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17.1等腰三角形 练习
一、单选题
1．已知是等腰三角形，其中两条边长度分别为和，这个三角形周长是（ ）
A． B． C．或 D．以上都有可能
2．如图，点D在上，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列叙述中正确的是（ ）
A．等腰三角形的高线、角平分线、中线互相重合；
B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形；
C．等腰三角形一边的中点到两腰的距离相等；
D．等腰三角形的两个内角相等．
4．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6．如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等边所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　）
A．3 B．7 C．8 D．10
9．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ．
12．如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ．
13．在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有 个．
14．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ．
15．在中，，，点D在内部，且满足，若的面积为18，则 ．
三、解答题
16．如图所示，在中，平分，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
17．如图，中，，垂足为D．
(1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)判断的形状，并证明．
18．如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若的周长为，，求的长．
19．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）；
(3)探究：当为_________度时，是等腰三角形．
20．如图，是等边的边上一点，以为边作等边，连接，在延长线上取一点，使．求证：．
《17.1等腰三角形 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B C D D B A
1．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是检验三边长能否组成三角形．先确定等腰三角形的腰与底的长，分腰长为和腰长为两种情况进行讨论，根据三角形的三边关系验证能否组成三角形，进而求解三角形的周长．
【详解】解：若腰长为，底边长为， 由于，两边之和不大于第三边，则三角形不存在；
若腰长为，底边长为， 则符合三角形的两边之和大于第三边， 所以这个三角形的周长为．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角的和差推出，，利用证明，根据全等三角形的性质定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合，故选项错误，不符合题意；
B、有一内角为的等腰三角形是等边三角形，故选项正确，符合题意；
C、等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故选项错误，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：当为腰时，如图，
当为底边时，点无格点，
综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答．
【详解】解：∵与的平分线相交于点O，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，即都为等腰三角形．
又∵，，
∴，且，
∴都为等腰三角形．
∵，与的平分线相交于点O，
∴，
∴，即是等腰三角形．
故等腰三角形有：．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以．
【详解】解：延长交于，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：C．
7．D
【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确．
【详解】解：如图所示，
，
，则选项B正确；
，，
，
，则选项A正确；
，
，
，
，则选项D错误；
，
，则选项C正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
8．D
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
①如图所示，当点P在三角形的内部时，点P到的三个顶点的距离相等；②如图所示，当P在的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【详解】解：①当点P在三角形的内部时，点P是边、、的垂直平分线的交点，如图点．
②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有3个，如图，点，共9个．
综上，具有这样性质的点P共有10个．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由题意知，，
∴，
故①正确；
由题意知：，且，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
由②知，，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④错误，
综上，正确的有①②③三个正确，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先证，再证是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：A．
11．等边三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，将题中式子进行化简得到，推出得到这个三角形是一个等边三角形．据此解答．
【详解】解：∵，
∴，
，
即，
∴且，
∴，
∴这个三角形是一个等边三角形．
故答案为：等边三角形．
12．105
【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点F的位置，有难度．
作于点C，且，连接交于M，连接，证明，得，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，作于点C，且，连接交于M，连接，
∵为等边的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值，
此时，
∴，
故答案为：105．
13．6
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的存在性问题，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线或取交点，再作的垂直平分线与直线或取交点即为所求．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和，则为等边三角形，
∴以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和，
作的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，
综上所述，符合条件的D点有6个．
故答案为：．
14．等腰三角形
【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状．
【详解】解：在长方形纸片中，
∴，
根据折叠可得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
15．6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，先证明，再通过，得到，推出，得到，从而证明，接着证明，即可得，根据三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示：
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，，，
，
，
的面积为18，
，
．
故答案为：6．
16．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形；
（2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，，
，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)为等腰三角形，证明见解析
【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，余角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键．
（1）根据作已知角的角平分线的作法，画出图形即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质可得，再由，可得，从而得到，即可解答．
【详解】（1）解：如图，角平分线即为所求．
（2）解：为等腰三角形，证明如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)的长为
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，可得，再证明，可得，结合三角形的外角的性质可得结论．
（2）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合（1）的结论求出的度数即可；
（3）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：由（1）得：，，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
19．(1)见解析
(2)直角三角形
(3)125或140或110
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解；
（3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时；分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：当时，的形状为直角三角形，
∵是等边三角形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，的形状为直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形．
故答案为：125或140或110．
20．见解析
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由等边三角形得到，，，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到．
【详解】解：∵，是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．

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