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(共69张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第2课时 空间向量的数量积
探究点一 空间向量的夹角
探究点二 空间向量的数量积运算
探究点三 空间向量数量积的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握空间向量的夹角概念及表示方法；
2.掌握两个空间向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律；
3.能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 两个空间向量的夹角
1.定义:给定两个非零向量,,在空间中任选一点,作, ,
则大小在内的称为与 的______,记作______.
2.如果，，则称向量与向量 ______，记作______.
夹角
,
垂直
3.规定：零向量与任意向量都垂直.
知识点二 空间向量的数量积及性质
1.定义:两个非零向量与 的数量积（也称为内积）定义为________
_____________.
规定：零向量与任意向量的数量积为0.
,
2.投影：一般地，给定空间向量和空间中的直线或平面，过
的始点和终点分别作直线或平面的垂线，假设垂足为， ，则
向量称为在直线或平面 上的投影.
与的数量积等于在上的投影的数量与 的长度的______.
乘积
3.空间向量数量积的性质
（1） _________.
（2） _____.
（3） .
（4） .
（5） （交换律）.
（6） （分配律）.
注:不满足结合律 .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）对于向量,,若,则一定有或 .( )
×
（2）对于非零向量,由,可得 .( )
×
（3）若,则, 是钝角.( )
×
（4）若非零向量，为同向的空间向量,则 .( )
√
（5）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上
的投影为 .( )
×
（6）若,为空间向量，则 .( )
√
（7）对于非零向量,,，若，则 .( )
×
[解析] 若，则，所以 ，此时无
法判断 是否成立.
探究点一 空间向量的夹角
例1 在正方体 中，求：
（1），，，，， ；
解：在正方体 中，
，， ，
，，，，， .
（2），，， ；
解：在正方体中，， ，
，，， .
（3），,， .
解：连接，，易知, ，
和都是等边三角形，，， ，
.
变式 在正四面体中，点，分别是，的中点，则 与
的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，，所以， ，
， .
√
［素养小结］
求两向量夹角的关键是把两向量平移到一个公共起点，找到向量的
夹角，再利用解三角形的知识求角，注意向量夹角的范围是.
探究点二 空间向量的数量积运算
例2（1）［2025·广西玉林高二期中］如图，边长为4
的正方形是圆柱的轴截面， 为上底面圆
内一点，则 的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[解析] 由题得
，当且仅当 与重合时，等号成立，
故 的最小值为12.故选D.
√
（2）如图所示，已知 平面， ，
，则向量在向量 上的投影的数
量是____.
[解析] 因为 平面，， ，
所以，.在 中，，
则向量在向量 上的投影的数量是 .
变式（1）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正
四棱柱， 是一条侧棱， 是上底面
上其余的八个点，则 的可能值
的个数为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 因为图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，
所以在上的投影都是 ，
所以, ，
即 的值只有一个．故选A.
√
（2）［2025·广东深圳高二期中］在正三棱锥中， 是
的中心，，则 __.
[解析] 在正三棱锥中，是的中心， 平面
，又 平面，，即 ，
， ，
， .
［素养小结］
（1）空间向量数量积运算的两种方法:
①利用定义:利用,并结合运算律进行计算.
②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将两向量平移到同一顶点,
利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行计算.
（2）在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开.
③利用,求解.
探究点三 空间向量数量积的应用
例3（1）［2025·沈阳高二期中］已知空间向量，， 满足
，，，，则与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设与的夹角为 ，由，得 ，两边同时
平方得，所以 ，
解得，又 ，所以 .故选D.
√
（2）［2025·武汉高二期末］在棱长为6的正四面体中，点 与
满足，，则 _____.
[解析] 由题得 ， ，
所以 .
,
所以 ，
所以 .
变式（1）［2025·湖南常德高二期中］已知空间向量,, 两两夹角
均为 ，其模均为1，则 ____.
[解析]
.
（2）在平行六面体中，底面 是边长为1的正
方形，侧棱，且 ，则 ____，
直线与直线 所成角的余弦值为_ __.
[解析] 因为 ，所以
，所以 .
因为 ，所以
，
所以.因为 ，
，所以 ，
又 ，
,，
所以直线与直线 所成角的余弦值为 .
［素养小结］
利用空间向量的数量积公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂
直有关的问题．常用性质有：
（1）；
（2），；
（3）.
1.如图所示,在正方体 中,下列各
组向量的夹角为 的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
√
[解析] 对于A，因为 ，结合正方体的
性质可得与的夹角为 ，所以 与
的夹角为 ，故A正确；
对于B，由 与方向相反，结合A可知与 的夹角为
，故B不正确；
对于C，因为 ，结合正方体的性质知与垂直，
所以与的夹角为 ，故C不正确；
对于D，因为，而与方向相反，所以与 的夹
角为 ，故D不正确.故选A.
2.已知正方体的棱长为1，且, ,
，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
[解析] 根据题意知,,, ，则
，所以原式
，故选C.
√
3.在四面体中， ,，则在
上的投影为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得， ，所以
，所以在 上的投影为
.故选B.
√
4.在正四面体中，，若，则
___.
6
[解析] .
5.如图，在平行六面体中，, ,
， ，则 的长为_____.
[解析] 依题意可得， ，
， ，
， ，即
的长为 .
， ，
1.关于空间中两个非零向量之间的夹角需注意以下几点：
（1）由定义可知两个非零向量,的夹角 ,与向量的大小无关，
只与方向有关.两个非零向量,的夹角的取值范围是 .
（2）必须将两个非零向量平移到同一始点，才能确定其夹角，显然
， .
（3）注意分清与表示点的符号 .
（4）若,则称与互相垂直，记作，此时表示与
的有向线段所在的两条直线可能是相交垂直，也可能是异面垂直.当
时，向量,同向；当 时，向量, 反向.
（5）表示两个非零向量, 的有向线段所在的两条直线可能是共面
直线，也可能是异面直线.两条异面直线的夹角 的取值范围是
.当为锐角或直角时，有;当 为钝角时，有
.
2.关于空间中向量的数量积，需要注意以下几点：
（1）两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，其值为两
个向量的模的积乘两个向量夹角的余弦值，其值的正负由夹角的余
弦值决定.
（2）两个向量的数量积是两个向量乘法运算的一种，数量积又称为
内积，书写时只能用符号而不能用,也不能用 表示.
（3）两个向量与的数量积的几何意义：数量积等于在 上
的投影的数量与的长度的乘积；要明确向量在向量
上的投影仍是一个向量，其模为 .
（4）数量积定义 ,可求向量的数量积；变形得
,可求两个向量的夹角，利用这一结论，可以较方便
地解决异面直线所成角的问题；变形得,可求向量
在向量 上的投影的数量.
1.空间向量数量积的运算的关键是确定两向量的夹角,再结合数量积
公式求解.
例1 如图，已知正方体的棱长为 .
（1）求 ；
解： 平面， 平面 ，
， .
（2）求 ；
解： ，
.
例1 如图，已知正方体的棱长为 .
（3）求 .
解： .
例1 如图，已知正方体的棱长为 .
2.空间向量数量积也可以通过分解所求向量，将所求向量分解成已知
向量的线性形式，再计算数量积，数量积运算要注意两个向量的夹角.
例2 ［2025·广东惠州高二期中］已知棱长为2的正方体
，点 是其表面上的动点，该正方体内切球的一条
直径是，则 的取值范围是______.
[解析] 设正方体 的内切球球心
为，则也是正方体的中心，则为 的中点，
， ①，
，上面两式分别平方并相减得
.
点是正方体表面上的动点，当 位于正方体和内切球的切点时，最小，
最小值为1，当 位于正方体的顶点时， 最大，最大值为正方体体
对角线的一半，即，故 .
练习册
一、选择题
1.如图，在正方体中，,
( )
A. B. C. D.
[解析] 连接，，,,是 的补角.
,，, .故选D.
√
2.［2024·广东东莞高二期中］已知空间向量，满足 ，
，，则 的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
[解析] 因为，， ，所以
，所以 .
故选C.
√
3.在三棱锥中，，，则 ，
( )
A. B. C. D.
[解析] ，， .故选D.
√
4.在四面体中, ,且,,则
在 上的投影为( )
A. B. C. D.
[解析] 由,得,,
,,在上的投影为 .
√
5.已知正四面体的棱长为2，点是 的重心，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 点是的重心,,又正四面体
的棱长为2，
.故选D.
√
6.［2024·河北邢台高二期中］某圆锥的轴截面是边长为4的正三角
形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则 的最小
值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 如图，设圆锥的顶点为 ，底面圆的圆
心为，则, ，则圆锥的高
， ，
当垂直于过点的母线时， 的长最小，
即为，故 的最小值为 ，故选B.
7.［2025·浙江温州高二期末］如图，在平行六
面体中，底面 是正方
形，，是 的中点，
，则异面直线 与
所成角的正弦值为( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 设，则 ，
， , .
由 ，得
.因为 ，
所以 ，
因为， 所以,，所以异面直线 与 所成角的正弦值为1.故选C.
8.（多选题）在正方体 中，下列四个说法中正确的
是( )
A. B.
C.与的夹角为 D.在上的投影为
√
√
√
[解析] ，
故A正确；
，故B正确；
与的夹角是与夹角的补角，与的夹角为 ，
与的夹角为，故C错误；
，且在 上的投影为，在上的投影为，
故D正确．故选 .
9.（多选题）在棱长均为1的四面体 中，下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，取的中点，连接， ，则，
，因为 ，,平面，
所以平面 ，又平面，所以 ，
所以，故A正确；
，
故B正确；
√
√
√
因为 ，
，所以
，
，所以 ，故C正确；
因为，所以，故D不正确.故选 .
二、填空题
10.［2024·浙江杭州高二期中］设正方体 的棱长为
1，则 ___.
1
[解析] .
11.［2025·内蒙古赤峰高二期中］已知空间向量，满足 ，
，，则向量， 的夹角为___.
[解析] 因为空间向量，满足，， ，
所以，可得 ，
所以,，因为,，所以 ,
，所以向量，的夹角为 .
12.已知是棱长为1的正方体 （含正方体表面）内
任意一点，点是棱的中点，则 的最大值为__．
[解析] 因为点是棱的中点，所以 ，所以
,
因为,表示 在上投影的数量，,表示在 上投影的数量，
当点在棱上时，,取得最大值， ,
取得最大值，所以 的最大值为
.
三、解答题
★13.（13分）已知不共面的三个单位向量,, 两两之间的夹角
均为 ，， .
（1）求证： ；
证明：因为 ，
所以，所以 ，
即 .
（2）求, .
解：因为 ，
所以 ，
， ，
所以， ，
所以, .
★13.（13分）已知不共面的三个单位向量,, 两两之间的夹角
均为 ，， .
［结论］ 求解两个向量的数量积一般要根据几何体的结构特征将未
知向量用模长已知、夹角已知的向量进行线性表示.
14.（15分）［2025·广西来宾高二期末］ 已知，，， 为空间内
不共面的四点，为 的重心.
（1）若，求 的值；
解：因为是的重心，所以 ，
则 ，
即，所以 .
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求 .
解：由题得 ，由（1）知
，
所以 ，即 .
14.（15分）［2025·广西来宾高二期末］ 已知，，， 为空间内
不共面的四点，为 的重心.
15.已知空间向量,,满足,,, ,则
的值为_____.
[解析] , ,
,
.
16.点是底面边长为 ，高为2的正三棱柱表面上的一个动点，
是该三棱柱内切球的一条直径，则 的取值范围是______.
[解析] 由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为，所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.夹角 , 2.垂直
知识点二 1., 2.乘积 3.（1） （2）
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）√ （7）×
课中探究 例1（1），，，，，
（2）m>，，， （3），，，
变式 C 例2（1）D （2） 变式（1）A （2）
例3（1）D （2） 变式（1） （2）
课堂评价 1.A 2.C 3.B 4.6 5.
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B 7.C 8.ABD 9.ABC
10.1 11. 12.
13.（1）证明略（2）m>,
14.（1）（2）>
15. 16.第2课时　空间向量的数量积
【课前预习】
知识点一
1.夹角　　2.垂直　a⊥b
知识点二
1.a·b=|a||b|cos　2.乘积
3.(1)a·b=0　(2)|a|2
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×
[解析] (7)若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,所以a⊥(b-c),此时无法判断b=c是否成立.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,
∵AA'⊥AB,AD⊥AB,AA'⊥AD,
∴<,>=,<,>=,<,>=.
(2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,∵=,=-,∴<,>=0,<,>=π.
(3)连接AC,BD,易知AD'=D'C=AC,BC'=DC'=BD,∴△AD'C和△BC'D都是等边三角形,∴<,>=,<,>=π-=.
变式　C　[解析] 由题意可得,=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.
探究点二
例2　(1)D　(2)-3　[解析] (1)由题得·=(+)·(+)=-=-22≥42-22=12,当且仅当M与O重合时,等号成立,故·的最小值为12.故选D.
(2)因为PA⊥平面ABC,PA=AB=6,AC=6,所以PB=6,PC=12.在△PBC中,cos∠PBC==-,则向量在向量上的投影的数量是||cos∠PBC=6×=-3.
变式　(1)A　(2)　[解析] (1)因为图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱,所以(i=1,2,…,8)在上的投影都是,所以·=||·||cos<,>=||2=1(i=1,2,…,8),即·(i=1,2,…,8)的值只有一个.故选A.
(2)∵在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,∴PO⊥平面ABC,又OB 平面ABC,∴PO⊥BO,即·=0,∵PA=AC=2,AB=CB=AC=2,∴||=·||·sin60°=,∴·=·(+)=||2+·=||2-||2=4-=.
探究点三
例3　(1)D　(2)　[解析] (1)设a与b的夹角为θ,由a=b+c,得a-b=c,两边同时平方得a2-2a·b+b2=c2,所以1-2×1×2×cos θ+4=7,解得cos θ=-,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.故选D.
(2)由题得||=||=||=6,∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,所以·=·=·=6×6×cos 60°=18.因为=-=(+)-=-++,所以==++||2-·-·+·
=16+9+9-12-12+9=19,所以||=.
变式　(1)　(2)　　[解析] (1)|a+b-2c|===
=
=.
(2)因为=++,所以==+++2·+2·+2·=12+12+22+2×1×1×cos 90°+2×2×1×cos 120°+2×2×1×cos 120°=2,所以AC1=.因为=+,所以==++2·=12+12+0=2,所以||=.因为=++,所以==+++2·+2·+2·=
12+12+22+2×1×1×cos 90°+2×1×2×cos 60°+2×1×2×cos 120°=6,所以||=,又·=(+)·(+)=(+)·(-+)=·-+·+-·+·=0-1+1×2×cos 120°+1-0+1×2×cos 120°=-2,所以|cos<,>|===,所以直线BD1与直线AC所成角的余弦值为.
【课堂评价】
1.A　[解析] 对于A,因为=,结合正方体的性质可得与的夹角为45°,所以与的夹角为45°,故A正确;对于B,由与方向相反,结合A可知与的夹角为135°,故B不正确;对于C,因为=,结合正方体的性质知与垂直,所以与的夹角为90°,故C不正确;对于D,因为=,而与方向相反,所以与的夹角为180°,故D不正确.故选A.
2.C　[解析] 根据题意知===90°,则a·b=a·c=b·c=0,所以原式=8a2-3b2-2c2=8-3-2=3,故选C.
3.B　[解析] 由题得·=·=0,=++,所以·=(++)·=,所以在上的投影为·=·=.故选B.
4.6　[解析] ·=(2+)·=2·+·=2×2×2×cos+2×2×cos=6.
5.　[解析] 依题意可得=16,=16,=25,·=4×4×cos 90°=0,·=4×5×cos 60°=10,·=4×5×cos 60°=10.∵=++,∴=+++2·+2·+2·=16+16+25+2×0+2×10+2×10=97,∴||=,即AC1的长为.第2课时　空间向量的数量积
【学习目标】
1.掌握空间向量的夹角概念及表示方法;
2.掌握两个空间向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律;
3.能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
◆ 知识点一　两个空间向量的夹角
1.定义:给定两个非零向量a,b,在空间中任选一点O,作=a,=b,则大小在[0,π]内的∠AOB称为a与b的　　　　,记作　　　　.
2.如果=,则称向量a与向量b　　　　,记作　　　　.
3.规定:零向量与任意向量都垂直.
◆ 知识点二　空间向量的数量积及性质
1.定义:两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为　　　　　　　　　　　　.
规定:零向量与任意向量的数量积为0.
2.投影:一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影.
a与b的数量积等于a在b上的投影的数量与b的长度的　　　　.
3.空间向量数量积的性质
(1)a⊥b 　　　　.
(2)a2=a·a=　　　　.
(3)|a·b|≤|a||b|.
(4)(λa)·b=λ(a·b).
(5)a·b=b·a(交换律).
(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
注:不满足结合律(a·b)·c=a·(b·c).
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　 )
(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　 )
(3)若a·b<0,则是钝角. (　 )
(4)若非零向量a,b为同向的空间向量,则a·b=|a||b|. (　 )
(5)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影为e1.(　 )
(6)若a,b为空间向量,则(a+b)·(a-b)=a2-b2. (　 )
(7)对于非零向量a,b,c,若a·b=a·c,则b=c.(　 )
◆ 探究点一　空间向量的夹角
例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求:
(1)<,>,<,>,<,>;
(2)<,>,<,>;
(3)<,>,<,>.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
[素养小结]
求两向量夹角的关键是把两向量平移到一个公共起点,找到向量的夹角,再利用解三角形的知识求角,注意向量夹角的范围是[0,π].
◆ 探究点二　空间向量的数量积运算
例2 (1)[2025·广西玉林高二期中] 如图,边长为4的正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面,M为上底面圆O内一点,则·的最小值为 (　 )
A.6 B.8 C.10 D.12
(2)如图所示,已知PA⊥平面ABC,AC=6,PA=AB=BC=6,则向量在向量上的投影的数量是　　　　.
变式 (1)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的可能值的个数为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)[2025·广东深圳高二期中] 在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AC=2,则·=　　　　.
[素养小结]
(1)空间向量数量积运算的两种方法:
①利用定义:利用a·b=|a||b|cos并结合运算律进行计算.
②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将两向量平移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行计算.
(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开.
③利用a·b=|a||b|cos求解.
◆ 探究点三　空间向量数量积的应用
例3 (1)[2025·沈阳高二期中] 已知空间向量a,b,c满足a=b+c,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a与b的夹角为 (　 )
A.30° B.150°
C.60° D.120°
(2)[2025·武汉高二期末] 在棱长为6的正四面体ABCD中,点P与Q满足=,=2,则||=　　　.
变式 (1)[2025·湖南常德高二期中] 已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a+b-2c|=　　　　.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2,且∠A1AB=∠A1AD=120°,则AC1=　　　　,直线BD1与直线AC所成角的余弦值为　　　　.
[素养小结]
利用空间向量的数量积公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.常用性质有:
(1)a⊥b a·b=0;
(2)cos=;
(3)|a|==.
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是 (　 )
A.与 B.与
C.与 D.与
2.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,且=a,=b,=c,则(4a+b-2c)·(2a-3b+c)=(　 )
A.1 B.2
C.3 D.-1
3.在四面体ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影为 (　 )
A. B. C. D.
4.在正四面体ABCD中,AB=2,若=2+,则·=　　　　.
5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为　　　　. 第2课时　空间向量的数量积
一、选择题
1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<,>= (　 )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
2.[2024·广东东莞高二期中] 已知空间向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=1,则|2a-b|的值为(　 )
A.1 B.
C.2 D.4
3.在三棱锥O-ABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则<,>= (　 )
A. B.
C. D.
4.在四面体ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则在上的投影为 (　 )
A. B.
C. D.
5.已知正四面体PABC的棱长为2,点D是△PAB的重心,则·= (　 )
A. B.-
C. D.-
6.[2024·河北邢台高二期中] 某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形,AB是底面圆的一条直径,P是侧面上一动点,则·的最小值为 (　 )
A.1 B.-1
C. D.-
7.[2025·浙江温州高二期末] 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD是正方形,AA'=2AB,M是CD的中点,∠A'AB=∠A'AD=120°,则异面直线AC'与BM所成角的正弦值为 (　 )
A. B.
C.1 D.
8.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列四个说法中正确的是 (　 )
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.在上的投影为
9.(多选题)在棱长均为1的四面体ABCD中,下列结论正确的是 (　 )
A.·=0
B.+++=0
C.·=·
D.|2+|=2
二、填空题
10.[2024·浙江杭州高二期中] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则(+)·(+)=　　　　.
11.[2025·内蒙古赤峰高二期中] 已知空间向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),则向量a,b的夹角为　　　　.
12.已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1(含正方体表面)内任意一点,点E是棱BC的中点,则·的最大值为　　　　.
三、解答题
★13.(13分)已知不共面的三个单位向量,,两两之间的夹角均为60°,=++,=+.
(1)求证:OM⊥BC;
(2)求cos<,>.
14.(15分)[2025·广西来宾高二期末] 已知A,B,C,P为空间内不共面的四点,G为△ABC的重心.
(1)若++=k,求k的值;
(2)若向量,,的模长均为2,且两两夹角为,求||.
15.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为　　　　.
16.点P是底面边长为2,高为2的正三棱柱表面上的一个动点,MN是该三棱柱内切球的一条直径,则·的取值范围是　　　　. 第2课时　空间向量的数量积
1.D　[解析] 连接BD,A'D,∵=,∴<,>是∠DBA'的补角.∵A'D=A'B=BD,∴∠DBA'=60°,∴<,>=120°.故选D.
2.C　[解析] 因为|a|=1,|b|=2,a·b=1,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4-4+4=4,所以|2a-b|=2.故选C.
3.D　[解析] ∵·=·(-)=·-·=||·||cos-||·||cos=0,∴<,>=.故选D.
4.B　[解析] 由∠ACD=∠BDC=90°,得·=·=0,∴·=(++)·=·
+||2+·=||2=1,∴cos<,>==,∴在上的投影为2××=.
5.D　[解析] ∵点D是△PAB的重心,∴=(+),又正四面体PABC的棱长为2,∴·=(+)·(-)=(·-·+·-)=×=-.故选D.
6.B　[解析] 如图,设圆锥的顶点为V,底面圆的圆心为O,则VA=4,OA=2,则圆锥的高VO==2,·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-4,当PO垂直于过点P的母线时,PO的长最小,即为=,故·的最小值为-4=-4=-1,故选B.
7.C　[解析] 设AA'=2AB=2a,则||=||=a,||=2a,·=0,·=·=-a2.由=++,得||====a.因为=++=-,所以||===a,因为·=(++)·=+·--·+·=0,所以cos<,>==0,所以异面直线AC'与BM所成角的正弦值为1.故选C.
8.ABD　[解析] (++)2=(++)2==3,故A正确;·(-)=·=0,故B正确;与的夹角是与夹角的补角,∵与的夹角为60°,∴与的夹角为120°,故C错误;∵=,且在上的投影为,∴在上的投影为,故D正确.故选ABD.
9.ABC　[解析] 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD,因为AM∩BM=M,AM,BM 平面ABM,所以CD⊥平面ABM,又AB 平面ABM,所以CD⊥AB,所以·=0,故A正确;+++=(+)+(+)=+=0,故B正确;因为AD=AB=CB=CD=1,∠BAD=∠BCD=60°,所以·=||·||cos∠BAD=1×1×=,·=||·||cos∠BCD=1×1×=,所以·=·,故C正确;因为=4+4·+=4+4×1×1×cos 120°+1=3,所以|2+|=,故D不正确.故选ABC.
10.1　[解析] (+)·(+)=·+·++·=0+0+1+0=1.
11.　[解析] 因为空间向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),所以a·(a+2b)=a2+2a·b=2+2a·b=0,可得a·b=-1,所以cos==-=-,因为0≤≤π,所以=,所以向量a,b的夹角为.
12.　[解析] 因为点E是棱BC的中点,所以=(+),所以·=·(+)=(·+·)=(||||cos<,>+||||cos<,>),因为||cos<,>表示在上投影的数量,||cos<,>表示在上投影的数量,当点P在棱CC1上时,||cos<,>取得最大值||,||cos<,>取得最大值||,所以·的最大值为(||2+||2)=×(1+1+1)=.
13.解:(1)证明:因为·=·=·=1×1×cos 60°=,
所以·=(++)·(-)=·(-)+(+)·(-)=-=1-1=0,所以⊥,即OM⊥BC.
(2)因为·=·=·=1×1×cos 60°=,
所以·=(++)·(+)=4,==6,==3,
所以||=,||=,
所以cos<,>===.
[结论] 求解两个向量的数量积一般要根据几何体的结构特征将未知向量用模长已知、夹角已知的向量进行线性表示.
14.解:(1)因为G是△ABC的重心,所以++=0,
则+++++=0,
即++=3,所以k=3.
(2)由题得·=·=·=2,由(1)知=(++),所以=[+++2(·+·+·)]=×(4+4+4+2×6)=,即||=.
15.-13　[解析] ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-13.
16.[0,4]　[解析] 由题意知内切球的半径为1,设球心为O,则·=(+)·(+)=+·(+)+·=||2-1.因为1≤||≤,所以·∈[0,4].

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