资源简介

2.5.2　圆与圆的位置关系
学案设计(一)
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
自主预习
知识点:圆与圆的位置关系
1.种类:圆与圆的位置关系有五种,分别为　　　　　、　　　　　、　　　　　、　　　　　、　　　　　.
2.判定方法
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 图示 d与r1,r2的关系
外离 　　　　
外切 　　　　
相交 　　　　
内切 　　　　
内含 　　　　
(2)代数法:设两圆的一般方程为
C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0),
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
课堂探究
一、导入新课
问题1:观看2022北京冬奥会开幕式和闭幕式视频,回顾初中所学圆与圆有哪几种位置关系
　　　;　　　　　;　　　　　;　　　　　;　　　　　.
问题2:圆与圆位置关系分类的依据是什么
依据一:
依据二:
问题3:观察动画演示并填写表格.
图形 位置关系 d与R,r的关系 公共点
问题4:是否所有的圆都存在上述五种位置关系呢
二、讲授新课
例1　已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断两圆的位置关系.
变式1:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,求交点坐标.
变式2:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,求公共弦所在直线方程.
变式3:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,求公共弦长.
【巩固——提高方法】
1.圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0与圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0的位置关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.外切
C.内含 D.无法确定
2.已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0.
(1)求公共弦所在直线;
(2)求公共弦长.
例2　已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹,并判断该轨迹与圆O的位置关系.
核心素养专练
1.(多选题)已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A.(x-5)2+(y-7)2=25
B.(x-5)2+(y-7)2=17
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25
2.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y+1)2=4
3.若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是　　　　　.
4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=　　　　　.
5.过两圆x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程是　　　　　.
6.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)当m=1时,判断圆C1和圆C2的位置关系;
(2)是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含 若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
自主预习
1.外离　外切　相交　内切　内含
2.d>r1+r2　d=r1+r2　|r1-r2|课堂探究
问题1:外离　外切　相交　内切　内含
问题2:依据一:|O1O2|与R+r,|R-r|之间的关系.
依据二:两圆联立方程组解的个数.
问题3:
图形 位置关系 d与R,r的关系 公共点
外离 d>R+r 无公共点
外切 d=R+r 1个公共点
相交 |R-r|内切 d=|R-r| 1个公共点
内含 0≤d<|R-r| 无公共点
问题4:不一定,前提是两圆的半径不相等.
例1　解 方法1:将圆C1与圆C2的方程联立得到方程组
①-②,得x+2y-1=0,③
由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0.④
方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不相等的实数根,即圆C1与圆C2相交.
方法2:把圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.
圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5;圆C2的圆心是点(2,2),半径长r2=.
圆C1与圆C2的圆心距为=3,
圆C1与圆C2的半径长之和为r1+r2=5+,
半径长之差为r1-r2=5-.
而5-<3<5+,即r1-r2<3所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点.
变式1:解 将圆C1与圆C2的方程联立得到方程组
解得
所以交点的坐标为(3,2),(-1,0).
变式2:解 将圆C1与圆C2的方程联立得到方程组
①-②,得x+2y-1=0.③
由③得y=,把上式代入③并整理得x2-2x-3=0.④
解④得x=3或x=-1,
所以方程组的解为
所以交点的坐标为(3,2),(-1,0).
由两点式可得公共弦所在直线方程为x+2y-1=0.
变式3:解 (方法1)交点的坐标为(3,2),(-1,0).
所以公共弦|AB|=2.
(方法2)因为半径为5,弦心距为2,
所以半弦长为,
所以公共弦|AB|=2.
【巩固——提高方法】
1.A
2.(1)x-y+2=0;(2)2.
例2　解 以线段AB的中点O为原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.所以A(-2,0),B(2,0).
设点M的坐标为(x,y),|MA|=|MB|,
所以,
即(x-6)2+y2=32.
所以点M的轨迹是以点P(6,0)为圆心,半径为4的圆.
因为|PO|=6,两圆的半径分别为r1=2,r2=4.
又r1+r2=2+4,r2-r1=4-2,
所以r2-r1<|PO|即点M的轨迹与圆O相交.
核心素养专练
1.CD　解析 设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,即(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与已知圆内切,则=4-1,即(x-5)2+(y+7)2=9.
2.C　解析 ∵圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,
∴过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,
当所求圆的圆心在直线x+y=0上时,半径最小,排除AB;
圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,
则所求的圆的半径为,故选C.
3.a2+b2>3+2　解析 由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0),和(0,b),1,因为两圆相离,所以+1,即a2+b2>3+2.
4.1　解析 两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4,所以y=,又a>0,结合图象(图略),再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知=1,解得a=1.
5.x2+y2-3x+y-1=0　解析 设圆的方程为x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0,则(1+λ)x2-4x+(1+λ)y2+(2-2λ)y-4λ=0,把圆心代入l:2x+4y-1=0的方程,可得λ=,所以所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0.
6.解 (1)当m=1时,圆C1的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为C1(1,-2),半径r1=3,
圆C2的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为C2(-1,0),半径r2=1,
两圆的圆心距d==2,
又r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,
所以r1-r2(2)不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.理由如下:
圆C1的方程可化为(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1的坐标为(m,-2),半径为3.
假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,
则圆心距d=<3-1,
即(m+1)2<0,此不等式无解.
故不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.
学案设计(二)
学习目标
1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法解决几何问题的思想.
自主预习
1.判断正误.
(1)若两圆没有公共点,则两圆一定外离. (　　)
(2)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立. (　　)
(3)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. (　　)
2.圆A:x2+y2+4x+2y+1=0与圆B:x2+y2-2x-6y+1=0的位置关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.外离
C.外切 D.内切
3.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+(y-3)2=1的内公切线有且仅有(　　)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
4.若两圆的半径R,r分别为5和2,圆心距d为3,则两圆的位置关系是　　　　　.
课堂探究
1.探究新知:
问题1:在上节课,我们已经学习了直线与圆的三种位置关系,现在来复习一下这三种位置关系,再来回忆一下,我们当时是如何研究得出结论的
图形
位置关系
判定
交点个数
问题2:之前,我们研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系,那么圆与圆的位置关系又有几种呢 如何判断两圆的位置关系
问题3:如何通过两圆的交点个数判断两圆的位置关系呢
位置关系 图形 交点个数
2
1
1
0
0
问题4:圆心距与两圆的半径又有什么大小关系呢 也就是两圆的位置关系有什么性质呢 是否可以作为判定两圆位置关系的方法呢
位置关系 图形 性质与判定
相交
续　表
位置关系 图形 交点个数
相切 内切
外切
相离 内含
外离
2.迁移运用:
例1　已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)求证:圆C1与圆C2相交;
(2)求公共弦所在的直线方程;
(3)求公共弦的长度.
例2　已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹,并判断该轨迹与圆O的位置关系.
核心素养专练
1.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.21 B.19 C.9 D.-11
2.2021年是中国共产党百年华诞,3月24日,中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1),标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成,生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆,分别内含一个半径为r的同心小圆,且同心小圆均与另一个大圆外切(图2).已知R=(+1)r,则由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为(　　)
图1
图2
A. B. C. D.3(-1)
3.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0相交于A,B两点,下列说法正确的是(　　)
A.圆M的圆心为(1,-2),半径为1
B.直线AB的方程为x-2y-4=0
C.线段AB的长为
D.取圆M上一点C(a,b),则2a-b的最大值为4+
4.(多选题)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　)
A.|PQ|的最小值为3
B.|PQ|的最大值为7
C.两个圆心所在的直线斜率为-
D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
5.(多选题)如图,点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上一段圆弧,是以BC为直径的圆上一段圆弧,是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,则(　　)
A.曲线Ω与x轴围成的图形的面积等于π
B.的公切线的方程为x+y-1-=0
C.所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为x-y=0
D.所在的圆截直线y=x所得弦的长为
6.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4x-6y=0的交点为A,B,则(　　)
A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0
C.公共弦AB的长为
D.两圆圆心距|O1O2|=3
7.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2x+2ay-6=0(a≥0)的公共弦长为2,则a=　　　　　.
8.若圆x2+y2+Dx-4y-4=0和圆x2+y2-2x+F=0的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,则D+F=　　　　　.
9.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),动点P满足.设点P的轨迹为C1.
(1)求曲线C1的方程;
(2)若曲线C1和☉C2:(x-4)2+(y-6)2=r2(r>0)无公共点,求r的取值范围.
10.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值时,
(1)圆C1和圆C2相切
(2)圆C1和圆C2相离
参考答案
自主预习
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.C　解析 圆A:(x+2)2+(y+1)2=4,圆B:(x-1)2+(y-3)2=9,
因为d=|AB|==5,
又r1=2,r2=3,所以d=r1+r2,故选C.
3.B　解析 因为两圆的圆心距为3,半径之和为2,故两圆外离,所以内公切线的条数为2.
4.内切　解析 因为R=5,r=2,d=3,所以d=R-r,所以两圆内切.
课堂探究
问题1:
图形
位置关系 相离 相切 相交
判定 d>r d=r d交点个数 0 1 2
问题2:有五种位置关系,通过两圆的交点个数以及圆心距与两圆半径的大小关系来判断.
问题3:
位置关系 图形 交点个数
相交 2
相切 内切 1
外切 1
相离 内含 0
外离 0
问题4:
位置关系 图形 性质与判定
相交 R-r相切 内切 d=R-r
外切 d=R+r
相离 内含 0≤d外离 d>R+r
例1　解 (1)证明:将两圆方程配方化为标准方程,则
C1:(x-1)2+(y+5)2=50,
C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
所以,圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径为r1=5,
圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为r2=.
又因为|C1C2|=2,r1+r2=5,
|r1-r2|=|5|,
所以|r1-r2|<|C1C2|(2)将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.
(3)方法1:由(2)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离为d==3,
所以公共弦长为l=2=2=2.
方法2:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组
解得
所以|AB|==2.
即公共弦长为2.
例2　解 以线段AB的中点O为原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.所以A(-2,0),B(2,0).
设点M的坐标为(x,y),因为|MA|=|MB|,
所以,
即(x-6)2+y2=32.
所以点M的轨迹是以点P(6,0)为圆心,半径为4的圆.
因为|PO|=6,r1+r2=2+4,r2-r1=4-2,
所以r2-r1<|PO|即点M的轨迹与圆O相交.
核心素养专练
1.C　解析 由题意,圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0,
可得C1(0,0),C2(3,4),r1=1,r2=,
因为两圆相外切,可得|C1C2|=r1+r2=1+=5,
解得m=9.故选C.
2.B　解析 由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长为r,两圆的公共弦长为2=2 r,
所以它们的比为.
故选B.
3.ABD　解析 由圆M:x2+y2-2x+4y+4=0,得(x-1)2+(y+2)2=1,
则圆M的圆心为(1,-2),半径为1,故A正确;
联立圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0,消去二次项,
可得直线AB的方程为x-2y-4=0,故B正确;
圆心O到直线x-2y-4=0的距离d=,圆O的半径为2,
则线段AB的长为2,故C错误;
令t=2a-b,即2a-b-t=0,由M(1,-2)到直线2x-y-t=0的距离等于圆M的半径,
可得=1,解得t=4±.
所以2a-b的最大值为4+,故D正确.
故选ABD.
4.ABC　解析 圆C1:x2+y2=1的圆心坐标C1(0,0),半径r=1.
圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1的圆心坐标C2(3,-4),半径R=1.
所以圆心距|C1C2|==5.
又因为点P在圆C1上,点Q在圆C2上,
则|PQ|的最小值为|PQ|min=|C1C2|-R-r=3,最大值为|PQ|max=|C1C2|+R+r=7.
故AB正确;
两圆圆心所在的直线斜率为=-,C正确;
圆心距|C1C2|==5,大于两圆半径和,故两圆外离,无相交弦,D错误.
故选ABC.
5.BC　解析 所在圆的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)2+y2=1.
曲线Ω与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆,其面积为+2+2×=π+2,故A错误;
设的公切线方程为y=kx+b(k<0,b>0),则=1=,
所以k=-1,b=1+,所以的公切线的方程为y=-x+1+,即x+y-1-=0,故B正确;
由x2+(y-1)2=1及(x-1)2+y2=1两式相减得x-y=0,即公共弦所在直线方程,故C正确;
所在圆的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),
圆心(-1,0)到直线y=x的距离为d=,
则所求弦长为2,故D错误.
故选BC.
6.ABD　解析 x2+y2-2x=0①,x2+y2+4x-6y=0②,用①减去②即得到公共弦AB所在直线的方程为x-y=0,故A正确;
把圆O1:x2+y2-2x=0化为标准方程得(x-1)2+y2=1,圆心O1为(1,0),半径r1=1,把圆O2:x2+y2+4x-6y=0化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13,圆心O2为(-2,3),半径r2=,线段AB的中垂线即为圆心O1与圆心O2两点构成的直线,为x+y-1=0,故B正确;
圆心O1到公共弦所在直线x-y=0的距离为d=,故公共弦AB的长为2,故C错误;
圆心O1到圆心O2的距离|O1O2|==3,故D正确.故选ABD.
7.0　解析 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2.
由公共弦长为2,则圆心(0,0)到公共弦的距离为=1,
圆心(0,0)到直线x+ay-1=0的距离为=1,
解得a=0.
8.-6　解析 由题设,两圆方程相减可得(D+2)x-4y-4-F=0,即为公共弦x-y+1=0,
所以可得
所以D+F=-6.
9.解 (1)设点P(x,y),
因为A(-2,0),B(4,0),动点P满足,
所以,
化简得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,
所以曲线C1的方程为(x+4)2+y2=16.
(2)曲线C1的圆心为C1(-4,0),半径为4,
☉C2:(x-4)2+(y-6)2=r2(r>0)的圆心为C2(4,6),半径为r,
因为曲线C1和☉C2:(x-4)2+(y-6)2=r2(r>0)无公共点,所以两圆外离或内含,
所以|C1C2|>4+r或|C1C2|所以=10>4+r或=10所以014,
所以r的取值范围为(0,6)∪(14,+∞).
10.解 (1)圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,得(x-m)2+(y+2)2=9,
所以圆心C1为(m,-2),半径为3;
由圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,得(x+1)2+(y-m)2=4,所以圆心C2为(-1,m),半径为2,
若两圆相切,则=5或=1,
解得m=2或m=-5或m=-1或m=-2;
(2)若两圆相离,则>5或0≤<1,
解得m<-5或m>2或-2

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