资源简介

3.2.1　双曲线及其标准方程
学案设计
学习目标
1.能根据双曲线定义的探究过程,体会双曲线的几何特征,从而抽象出定义.
2.能类比椭圆标准方程的化简方法,化简双曲线的方程,并进行优化.
3.能对双曲线的定义及其标准方程进行简单的应用.
自主预习
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这　　　　　叫做双曲线的焦点,　　　　　　　叫做双曲线的焦距.双曲线就是下列点的集合:　　　　　　　　.
2.双曲线的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 　　　　　　　 　　　　　　　
图形
焦点坐标 　　　　　　　 　　　　　　　
a,b,c的关系 　　　　　　　　　
课堂探究
1.概念的引入
问题1:椭圆的定义是什么,它的标准方程是怎样的
2.概念的理解
问题2:我们知道,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.那么一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么
追问1:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线吗
追问2:平面内满足|MF1|-|MF2|=2a(a>0)的点M的轨迹一定是双曲线吗
3.方程的推导
问题3:你能类比求椭圆标准方程的方法,尝试建立双曲线的方程吗
4.概念的巩固应用
例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值为6,求双曲线的标准方程.
例2　“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时使航天员安全出舱,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求航天员着陆点P在点A的方位角.
5.拓展探究
如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与课本3.1例3比较,你有什么发现
核心素养专练
1.双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为(　　)
A.22或2 B.7 C.2 D.4
2.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则命题甲是命题乙的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(多选题)已知方程=1表示的曲线为C.给出以下四个判断,其中正确的是(　　)
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
4.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程为(　　)
A.-y2=1 B.x2-=1
C.=1 D.=1
5.已知P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若+8,则△MF1F2的面积为(　　)
A.2 B.10 C.8 D.6
6.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为　　　　　.
7.如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程.
8.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
参考答案
自主预习
1.差的绝对值　两个定点　两焦点间的距离　P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
2.=1(a>0,b>0)　=1(a>0,b>0)　F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　c2=a2+b2
课堂探究
1.概念的引入
问题1:略
2.概念的理解
问题2:略
追问1:通过观察图形,可以发现随着图钉位置的不同,点的轨迹除了双曲线以外还有另外的情况.强化定义中“距离之差小于|F1F2|”这一细节.
追问2:不一定,平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.
3.方程的推导
问题3:取经过两焦点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么,焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设||MF1|-|MF2||=2a(a为大于0的常数).
由双曲线的定义,双曲线就是下列点的集合:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.
因为|MF1|=,|MF2|=,
所以=±2a.①
类比椭圆标准方程的化简过程,化简①,得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),
两边同除以a2(c2-a2),得=1.
由双曲线的定义知,2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.
类比椭圆标准方程的建立过程,令b2=c2-a2,其中b>0,代入上式,得=1(a>0,b>0).②
4.概念的巩固应用
例1　解 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为=1(a>0,b>0).
由2c=10,2a=6,得c=5,a=3,因此b2=52-32=16.
所以,双曲线的标准方程为=1.
例2　解 根据题意,以线段AB所在直线为x轴,以它的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C在B的北偏西30°方向,C(-5,2).
∵|PB|=|PC|,∴点P在线段BC的垂直平分线上,
又易知kBC=-,线段BC的中点D(-4,),
∴直线PD的方程为y-(x+4),①
又|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=2,c=3,
∴双曲线方程为=1(x≥2),②
联立①②,得点P坐标为(8,5),
∴kPA=,因此点P在点A北偏东30°.
5.拓展探究
点M的轨迹方程为=1(x≠±5).
其轨迹形状为双曲线.
与课本3.1例3比较,可以发现,当斜率之积是负值时,点M的轨迹为椭圆,当斜率之积是正值时,点M的轨迹为双曲线.
核心素养专练
1.A　解析 ∵a2=25,∴a=5.
设点为P,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10.
由题意设|PF1|=12,则|PF1|-|PF2|=±10,解得|PF2|=22或2.
2.B　解析 根据双曲线的定义,乙 甲,但甲≠乙,只有当2a<|F1F2|,且a≠0时,动点M的轨迹是双曲线.
3.BCD　解析 A错误,当t=时,曲线C表示圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,解得t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,解得14.
4.B　解析 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则c=,即a2+b2=5.①
设P(x,y),由线段PF1的中点坐标为(0,2),
可知解得即点P的坐标为(,4),代入双曲线方程,得=1.②
联立①②,得a2=1,b2=4,
即双曲线的标准方程为x2-=1.
5.B　解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R,由双曲线的标准方程可知a=4,b=3,c=5.因为+8,所以(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,所以R=2,·2c·R=10.
6.x2-=1　解析 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).
由题意得B(2,0),C(2,3),∴解得
∴双曲线的标准方程为x2-=1.
7.
解 如图建立平面直角坐标系,则依题意可得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4.
∴曲线C是以A,B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则有解得故曲线C的方程为=1.
8.解 以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为 y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-2,0),B(2,0).
由正弦定理,得sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A+sin C=2sin B,∴2|BC|+|AB|=2|AC|,
即|AC|-|BC|==2<|AB|.
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
由题意,设所求轨迹方程为=1(x>a),
∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6.
即顶点C的轨迹方程为=1(x>).

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