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17.2直角三角形 练习
一、单选题
1．如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
2．如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ）
A．两条边相等 B．一个角为直角
C．有一个角 D．两条直角边相等
5．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
8．如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ）
A． B． C．7 D．
9．中，，则的长度是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（ ）
A．α B． C． D．
二、填空题
11．如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为 °．
12．某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ．
13．如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ．
14．如图，在中，，F是高和的交点，，， 则线段的长度是 ．
15．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ．
三、解答题
16．如图，在中，，，平分．
(1)求的度数；
(2)延长至点E，使，求证：．
17．如图，的平分线交的平分线于点，交于点，若．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
18．如图，在中，，平分交于点E．
(1)求的度数；
(2)若于点D，．判断的形状，并说明理由．
19．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
20．已知：如图，，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
《17.2直角三角形 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A C C D B B
1．C
【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理等逐个判定即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，（两直线平行，同位角相等），
故①正确；
∵，
∴，
∴，
故②正确；
无法说明，
故③错误；
综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，属于简单题，表示出是解题关键．
根据角平分线定义求出，根据垂线定义求出，相减即可求解．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
3．D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，可以求出，根据两直线平行，内错角相等，可知．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可．
【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意；
．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意；
．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意；
．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了逆命题的概念及判断命题的真假，直角三角形的判定与性质，熟练掌握逆命题的概念及判断命题的真假是解题的关键．逐一分析各命题的逆命题是否成立即可．
【详解】解：①原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，不符合题意；
②原命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合题意；
③原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，则两直线平行”，是真命题，符合题意；
④原命题“相等的两个数的平方相等”的逆命题为“平方相等的两个数相等”，是假命题，不符合题意．
综上，逆命题成立的为②和③，共2个．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了直角三角形的定义、分类讨论思想等知识点，根据题意画出图形是解题的关键．
分为斜边和直角边两种情况分别画出所有可能的直角三角形即可解答．
【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为，
即边上的高为，满足上述条件的点C有4个，
如图：
②为直角边，或者，满足上述条件的点C有4个，
如图：
综上，满足上述条件的点C有8个．
故选C．
8．D
【分析】本题考查了含直角三角形的性质；根据含直角三角形的性质求出，得到的取值范围即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵点P是边上的动点，
∴，
∴长不可能是，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度．
【详解】解：在中，，
为的对边，且根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，
得：，
∴．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出，，求出，，即可得出答案．
【详解】解：，是斜边的中点，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：B．
11．20
【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的定义及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的定义及直角三角形的性质是解题的关键；由旋转的性质可知，则有，然后根据直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为20．
12．15米
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出，则，最后根据含30度直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
在中，
（米）
故答案为：15米．
13．5
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵中，为斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
14．12
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为12．
15．/75度
【分析】本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质．
根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
16．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键．
（1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由题意易得，然后可知，进而问题可求证．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴．
又∵平分，
∴；
（2）证明：∵，且，
∴，
∴．
在与中，，
∴，
∴．
17．(1)证明过程见解析；
(2)的度数为．
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定．
（1）由直角三角形的两个锐角互余，结合角平分线的定义，可得，根据平行线的判定即可证得结论；
（2）由和的关系，结合已知可得，根据角平分线的定义可得，即可得的度数．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵、分别平分，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
18．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．
（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数．
（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，
，
，
，
，
．
，
是直角三角形．
19．(1)海岛到灯塔的距离为20海里
(2)还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解；
（2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可．
【详解】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里）．
答：海岛到灯塔的距离为20海里；
（2）解：如图，过点作于点，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，，
又∵，
∴，
在中，，
∴（海里），
（小时）．
答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短．
20．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算；
（1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）先证明是等边三角形，再根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵，是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．

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