C(a,b)为圆心,r为半径的圆上.综上所述,圆心坐标为C(a,b),半径长为r的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.求曲线方程时,要注意检验方程的纯粹性和完备性.
探究二:
题组1　解 (1)圆心为C(1,2),半径R=5;(2)圆心为C(2,-3),半径R=5;(3)圆心为C(0,2),半径R=;(4)圆心为C(-a,b),半径R=|r|.
题组2　解 (1)圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25,点A在圆上,点B不在圆上,在圆外.
(2)当点M在圆内时,(x0-a)2+(y0-b)2r2.
(3)由a2+16<25,得-3题组3　解 (1)(解法1)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为圆经过A(4,0),B(0,2),O(0,0)三点,所以它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解得
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(解法2)数学上“数”与“形”形影不离,在坐标系里标出A(4,0),B(0,2),C(0,0)三点,发现AC⊥BC,即△ABC是直角三角形,那么线段AB就是△ABC外接圆的直径,利用中点坐标公式得外接圆的圆心坐标是(2,1),利用两点距离公式可得半径长为.
故所求△ABC外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
因为☉C经过点A(4,0)和O(0,0),且圆心C在直线l:2x+y-5=0上,
所以解得
因此☉C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(3)当OC⊥l时,圆的半径长最小,此时r=.
直线OC的方程为y-0=(x-0),即x-2y=0.
解方程组
所以圆心C(2,1).
故所求☉C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
核心素养专练
1.A　解析 圆心坐标为O(0,0),半径r=.
∵|PO|=,∴点P在圆外.
2.D　解析 (x-1)=0可化为x-1=0或x2+y2=3,因此该方程表示一条直线和一个圆.
3.C　解析 直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.
由
得
所以C(-1,2),
故所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
4.B　解析 设圆C2的圆心为(a,b),则依题意有解得
因为对称圆的半径不变,所以圆C2的半径为1,
所以圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
5.(-∞,0)∪0,　解析 ∵点A(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,∴a<,又2a2>0,∴a≠0.
6.解 (1)因为BC边上的高所在直线的斜率为,所以直线BC的斜率为-2,因为B(2,1),所以直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
(2)设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,
所以=1,解得y0=2.
因为直线BC的方程为2x+y-5=0,
所以2x0+y0-5=0,解得x0=,
所以C,2,
所以所求圆的圆心为线段AC的中点,1,
半径r=,
所以所求圆的方程为x-2+(y-1)2=.

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