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17.3勾股定理 练习
一、单选题
1．如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形的中线，则的长为（ ）

A．5 B．6 C．6.5 D．1
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ）
A．65 B．45 C．55 D．35
4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
6．在中，斜边，则的值为（ ）
A．12 B．22 C．32 D．无法计算
7．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
10．如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
11．已知三角形三边长为a，b，c，如果，那么是（ ）
A．以a为腰的等腰三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底的等腰三角形
12．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ）
A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时
二、填空题
13．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ．
14．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米．
15．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
16．已知中，，，上的中线，则为 三角形．
三、解答题
17．如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：．
18．如图，纬一街两侧分别有A，B两个居民区，它们到街道所在直线的距离分别为千米，千米，千米，现要在纬一街修建一个快递站，且要它到居民区A，B的距离之和最小，在图中标出快递站的位置，并求出此时快递站到居民区A，B的直线距离之和．
19．如图，一架长13米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙12米．
(1)此时梯子顶端离地面多少米？
(2)若梯子顶端上移2米，那么梯子底端将向右滑动多少米？
20．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长．
《17.3勾股定理 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B C C D B C
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边中线的性质，掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，是解题关键．由勾股定理可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，，，，
，
为直角三角形的中线，
，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意；
、∵，
∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解．
【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为，
根据勾股定理得：，
又，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理．
利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：如图，连接，
借助网格和勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴为直角三角形；
∵，
∴为直角三角形；
∵，
∴为直角三角形；
∴直角三角形有3个，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可．
【详解】解：由折叠知，，
∵D是的中点，，
∴，
设，
∵，
则，
在中，，
由勾股定理，得，
解得，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值．
【详解】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案．
【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可．
【详解】解：设，
由勾股定理得：
，
∴，
化简得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，由题意得米，米，由勾股定理求出（米）即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得米，米，
∴（米），
∴这棵大树在折断前的高度为（米），
故选：．
11．C
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，掌握非负数的性质是解题的关键．
根据非负数的性质得出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可．
【详解】解：，
，，，
，，，
，
，
是以为斜边的直角三角形，
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，由题意知，，，
，
，
，
根据题意，（海里），（海里），
（海里），
我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）．
故选：D．
13．13
【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键．
设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设第三个数为，
分两种情况：
①为最大数时，，
解得：（不是整数，舍去）；
②为最大数时，，
解得：（负值已舍去）；
综上所述，第三个勾股数是．
故答案为： ．
14．2.5
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键；
根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】如图，由题知，，米，米，米，
米，
设米，米，，则米，
在直角中，，即，
在直角中，，即，
，解得，
，解得，
米，即木板的长为2.5米．
故答案为：2.5．
15．15
【分析】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可．
本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
根据勾股定理，得（米），
由两只猴子所经过的距离相等，得，
∴米
故，
解得，
故树高为：米，
故答案为：15．
16．等腰
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、等腰三角形的判定，解题的关键是先证明是直角三角形．由于是中线，易知，根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，可知，即是的中垂线，于是，可判断是等腰三角形，又知，故不是直角三角形．
【详解】解：如图所示，是中线，
是中线，
，
在中，，
是直角三角形，
，
是的中垂线，
，
是等腰三角形，
，
不是直角三角形．
故答案为：等腰．
17．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明．根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积列式，整理后即可得到结论．
【详解】证明：∵，
整理，得，
∴．
18．快递站位置见解析，千米
【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．连接交纬一街于点，过点作，交的延长线于点，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如答图，连接交纬一街于点，
则快递站建在点处时，到两处居民区的距离之和最短；
过点作，交的延长线于点，
在中，（千米），
千米，
由勾股定理，得，
即，
∴千米，
∴此时快递站到居民区的直线距离之和为千米．
19．(1)5
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
（1）根据勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）
由题意得，米，米，
在中，（米），
故此时梯子顶端离地面5米；
（2）由题意得，（米），米，
在中，（米），
则（米），
故梯子底端将向右滑动米．
20．
【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，因为，
所以．
在中，
因为，
所以，
所以．

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