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第三章圆锥曲线方程 本章小结
学习目标
1.了解圆锥曲线的实际背景例如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质;
3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质;
4.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想;
5.了解椭圆、抛物线的简单应用.
自主预习
再现型题组
1.双曲线=1的焦点坐标是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,±1) B.(±1,0) C.(0,±) D.(±,0)
2.椭圆=1的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3.抛物线y2=-2x的准线方程为(　　)
A.x=1 B.y=1 C.x=- D.x=
4.双曲线=1的渐近线方程为　　　　　.
课堂探究
巩固型题组:
探究一:圆锥曲线的定义及标准方程
例1　(1)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则双曲线C的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
(2)双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=64,则∠F1PF2=　　　　　.
变式训练　已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,则实数m的值是(　　)
A.-4 B.2 C.4 D.8
探究二:圆锥曲线的几何性质
例2　已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点,若|CD|=|AB|,则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.3
变式训练　已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
探究三:直线与圆锥曲线的位置关系
例3　已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+2=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
变式训练　已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点,倾斜角为60°的直线交椭圆C于A,B两点,求△AOB的面积.
提高型题组:
1.已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),若过F1的直线和圆x-c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　　　,椭圆的离心率是　　　　　.
2.(多选题)已知曲线C:=1,则下列结论正确的有(　　)
A.曲线C关于原点对称
B.曲线C是封闭图形,且封闭图形的面积大于2π
C.曲线C不是封闭图形,且图形以x轴和y轴为渐近线
D.曲线C与圆x2+y2=4有4个公共点
核心素养专练
1.如图,F1,F2分别为椭圆=1的左右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是(　　)
A.2 B.+1 C.4 D.4+2
2.点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(　　)
A. B. C. D.
3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p等于(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
4.椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是(　　)
A. B. C. D.
参考答案
自主预习
再现型题组:
1.D　解析 由题可知,双曲线的焦点在x轴上,且a=,b=,所以c2=a2+b2 c=,所以双曲线的焦点坐标为(±,0).故选D.
2.C　解析 由椭圆方程可知a2=9,b2=4,所以c2=a2-b2=5,椭圆的离心率e=.故选C.
3.D　解析 由抛物线方程,得p=1,抛物线图象开口向左,则准线方程为x=.故选D.
4.D　解析 b⊥α,垂足设为点F,则平面α内的动点M到定直线a与到点F的距离相等,满足抛物线的定义,则点M的轨迹为抛物线.故选D.
5.y=±2x　解析 由双曲线=1,得a=2,b=4,
则该双曲线的渐近线方程为y=±2x.
巩固型题组:
例1　(1)B　(2)60°　解析 (1)根据双曲线C的渐近线方程为y=x,可知.①
又椭圆=1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9.②
根据①②可知a2=4,b2=5,
所以双曲线C的方程为=1.
(2)将双曲线方程16x2-9y2=144化简为=1,
即a2=9,b2=16,所以c2=25,
解得a=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0).
设|PF1|=m,|PF2|=n,
由双曲线的定义,得|m-n|=2a=6,
又已知m·n=64,在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=.
所以∠F1PF2=60°.
变式训练　解 ∵抛物线y2=2px(p>0)上点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,
∴+1=5,解得p=8,∴y2=16x.
∵点M(1,m)在抛物线y2=16x上,
∴m2=16,且m>0,∴m=4.故选C.
例2　A　解析 设双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为(c,0),
则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-c,
令x=-c,则=1,解得y=±,所以|AB|=,
又因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以|CD|=,所以,即c=b,所以a2=c2-b2=c2,所以双曲线的离心率e=.故选A.
变式训练　A　解析 因为|PF1|=3|PF2|,由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,
所以|PF2|=a,|PF1|=3a;
因为∠F1PF2=60°,由余弦定理,得4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,
整理可得4c2=7a2,所以e2=,即e=.故选A.
例3　解 (1)依题意可设椭圆方程为+y2=1(a>1),
则右焦点F(,0).
由题设,知=3,
解得a2=3,故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)设点P为弦MN的中点,由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,由于直线与椭圆有两个交点,
所以Δ>0,即m2<3k2+1,①
所以xP==-,
从而yP=kxP+m=,
所以kAP==-.
又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN,
则-=-,即2m=3k2+1,②
把②代入①,得2m>m2,解得0由②得k2=>0,解得m>,
故所求m的取值范围是,2.
变式训练　解 (1)由题e=,得a2=2c2,
∴b2=a2-c2=c2,将点(2,1)代入=1,得c2=3.
故椭圆C的方程为=1.
(2)过右焦点F2(,0),斜率k=的直线方程y=x-3,联立化简,得7y2+6y-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1·y2=-,
所以|y1-y2|=,
所以S△AOB=×|y1-y2|=.
提高型题组:
1.
　解析 如图所示,不妨假设c=2,设切点为B,sin∠PF1F2=sin∠BF1A=,tan∠PF1F2=,
所以k=,由k=,|F1F2|=2c=4,得|PF2|=,|PF1|=|PF2|×,
于是2a=|PF1|+|PF2|=4,即a=2,所以e=.
2.AD　解析 由于(x,y)与(-x,-y)都满足方程=1,故曲线C关于原点对称,A正确;
当x→+∞时,|y|→1,∴曲线C不是封闭曲线,且x轴不是图形的渐近线,故BC错误;联立解得 或
∴曲线C与圆x2+y2=4有4个公共点,故D正确.故选AD.
核心素养专练
1.A　解析 由于△POF2是面积为的正三角形,
所以Pc,c,且×c2=,解得c=2,
则P(1,),代入椭圆方程,得=1,=1,解得b2=2.故选A.
2.A　解析 由题意可知,双曲线的渐近线方程为=0,即3x±4y=0,结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离d=.故选A.
3.B　解析 抛物线的焦点坐标为,0,
其到直线x-y+1=0的距离d=,
解得p=2(p=-6舍去).故选B.
4.A　解析 联立得(m+n)x2-2nx+n-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),
则x0=,y0=1-x0=1-.
所以kOP=.故选A.
学案设计(二)
学习目标
通过自我总结本章的知识网络,构建知识体系,归纳总结解题方法,提高解决问题的能力.
自主预习
请大家结合本章学习内容,自我构建本章的知识结构图.
课堂探究
核心素养一:数学抽象
题型一:圆锥曲线的定义
例1　若抛物线的顶点为坐标原点,焦点F为椭圆=1的右焦点,P为抛物线上的动点,Q(5,3),则|PF|+|PQ|的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.5
C.6 D.7
核心素养二:数学运算
题型二:圆锥曲线的标准方程
例2　(1)双曲线C:=1(a>0,b>0)过点(),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
(2)若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
题型三:圆锥曲线的几何性质
例3　(1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+3=0平行,则该双曲线的离心率是 (　　)
A. B.
C.2 D.
(2)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,O为坐标原点,右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,△OPF的周长为12,则双曲线的实轴长为 (　　)
A.8 B.4
C.2 D.2
核心素养三:直观想象
题型四:圆锥曲线中的最值问题
例4　已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
题型五:圆锥曲线类型的推断
例5　(1)如果过点(6,0)的直线与过点(-6,0)的直线相交于点M,而且两直线斜率的乘积为a,其中a≠0.求点M的轨迹方程;讨论M的轨迹是何种曲线.
(2)设动点M到定点F(-c,0)的距离与它到直线l:x=-的距离之比为,其中c>a>0,求点M的轨迹方程.
题型六:直线与圆锥曲线的位置关系
例6　已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,并且经过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过原点O作倾斜角为45°的直线l交抛物线C于M,N两点,求△FMN的面积.
例7　已知椭圆C:=1(a>b>0)过点1,,且焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过点P(-2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点,求直线l的斜率k的取值范围.
核心素养专练
1.抛物线y=2x2的焦点坐标是(　　)
A.0, B.,0 C.0, D.,0
2.下列四个椭圆中,形状最扁的是(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.若某抛物线过点(-1,3),且关于x轴对称,则该抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=-9x B.x2=y
C.y2=-9x或x2=y D.y2=±9x
4.椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若|BF2|=|F1F2|=2,则该椭圆的方程为 (　　)
A.=1 B.+y2=1
C.+y2=1 D.+y2=1
参考答案
自主预习
课堂探究
例1　C　解析 由题知抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
过P作准线的垂线,与准线交于P',则|PP'|=|PF|,
∴|PF|+|PQ|=|PP'|+|PQ|,当且仅当P',P,Q三点共线时(如图虚线位置)|PP'|+|PQ|取最小,此时|PP'|+|PQ|=|P'Q|=5+1=6.故选C.
例2　(1)A　(2)D　解析 (1)∵e==2,则c=2a,b=a,则双曲线的方程为=1,将点()的坐标代入双曲线的方程可得=1,解得a=1,故b=,因此,双曲线的方程为x2-=1.故选A.
(2)不妨设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),依题意,得=2 a=2b.
∵c=2,c2=a2-b2,
∴(2)2=(2b)2-b2 b2=20,得a2=4b2=80,故所求椭圆的标准方程为=1.
例3　(1)D　(2)A　解析 (1)双曲线的渐近线为y=±x,易知y=x与直线2x-y+3=0平行,
所以=2,得e=.故选D.
(2)由题意可得,可得c=a,c2=a2+b2,可得b=a,
由双曲线的方程可得渐近线的方程为bx±ay=0,右焦点F(c,0),
所以右焦点F到渐近线的距离d==b,
即|PF|=b,|OP|==a,
所以△OPF的周长为a+b+c=12,
即a+a+a=12,
解得a=4,
所以双曲线的实轴长2a=8,故选A.
例4　C　解析 由椭圆C的方程,得a2=9,b2=4,则|MF1|+|MF2|=2a=6,
所以|MF1|·|MF2|≤2=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故选C.
例5　解 (1)由题意得两直线斜率存在,且都不为0,
设点M(x,y)(x≠±6),则=a,
整理,得点M的轨迹方程为=1(x≠±6).
当a>0时,点M的轨迹为焦点在x轴,实轴为12,虚轴为12的双曲线,不包括点(-6,0)和(6,0);
当-1当a<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴,长轴为12,短轴为12的椭圆,不包括点(-6,0)和(6,0);
当a=-1时,点M的轨迹为以原点为圆心,半径为6的圆,不包括点(-6,0)和(6,0).
(2)设M(x,y),因为动点M到定点F(-c,0)的距离与它到直线l:x=-的距离之比为,可得,整理,得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),即=1(其中a>c>0),所以点M的轨迹方程为=1(其中a>c>0).
例6　解 (1)把点A(1,-2)代入抛物线C:y2=2px(p>0),可得(-2)2=2p,解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)抛物线的焦点为F(1,0),过原点O作倾斜角为45°的直线l的方程为y=x,
联立解得
不妨设M(0,0),N(4,4).
则S△FMN=|MF|·|yN|=×1×4=2,
所以所求△FMN的面积为2.
例7　解 (1)由2c=2,得c=1,则a2=b2+c2=b2+1,
把1,代入椭圆C的方程,得=1,解得b2=1,a2=2,故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题意设直线l的方程为y=k(x+2).
当k=0时,显然满足题意.
当k≠0时,联立整理,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.
令Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得-故斜率k的取值范围为-.
核心素养专练
1.C　解析 抛物线的标准方程为x2=y,焦点在y轴上,∴焦点坐标为0,.
2.A　解析 e=,根据选项中的椭圆的方程,可得,
因为椭圆的离心率越大,椭圆的形状越扁,
所以这四个椭圆中,椭圆=1的离心率最大,故其形状最扁.
3.A　解析 依题意设抛物线解析式为y2=-2px(p>0),把(-1,3)代入得9=2p,解得p=,
所以抛物线标准方程为y2=-9x.
4.A　解析 ∵|BF2|=|F1F2|=2,∴a=2c=2,
∴a=2,c=1,∴b=.∴椭圆的方程为=1.

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