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15.1二次根式 练习
一、单选题
1．下列各式中，属于二次根式的是（???）
A． B． C． D．
2．计算：（???）
A．25 B．35 C．45 D．55
3．已知是整数，则自然数m的值可以是（???）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．下列根式中，最简二次根式是（???）
A． B． C． D．
6．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（???）
A． B． C． D．
7．设为的小数部分，则（　　）
A． B． C． D．
8．在下列四个式子中，最简二次根式为（????）
A． B． C． D．
9．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　）
A．9 B．10 C．13 D．16
10．下列是最简二次根式的是（???）
A． B． C． D．
11．若分式的值为0，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．0
12．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（???）
A． B． C． D．
二、填空题
13．当时，二次根式的值为 ．
14．当 时，二次根式的值为0．
15．若有意义，则x的取值范围是 ．
16． ．
三、解答题
17．求使下列各式有意义的字母x的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)．
18．设，求不超过的最大整数值．
19．化简：．
20．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
《15.1二次根式 练习》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
B
C
C
D
D
B
题号
11
12








答案
B
C








1．C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
形如的式子是二次根式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．是整式，不是二次根式，不符合题意；
B．是分式，不是二次根式，不符合题意；
C．是二次根式，符合题意；
D．不是二次根式，不符合题意．
故选C．
2．C
【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可．
【详解】解：，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数．
由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可．
【详解】设（为非负整数），
则，
即，
∵为自然数，
∴，
即，
完全平方数的可能值为，对应，
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（不在选项中）；
当时，（对应选项B）；
故选B．
4．A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数；根据被开方数为非负数列式解题即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴根据二次根式有意义的条件，得，
解得：，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质，熟记定义是解题关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故该选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B
6．C
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得．
【详解】解：由题意得：，且，
∴，
则
，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案．
【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项．
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
，
∵，
∵的整数部分是，
∴小数部分为，
选项B是，选项C是，
只有选项C最接近答案．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是准确掌握该定义．
根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，且分母中不含根号，逐一分析选项即可求解．
【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
B. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
C. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
D.该选项被开方数为质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案．
【详解】解:∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴；
①，即，
②，即，
③，即，
综上所述，自然数n的值可以是3，6，7，
∴自然数的所有可能取值的和为．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，则此项符合题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
11．B
【分析】本题考查分式为零的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式为零的条件是且是解答的关键．
根据分式为零的条件得到且，然后解方程即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得且，
∴，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个．
故选C．
13．
【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义．
将把代入，再化简即可．
【详解】解：把代入得：
原式；
故答案为：．
14．2
【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零．
【详解】解：根据题意可得：，解得：．
故答案为：2．
15．/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，进而求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案．
【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为：
，
，
解得，，
算术平方根的结果非负，
，
故答案为：1
17．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；
（3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可；
【详解】（1）解：∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴，
∴；
（3）解：∵
∴，
∴．
18．2023
【分析】先对通项进行化简变形，得到的形式，再将展开，通过裂项相消的方法计算出的值，最后确定不超过的最大整数值．
本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的性质和裂项相消的方法是解题的关键．
【详解】解：，
不超过的最大整数为2023．
19．
【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】解：设，由二次根式的非负性可得，
∴
．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）把27写成，然后化简；
（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；
（3）分子分母都乘以5，然后化简；
（4）先把分母化简，然后分子分母同乘以，然后化简．
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．

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