资源简介

2.4.2　圆的一般方程
学案设计
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点;
2.会由圆的一般方程求其圆心、半径;
3.会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程,并能简单应用.
自主预习
知识点:圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
当　　　　　　　　时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为　　　　　　　　　,半径长为　　　　　　　　　.
课堂探究
1.数学情境:
方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0.一般地,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)的形式.反过来,形如(*)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
2.探究活动:
研究圆与形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程之间的关系,应讨论以下基本问题:
(1)这类方程是否都是圆的方程
(2)如果这类方程表示圆,其系数D,E,F具有什么条件
(3)这类方程是圆的方程时,能否直接根据系数写出圆的圆心坐标,求出圆的半径
(4)这类方程如果不表示圆,方程表示什么曲线
判断正误.
(1)方程x2+y2+x+1=0表示一个圆. (　　)
(2)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　　)
(3)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　　)
(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　　)
3.迁移运用:
例1　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)写出圆心坐标和半径.
例2　求过O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)三点的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.
核心素养专练
1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.以(1,-2)为圆心,为半径的圆
B.以(1,2)为圆心,为半径的圆
C.以(-1,-2)为圆心,为半径的圆
D.以(-1,2)为圆心,为半径的圆
2.若方程2x2+2y2-ax+=0表示的曲线是圆,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.R
C.(-2,2) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
3.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,3),半径为3的圆,则a,b,c的值依次是(　　)
A.2,6,4 B.-2,6,4
C.2,-6,4 D.2,-6,-4
4.圆x2+y2-2x+6y+6=0的周长是　　　　　.
5.若圆经过两点(2,0)和(0,-4),且圆心在直线y=-x上,则其方程为　　　　　　　　　.
6.求过点A(1,2),B(1,0)且圆心在直线x-2y+1=0上的圆的方程.
参考答案
自主预习
1.D2+E2-4F>0
2.
课堂探究
1.数学情境:
例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.所以形如(*)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(*)的方程不一定是圆的方程.
2.探究活动:
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方,并把常数项移到右边,得
. ①
(1)不是.
(2)D2+E2-4F>0.
(3)圆心坐标为,半径为.
(4)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有实数解x=-,y=-,它表示一个点;
当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.
思考辨析:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
3.迁移应用:
例1　解 (1)由表示圆的条件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,得m<.
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径为.
例2　解 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①
因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组
解这个方程组,得
所以,所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0.
由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径r==5.
核心素养专练
1.D　解析 方程可化为(x+1)2+(y-2)2=11,可知该方程表示圆心为(-1,2),半径为的圆.
2.A　解析 原方程可化为x2+y2-x+=0,所以方程表示圆的条件是-4×>0,即a2>4,解得a>2或a<-2.
3.B　解析 由题意可知-a=2,=3,解得a=-2,b=6,r==3,解得c=4.
4.4π　解析 圆的半径r==2.
所以周长为2πr=4π.
5.x2+y2-6x+6y+8=0　解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意得
解得
所以圆的方程是x2+y2-6x+6y+8=0.
6.解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
依题意得
解得
所以圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0.

展开更多......

收起↑