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密 封 线 内 不 要 答 题
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2026年高二上9月第一次月考数学试卷
必修二20%小题+选择性必修一80%
本试卷4页 满分150分 考试时间120分钟
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.下列四条直线，其倾斜角最大的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面的一个法向量，点在平面内，点，则直线与平面所成角等于（ ）
A. B. C. D.
4.若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量与共线，则（ ）
A. B. C. D.
6.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.设函数的图象关于直线和均对称，则的不可能取的值是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A.数据的分位数是
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积和为
C.分层随机抽样中每个个体入样的概率不相等
D.将总体划分为两层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，
若，则总体方差
10.四面体中，，，，平面与平面夹角为，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11.已知圆，直线经过点与圆相交于两点，且满足关系
（为坐标原点）的点也在圆上，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在右图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则中最小值为 .
13.由，可求得的值为____ __.
14.直线与曲线恒有三个公共点，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知面积为，为7，求边上中线长.
16．（15分）
已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）求外接圆的标准方程.
16．（15分）
如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点.
（1）求四边形的面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17．（15分）
已知圆，直线.
（1）直线被圆截得的弦为，求弦长度的最小值；
（2）已知点是圆上任意一点，在直线上是否存在两个定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
18．（17分）
如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
19．（17分）
已知，圆的圆心在直线上，圆与直线，且过点为圆与圆的公共弦.
（1）求圆与圆的方程；
（2）若直线与圆、圆交于非原点的点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.
一模理科数学试题 第3页（共28页） 一模理科数学试题 第4页（共28页）(
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密 封 线 内 不 要 答 题
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2026年高二上9月第一次月考数学试卷
必修二20%小题+选择性必修一80%
本试卷4页 满分150分 考试时间120分钟
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.下列四条直线，其倾斜角最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为负值，倾斜角为钝角，A，B，C选项中直线倾斜角为.
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
所以，则，所以.故选：C.
3.已知平面的一个法向量，点在平面内，点，则直线与平面所成角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
设直线与平面所成角为，故
∵
∴
4.若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵,∴，即,∴与之间的距离.
5.已知向量与共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，
又因为，所以，
故，所以
∴.
6.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过圆心，斜率为的直线方程为，
∵关于对称
∴.
7.已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如图所示：在正方体中，令直线，，下底面为平面，
显然“直线，与平面所成的角相等”，但是“”不成立；
由线面角定义可知：若“”，
则“直线，与平面所成的角相等”成立；
即“直线，与平面所成角相等”是“”的必要不充分条件，故选：B
8.设函数的图象关于直线和均对称，则的不可能取的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，是半周期的整数倍，于是，
因此，
于是的所有可能取值是.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A.数据的分位数是
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积和为
C.分层随机抽样中每个个体入样的概率不相等
D.将总体划分为两层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，
若，则总体方差
【答案】ABD
【解析】A：将数据排列可得：，
所以分位数为，∴A正确；
B：由频率的规范性知B正确；
C：分层随机抽样中每个个体入样的概率相等，均为样本容量比总体容量；
D：总体方差，
，∴，∴D正确.
10.四面体中，，，，平面与平面夹角为，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】在四面体中，，，
则是二面角的平面角，如图，
，
而，
，
因为平面与平面的夹角为，则
当时，，
当时，，
所以的值可能为，.故选：AC.
11.已知圆，直线经过点与圆相交于两点，且满足关系
（为坐标原点）的点也在圆上，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】设直线的方程为，联立
整理得，设，．
由韦达定理得，，则，
由，点在圆上，可知，
所以，所以，
所以，即，
所以，解得．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在右图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则中最小值为 .
【答案】
【解析】看图可知：众数最大、中位数偏后、平均数最小，即.
13.由，可求得的值为____ __.
【答案】
【解析】
∴，即
∴
∵
故.
14.直线与曲线恒有三个公共点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】当时
，即
当时
，即
与相外切于点，均与直线相切
与曲线恒有三个公共点，则
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）已知面积为，为7，求边上中线长.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角；（2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可.
【解析】（1）因，
由正弦定理边化角得
利用三角形内角和定理可得
即
因为所以，即
因为，所以.
（2）由得①
由得②
由①②得
由，
得.
16．（15分）
已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）求外接圆的标准方程.
【解析】（1）∵线段的垂直平分线经过点，
∴可知点关于直线对称
∵
∴
故，直线；
（2）∵，，
∴外接圆的方程为
即.
16．（15分）
如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点.
（1）求四边形的面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】（1）法一：过作平面，垂足为，
过作于，连，则
作于，连，则
又
∴，
∴，从而在平分线上
∵是正三角形，
∴，
由，知平面
∴，
∴四边形是边长为2的正方形，
∴四边形的面积为；
法二：令，，，，
，
∴
∴四边形是边长为2的正方形，
∴四边形的面积为；
（2）
，
设异面直线与所成角为，
则.
17．（15分）
已知圆，直线.
（1）直线被圆截得的弦为，求弦长度的最小值；
（2）已知点是圆上任意一点，在直线上是否存在两个定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）直线过定点，
；
（2）满足题意的定点存在，设，，，由
得
∵
∴
∴，或
∴满足题意的定点为或.
18．（17分）
如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】因为平面，
以点为坐标原点，
的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为与侧面所成的角为，则
则，，，，
，
∴，，
（1）设平面的一个法向量为，则，
，令，则.
∵，
∴；
（2）设平面的一个法向量为，
则，
令，则
设二面角的平面角为，由于为钝角，故.
19．（17分）
已知，圆的圆心在直线上，圆与直线，且过点为圆与圆的公共弦.
（1）求圆与圆的方程；
（2）若直线与圆、圆交于非原点的点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.
【解析】（1）∵线段的中点坐标为，
∴圆心、圆心均在直线上，
又∵圆心在直线上
∴，
过点且与垂直的直线方程为
∴圆心在直线上
∴，
（2）法一：连结交于点，
则是中点，且
由圆幂定理知，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即以线段为直径的圆恒过定点.
法二：由题意知：且
联立，得
∴
联立，得
∴
∴
∴，即
即以线段为直径的圆恒过定点.
一模理科数学试题 第3页（共28页） 一模理科数学试题 第4页（共28页）

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