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2.2 直线及其方程
2.2.2 直线的方程
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
探究点一 求直线的点斜式方程
探究点二 求直线的斜截式方程
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解直线的方程、方程的直线的概念;
2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程;
3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线的概念及直线在
轴上的截距的含义.
知识点一 直线的方程
如果直线上点的坐标都是方程 的解，而且以方程
的解为坐标的点都在直线上，则称为直线 的
方程，而直线称为方程 的直线.此时，为了简单起见，
“直线”也可说成“直线”，并且记作 .
知识点二 直线的点斜式方程
1.已知是直线 上一点.
（1）如果直线的斜率不存在，则直线 的方程为_______.
（2）如果直线的斜率存在且为，设为直线上不同于 的点，
则，即，化简可得__________________.
①方程由直线上一点和直线的斜率确定，我们把 叫作直线的点
斜式方程.
②方程 适用的条件：直线的斜率存在.
2.已知是直线上一点，且的斜率为 ，则直线的一个方向
向量为；另一方面，设 为平面直角坐标系中任意一
点，则在直线上的充要条件是与 共线，又因为
，所以 .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线过定点 .( )
√
[解析] 由直线的点斜式方程知,方程表示过点 ，
斜率为 的直线.
（2）轴所在直线的方程为 ，该方程是点斜式方程.( )
×
[解析] 轴所在直线的倾斜角为 ，斜率不存在，因此没有点斜式
方程，但轴上任一点的横坐标都为0，所以 轴所在直线的方程为
.
（3）轴所在直线的方程为 ，该方程是点斜式方程.( )
√
[解析] 因为轴所在直线的倾斜角为 ，斜率为0，且 轴所在直线
过原点，所以轴所在直线的方程为，即 ，
是点斜式方程.
（4）已知直线上一点，则该直线可以用点斜式方程表示.( )
×
[解析] 过一点且与 轴垂直的直线不可以用点斜式方程表示.
知识点三 直线的斜截式方程
1.直线的截距：当直线既不是轴也不是轴时，若与 轴的交点为
，则称在轴上的截距为___；若与轴的交点为，则称
在轴上的截距为___.一条直线在 轴上的截距简称为______．
截距
2.直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，截距为，则直线 的方
程为，整理得___________.
（1）方程由直线的斜率和截距确定，我们把 叫作直线的斜截
式方程.
（2）方程 适用的条件：直线的斜率存在.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线在轴上的截距是直线与 轴的交点到原点的距离.( )
×
[解析] 直线在轴上的截距是直线与 轴交点的纵坐标.
（2）直线的斜截式方程 是一次函数.( )
√
（3）直线在轴上的截距为 .( )
×
（4）直线在轴上的截距为 .( )
√
2.（1）直线在坐标轴上的截距是什么？
解：直线与轴相交时，交点的横坐标为直线在 轴上的截距，直
线与轴不相交时，直线在轴上的截距不存在；
直线与 轴相交时，交点的纵坐标为直线在轴上的截距，直线与
轴不相交时，直线 在 轴上的截距不存在.
（2）直线,,在轴上的截距与在 轴上的截距分别
是什么
解：直线在轴上的截距为,在轴上的截距不存在;
直线 在轴上的截距不存在,在轴上的截距为;
直线在 轴上的截距与在 轴上的截距均为0.
探究点一 求直线的点斜式方程
例1 根据下列条件写出直线的点斜式方程．
（1）经过点，倾斜角为 ；
解：因为倾斜角为 ，所以斜率 ，所以直线的点
斜式方程为 ．
（2）经过点,且与 轴平行;
解：由题意知,直线的斜率 ,所以直线的点斜式方程为
.
（3）经过点,且与 轴垂直;
解：由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为 ,该直线
没有点斜式方程.
（4）过点且直线的一个方向向量为 .
解：因为直线的一个方向向量为 ,所以直线的斜率
,所以直线的点斜式方程为 .
变式 已知在第一象限，若，， ，
，求：
（1）边 所在直线的方程；
解：， 两点的纵坐标均为1，
边所在直线与轴平行，其方程为 .
（2）边和边 所在直线的点斜式方程．
解：平行于轴，且 在第一象限，
， ，
边所在直线的点斜式方程为，边 所在直线
的点斜式方程为 ．
［素养小结］
（1）求直线的点斜式方程的一般步骤:定点 定斜率
写出方程.
（2）点斜式方程可表示过点的所有直线,
但直线除外.
探究点二 求直线的斜截式方程
［探索］ 直线的斜截式方程与点斜式方程有什么关系 如何求出直
线的斜截式方程
解：直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,并且形式简单，特点
明显.只要知道了直线的斜率及其在 轴上的截距,直线方程就确定了.
例2 根据下列条件写出直线的斜截式方程.
（1）斜率为2,在 轴上的截距是5;
解：知直线的斜截式方程为 .
（2）倾斜角为 ,在轴上的截距是 ;
解： 直线的倾斜角为 , 其斜率 ,
直线的斜截式方程为 .
（3）倾斜角为 ,与 轴的交点到坐标原点的距离为3；
解： 直线的倾斜角为 , 其斜率 .
直线与 轴的交点到坐标原点的距离为3,
直线在轴上的截距为3或 ,
直线的斜截式方程为或 .
（4）过点，斜率为 .
解： 直线的斜率，且直线过点 ，
直线的点斜式方程为 ，
化成斜截式方程得 ．
变式（1）已知点,，直线与线段 无交
点，则直线在轴上的截距为_____， 的取值范围是_______.
[解析] 直线在轴上的截距为
表示直线 的斜率，直线恒过点，，，
若直线与线段 无交点，则的取值范围是 .
（2）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则
的值是____.
[解析] 因为直线能与两坐标轴围成三角形，所以 ，
令，得，所以直线与轴的交点坐标为，
令 ，得，所以直线与轴的交点坐标为 ，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,解得 .
［素养小结］
求直线的斜截式方程时的注意点：
（1）在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．
（2）截距是直线与轴（或轴）交点的横（或纵）坐标，它是个数
值，可正、可负、可为零．
1.已知直线过点且斜率为，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为直线过点且斜率为，所以直线 的点斜式方程
为 .故选D.
√
2.方程 表示( )
A.过点 的所有直线
B.过点 的所有直线
C.过点且不垂直于 轴的所有直线
D.过点且除去 轴的所有直线
[解析] 方程，即表示过点 且斜
率为 （斜率存在）的直线.故选C.
√
3.若直线 经过第一、二、四象限，则( )
A., B., C., D.,
[解析] 直线经过第一、二、四象限，, .故选C.
√
4.［2024·甘肃酒泉高二期中］已知直线的一个方向向量为 ，
若过点，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据直线的方向向量可得直线的斜率为，又因为直线 过点
，所以直线的方程为 ,故选A.
√
5.下列说法中正确的个数为( )
①直线过点 ；
②直线在 轴上的截距是2；
③直线 的图象不经过第四象限；
④直线的倾斜角为 .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] ①因为满足，所以直线 过点
，故①正确；
②当时，，故直线在 轴上的截距是，
故②错误；
③由，得, ,故其图象不经过第四象限，
故③正确；
④直线 的斜率为，故其倾斜角为 ，故④正确.
故选C.
1.关于直线的点斜式方程，需注意以下几个方面：
（1）建立点斜式方程的依据是，已知直线的斜率和直线上一点可以
确定一条直线.
（2）点斜式方程是直线方程最基本的形式，其他确定直线的条件大
都可以转化为点斜式来处理.
（3）直线过点且与轴垂直时，它的倾斜角为 ，斜率
，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ；直线
过点且与轴垂直时，它的倾斜角为 ，斜率不存在，不
能用点斜式方程表示，这时直线的方程为 .
（4）经过点的直线有无数条，可分为两类：斜率 存在时，
直线方程为；斜率不存在时，直线方程为 .
2.直线的斜截式方程和一次函数的表达式之间的区别和联系：
（1）直线的斜率 时，斜截式方程就是一次函数的解析式.
（2）斜截式方程不能表示垂直于 轴的直线，即斜率不存在的直线
只能用表示；一次函数解析式既不能表示垂直于 轴的直线，
也不能表示垂直于 轴的直线.
1.利用直线的点斜式方程求直线方程的步骤:①在直线上找一点,并确
定其坐标 ;②判断直线的斜率是否存在,若存在，求出斜率;③
利用直线的点斜式方程写出直线方程（直线的斜率不存在时,其方程
为 ）.
例1 求过点且与轴的交点到点 的距离为5的直线的方程,
若斜率存在,写出直线的点斜式方程.
解：若直线的斜率不存在,则满足条件的直线的方程为 .
若直线的斜率存在,设直线的斜率为 ,则其方程为
，
此时直线与轴的交点坐标为 ,
由题意得,解得 ，
则当直线的斜率存在时，直线的点斜式方程为 .
故所求直线方程为或 .
2.直线的斜截式方程不仅形式简单,而且特点明显,只要确定了斜率
和截距 的值,则图形情况就一目了然.
例2（1）已知直线在轴上的截距为 ,且它与两坐标轴围成的三角
形的面积为6,求直线 的方程；
解：由题意可设直线的方程为,则直线 与两坐标
轴的交点坐标分别为, .
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积 ,所以
,故直线的方程为或 .
（2）［2024·河南南阳高二期中］若过点的直线 的倾斜角是
直线的倾斜角的两倍，求直线 的方程；
解：直线的斜率为，其倾斜角为，则直线 的倾
斜角为，斜率为 ，
所以直线的方程为，即 .
（3）已知为坐标原点，倾斜角为的直线与， 轴的正半轴分别
相交于点，，的面积为，求直线 的方程.
解：依题意，直线的斜率为，
设直线在 轴上的截距为 ，则直线的方程为，
令，得直线在 轴上的截距为，所以, ，
所以的面积为，可得，所以直线 的
方程为 .
练习册
一、选择题
1.已知直线过点，且一个方向向量为，则直线 的
方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为直线的一个方向向量为，所以直线 的斜率为2，
所以直线的方程为 .故选C.
√
2.已知直线不经过第一象限，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由直线 不经过第一象限，得直线的斜率不
大于0，且在轴上的截距不大于0，则,且 ,所以
,即的取值范围为 .故选B.
√
3.经过点且斜率是直线 的斜率的2倍的直线方程是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可知，所求直线的斜率是 ,则所求直线方程为
.故选C.
√
4.［2025·福建福州高二期中］已知直线经过点和 ，且在
轴上的截距是1，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为直线在轴上的截距是1，所以直线过点，
又直线 过点，所以直线的斜率，所以直线 的方程为
，即，又直线过点 ，所以
，解得 .故选D.
√
5.［2025·江苏苏州高二期中］若直线沿 轴向左平移4个单位，再沿
轴向上平移2个单位后回到原来的位置，则直线 的斜率是( )
A. B. C.2 D.
[解析] 设直线的方程为，将直线沿 轴向左平移4个单位
得到直线的方程为，再沿 轴向上平移2个单位得到
直线的方程为 ，
因为直线回到原来的位置，所以，解得 .故选B.
√
6.在同一平面直角坐标系中，直线 和直线
的位置关系有可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，直线单调递减，与 轴交于正半轴，
则,，直线单调递减，与 轴交于负半轴，
则,，故A错误；
对于B，直线单调递减， 与轴交于负半轴，
则,，直线单调递减， 与轴交于负半轴，
则, ，故B正确；
对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，
则, ，直线单调递增，与轴交于正半轴，
则, ，故C错误；
对于D，直线单调递增，与 轴交于正半轴，
则,，直线单调递减，与 轴交于正半轴，
则, ，故D错误.故选B.
7.若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是 ，则其
斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设直线的斜率为，则直线 的方程为
.
令，得直线在轴上的截距为 ，则，
解得,所以直线 的斜率的取值范围为 .故选A.
8.（多选题）已知直线过， 两点，则( )
A.直线的斜率为 B.直线的倾斜角为
C.直线在轴上的截距为6 D.直线在轴上的截距为
√
√
[解析] 直线的斜率，故A错误；
设直线 的倾斜角为 ， ，则，
所以 ，故B正确；
根据点斜式方程，直线的方程为 ，即
，令，得，令，得 ，所以
直线在轴上的截距为6，在轴上的截距为 ，故C正确，D错误.
故选 .
9.（多选题）下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.直线在 轴上的截距为1
C.直线的倾斜角为
D.若,，直线与线段 相交，则
实数的取值范围是
√
√
√
[解析] 对于A， 可变形为
，故直线 必过定点，故A正确；
对于B，可化为 ，故直线在轴上的
截距为 ，故B错误；
对于C，直线的斜率为，其倾斜角为 ，
故C正确；
对于D，可化为 ，该直线过定点
，因为,，所以 或，
解得或，故实数 的取值范围是，
故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知直线的方程为,则直线在 轴上的截距为
____.
[解析] 由，可得，所以直线在 轴上的
截距为 .
11.已知,，则过的中点且倾斜角为 的直线的点
斜式方程为___________________.
[解析] 设的中点为，则，又斜率 ，
所以所求直线的点斜式方程为 .
12.已知直线，若直线与轴、 轴分别交
于，两点，当为坐标原点的面积为时，直线 的方程为
________________________.
或
[解析] 直线与轴、 轴的交点分别为
,, ,
又，,即 ，解得
或,故直线的方程为或 .
三、解答题
13.（13分）已知的三个顶点是,, .
（1）求边 所在直线的方程；
解：依题意，直线的斜率 ,
所以直线的方程为，即 .
（2）求边的中线 所在直线的方程.
解：依题意，边的中点为 ，
则直线的斜率 ,
所以直线的方程为 .
14.（13分）一条直线经过， 两点，求此直线的斜截
式方程.若将换成，当 最大时，求其斜截
式方程.
解：过，两点的直线的斜率 ，则该直线
的斜截式方程为 .
将换成后， ，
当时，取得最大值2，此时直线的斜截式方程为 .
15.已知直线不经过第三象限,且当 时,
,则, 的值分别为( )
A.2,3 B.,3 C.1,1 D. ,3
√
[解析] ①若该直线经过第一、二、四象限,则,且随 的增大而减小,
当时,,当时,,故 解得
若该直线经过第二、四象限,则,且随 的增大而减小,
当时,,当时,,故 无解.故选D.
16.（15分）在等腰三角形中，，，直线 的斜
率为，求直线，及角 的平分线所在直线的方程.
解：由题易得直线的方程为 ,即
.
由题得轴， 直线的倾斜角为 ，
直线的倾斜角 为 或 .
当 时，直线的方程为 ,即
，此时角的平分线所在直线的倾斜角为 ，
角的平分线所在直线的方程为 ,
即 .
当 时，直线的方程为 ,
即 ,
此时角的平分线所在直线的倾斜角为 ，
角的平分线所在直线的方程为 ,
即 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点二 1.（1） （2）
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）×
知识点三 1. 截距 2.
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）× （4）√ 2.略
课中探究 例1（1） （2）
（3）,该直线没有点斜式方程 （4）
变式（1）（2）
例2（1） （2）
（3）或（4）
变式（1）m> （2）
课堂评价 1.D 2.C 3.C 4.A 5.C
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.BC 9.ACD
二、填空题
10. 11. 12.或
三、解答题
13.（1）（2） 14.
思维探索 15.D 16. 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程
1.C　[解析] 因为直线l的一个方向向量为v=(1,2),所以直线l的斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x+1).故选C.
2.B　[解析] 由直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,得直线的斜率不大于0,且在y轴上的截距不大于0,则3-2k≤0,且-6≤0,所以k≥,即k的取值范围为.故选B.
3.C　[解析] 由题可知,所求直线的斜率是,则所求直线方程为y-1=(x+1).故选C.
4.D　[解析] 因为直线l在x轴上的截距是1,所以直线l过点(1,0),又直线l过点(3,2),所以直线l的斜率k==1,所以直线l的方程为y-0=1(x-1),即y=x-1,又直线l过点(m,3),所以3=m-1,解得m=4.故选D.
5.B　[解析] 设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴向左平移4个单位得到直线的方程为y=k(x+4)+b,再沿y轴向上平移2个单位得到直线的方程为y=k(x+4)+b+2=kx+4k+b+2,因为直线回到原来的位置,所以4k+b+2=b,解得k=-.故选B.
6.B　[解析] 对于A,直线l1:y=kx+b单调递减,l1与y轴交于正半轴,则k<0,b>0,直线l2:y=bx+k单调递减,l2与y轴交于负半轴,则b<0,k<0,故A错误;对于B,直线l1:y=kx+b单调递减,l1与y轴交于负半轴,则k<0,b<0,直线l2:y=bx+k单调递减,l2与y轴交于负半轴,则b<0,k<0,故B正确;对于C,直线l1:y=kx+b单调递增,l1与y轴交于负半轴,则k>0,b<0,直线l2:y=bx+k单调递增,l2与y轴交于正半轴,则b>0,k>0,故C错误;对于D,直线l1:y=kx+b单调递增,l1与y轴交于正半轴,则k>0,b>0,直线l2:y=bx+k单调递减,l2与y轴交于正半轴,则b<0,k>0,故D错误.故选B.
7.A　[解析] 设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y-2=k(x-1).令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则3<1-<5,解得-18.BC　[解析] 直线l的斜率k==-,故A错误;设直线l的倾斜角为α,0°≤α<180°,则tan α=-,所以α=150°,故B正确;根据点斜式方程,直线l的方程为y-=-(x-3),即y=-x+2,令y=0,得x=6,令x=0,得y=2,所以直线l在x轴上的截距为6,在y轴上的截距为2,故C正确,D错误.故选BC.
9.ACD　[解析] 对于A,y=ax-2a+3(a∈R)可变形为y-3=a(x-2)(a∈R),故直线y=ax-2a+3(a∈R)必过定点(2,3),故A正确;对于B,y+1=2x可化为y=2x-1,故直线y+1=2x在y轴上的截距为-1,故B错误;对于C,直线y=-x-的斜率为-,其倾斜角为150°,故C正确;对于D,y=-mx+m+1可化为y-1=-m(x-1),该直线过定点C(1,1),因为kAC==-4,kBC==,所以-m≥或-m≤-4,解得m≤-或m≥4,故实数m的取值范围是∪[4,+∞),故D正确.故选ACD.
10.-9　[解析] 由y+=(x-1),可得y=x-9,所以直线l在y轴上的截距为-9.
11.y-2=-(x-1)　[解析] 设AB的中点为M,则M(1,2),又斜率k=tan 120°=-,所以所求直线的点斜式方程为y-2=-(x-1).
12.y=-x+3或y=-x+　[解析] ∵直线l:y=kx-2k+1与x轴、y轴的交点分别为A,B(0,1-2k),∴S△AOB=×|1-2k|=×,又k<0,∴S△AOB=×=,即4k2+5k+1=0,解得k=-1或k=-,故直线l的方程为y=-x+3或y=-x+.
13.解:(1)依题意,直线BC的斜率k1==1,
所以直线BC的方程为y-3=x-2,即y=x+1.
(2)依题意,边BC的中点为M(0,1),
则直线AM的斜率k2==-3,
所以直线AM的方程为y=-3x+1.
14.解:过A(2,1),B(0,-3)两点的直线的斜率kAB==2,则该直线的斜截式方程为y=2x-3.
将A(2,1)换成A(2+a2,1+a2)后,kAB==1+,
当a2=0时,kAB取得最大值2,此时直线的斜截式方程为y=2x-3.
15.D　[解析] ①若该直线经过第一、二、四象限,则b≠0,且y随x的增大而减小,∴当x=2时,y=1,当x=4时,y=-1,故解得②若该直线经过第二、四象限,则b=0,且y随x的增大而减小,∴当x=2时,y=1,当x=4时,y=-1,故无解.故选D.
16.解:由题易得直线AC的方程为y-2=(x+1),即y=x+2+.
由题得AB∥x轴,∵直线AC的倾斜角为60°,
∴直线BC的倾斜角α为30°或120°.
当α=30°时,直线BC的方程为y-2=(x+3),即y=x+2+,
此时角A的平分线所在直线的倾斜角为120°,
∴角A的平分线所在直线的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+2-.
当α=120°时,直线BC的方程为y-2=-(x+3),
即y=-x+2-3,
此时角A的平分线所在直线的倾斜角为30°,
∴角A的平分线所在直线的方程为y-2=(x+1),
即y=x+2+.2.2.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程
【学习目标】
1.了解直线的方程、方程的直线的概念;
2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程;
3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线的概念及直线在y轴上的截距的含义.
◆ 知识点一　直线的方程
如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.
◆ 知识点二　直线的点斜式方程
1.已知P0(x0,y0)是直线l上一点.
(1)如果直线l的斜率不存在,则直线l的方程为　　　　.
(2)如果直线l的斜率存在且为k,设P(x,y)为直线l上不同于P0的点,则=k,即=k,化简可得　　　　　　　　.(*)
①方程(*)由直线上一点和直线的斜率确定,我们把(*)叫作直线的点斜式方程.
②方程(*)适用的条件:直线的斜率存在.
2.已知P0(x0,y0)是直线l上一点,且l的斜率为k,则直线的一个方向向量为a=(1,k);另一方面,设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则P在直线l上的充要条件是与a共线,又因为=(x-x0,y-y0),所以y-y0=k(x-x0).
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线y-3=k(x+1)过定点(-1,3). (　 )
(2)y轴所在直线的方程为x=0,该方程是点斜式方程. (　 )
(3)x轴所在直线的方程为y=0,该方程是点斜式方程. (　 )
(4)已知直线上一点,则该直线可以用点斜式方程表示. (　 )
◆ 知识点三　直线的斜截式方程
1.直线的截距:当直线l既不是x轴也不是y轴时,若l与x轴的交点为(a,0),则称l在x轴上的截距为　　　;若l与y轴的交点为(0,b),则称l在y轴上的截距为　　　.一条直线在y轴上的截距简称为　　　　.
2.直线的斜截式方程:已知直线l的斜率为k,截距为b,则直线l的方程为y-b=k(x-0),整理得　　　　　　.(*)
(1)方程(*)由直线的斜率和截距确定,我们把(*)叫作直线的斜截式方程.
(2)方程(*)适用的条件:直线的斜率存在.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离. (　 )
(2)直线的斜截式方程y=kx+b是一次函数. (　 )
(3)直线y=kx-b在y轴上的截距为b. (　 )
(4)直线y-y0=k(x-x0)在y轴上的截距为-kx0+y0. (　 )
2.(1)直线在坐标轴上的截距是什么
(2)直线x=a,y=b,y=kx在x轴上的截距与在y轴上的截距分别是什么
◆ 探究点一　求直线的点斜式方程
例1 根据下列条件写出直线的点斜式方程.
(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;
(2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;
(3)经过点D(1,1),且与x轴垂直;
(4)过点(-1,2)且直线的一个方向向量为a=(4,-3).
变式 已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:
(1)边AB所在直线的方程;
(2)边AC和边BC所在直线的点斜式方程.
[素养小结]
(1)求直线的点斜式方程的一般步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
◆ 探究点二　求直线的斜截式方程
[探索] 直线的斜截式方程与点斜式方程有什么关系 如何求出直线的斜截式方程
例2 根据下列条件写出直线的斜截式方程.
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在 y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3;
(4)过点A(6,-4),斜率为-.
变式 (1)已知点A(1,3),B(-1,4),直线l:y=ax-2与线段AB无交点,则直线l在y轴上的截距为　　　　,a的取值范围是　　　　.
(2)已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形的面积为6,则k的值是　　　　.
[素养小结]
求直线的斜截式方程时的注意点:
(1)在求解过程中,常因混淆截距与距离的概念,而漏掉解.
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标,它是个数值,可正、可负、可为零.
1.已知直线l过点P(-1,2)且斜率为-1,则直线l的方程为 (　 )
A.y-2=x+1 B.y-2=x-1
C.y-2=-(x-1) D.y-2=-(x+1)
2.方程y=k(x+4)表示 (　 )
A.过点(-4,0)的所有直线
B.过点(4,0)的所有直线
C.过点(-4,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.过点(-4,0)且除去x轴的所有直线
3.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则 (　 )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
4.[2024·甘肃酒泉高二期中] 已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),若l过点A(-4,3),则直线l的方程为 (　 )
A.y-3=(x+4) B.y+3=(x-4)
C.y-3=-(x+4) D.y+3=-(x-4)
5.下列说法中正确的个数为 (　 )
①直线y=-x+3过点P(1,2);
②直线y=kx-2在y轴上的截距是2;
③直线y=x+4的图象不经过第四象限;
④直线y=(x+1)的倾斜角为30°.
A.1 B.2 C.3 D.42.2.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程
一、选择题
1.已知直线l过点M(-1,0),且一个方向向量为v=(1,2),则直线l的方程是 (　 )
A.y=2(x-1) B.y=-2(x-1)
C.y=2(x+1) D.y=-2(x+1)
2.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
3.经过点(-1,1)且斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是 (　 )
A.x=-1
B.y=1
C.y-1=(x+1)
D.y-1=2(x+1)
4.[2025·福建福州高二期中] 已知直线l经过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则m=(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.[2025·江苏苏州高二期中] 若直线l沿x轴向左平移4个单位,再沿y轴向上平移2个单位后回到原来的位置,则直线l的斜率是 (　 )
A. B.-
C.2 D.-2
6.在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=kx+b和直线l2:y=bx+k的位置关系有可能是(　 )
A B C D
7.若直线l经过点A(1,2),且在x轴上的截距的取值范围是(3,5),则其斜率的取值范围是(　 )
A.
B.
C.(-∞,-1)∪
D.(-∞,-1)∪
8.(多选题)已知直线l过(3,),(9,-)两点,则 (　 )
A.直线l的斜率为-
B.直线l的倾斜角为150°
C.直线l在x轴上的截距为6
D.直线l在y轴上的截距为3
9.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.直线y=ax-2a+3(a∈R)必过定点(2,3)
B.直线y+1=2x在y轴上的截距为1
C.直线y=-x-的倾斜角为150°
D.若A(2,-3),B(-3,-2),直线y=-mx+m+1与线段AB相交,则实数m的取值范围是∪[4,+∞)
二、填空题
10.已知直线l的方程为y+=(x-1),则直线l在y轴上的截距为　　　　.
11.已知A(3,4),B(-1,0),则过AB的中点且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为　　　　　　.
12.已知直线l:y=kx-2k+1(k<0),若直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,当△AOB(O为坐标原点)的面积为时,直线l的方程为　　　　　　　　　　.
三、解答题
13.(13分)已知△ABC的三个顶点是A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求边BC的中线AM所在直线的方程.
14.(13分)一条直线经过A(2,1),B(0,-3)两点,求此直线的斜截式方程.若将A(2,1)换成A(2+a2,1+a2),当kAB最大时,求其斜截式方程.
15.已知直线l:y=kx+b(k≠0)不经过第三象限,且当x∈[2,4]时,y∈[-1,1],则k,b的值分别为(　 )
A.2,3 B.-2,3
C.1,1 D.-1,3
16.(15分)在等腰三角形ABC中,A(-1,2),B(-3,2),直线AC的斜率为,求直线AC,BC及角A的平分线所在直线的方程.2.2.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程
【课前预习】
知识点二
1.(1)x=x0　(2)y-y0=k(x-x0)
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)由直线的点斜式方程知,方程y-3=k(x+1)表示过点(-1,3),斜率为k的直线.
(2)y轴所在直线的倾斜角为90°,斜率不存在,因此没有点斜式方程,但y轴上任一点的横坐标都为0,所以y轴所在直线的方程为x=0.
(3)因为x轴所在直线的倾斜角为0°,斜率为0,且x轴所在直线过原点,所以x轴所在直线的方程为y-0=0·(x-0),即y=0,是点斜式方程.
(4)过一点且与x轴垂直的直线不可以用点斜式方程表示.
知识点三
1.a　b　截距　2.y=kx+b
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标.
2.解:(1)直线l与x轴相交时,交点的横坐标为直线l在x轴上的截距,直线l与x轴不相交时,直线l在x轴上的截距不存在;直线l与y轴相交时,交点的纵坐标为直线l在y轴上的截距,直线l与y轴不相交时,直线l在y轴上的截距不存在.
(2)直线x=a在x轴上的截距为a,在y轴上的截距不存在;直线y=b在x轴上的截距不存在,在y轴上的截距为b;直线y=kx在x轴上的截距与在y轴上的截距均为0.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1,所以直线的点斜式方程为y-5=x-2.
(2)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y+1=0.
(3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.
(4)因为直线的一个方向向量为a=(4,-3),所以直线的斜率k==-,所以直线的点斜式方程为y-2=-(x+1).
变式　解:(1)∵A,B两点的纵坐标均为1,
∴边AB所在直线与x轴平行,其方程为y=1.
(2)∵AB平行于x轴,且△ABC在第一象限,
∴kAC=tan 60°=,kBC=tan(180°-45°)=tan 135°=-1,
∴边AC所在直线的点斜式方程为y-1=(x-1),边BC所在直线的点斜式方程为y-1=-(x-5).
探究点二
探索 解:直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,并且形式简单,特点明显.只要知道了直线的斜率及其在y轴上的截距,直线方程就确定了.
例2　解:(1)易知直线的斜截式方程为y=2x+5.
(2)∵直线的倾斜角为150°,∴其斜率k=tan 150°=-,
∴直线的斜截式方程为y=-x-2.
(3)∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k=tan 60°=.
∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,
∴直线在y轴上的截距为3或-3,
∴直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3.
(4)∵直线的斜率k=-,且直线过点A(6,-4),
∴直线的点斜式方程为y+4=-(x-6),
化成斜截式方程得y=-x+4.
变式　(1)-2　(-6,5)　(2)±　[解析] (1)直线l:y=ax-2在y轴上的截距为-2.a表示直线l的斜率,直线l恒过点P(0,-2),kPA=5,kPB=-6,若直线l与线段AB无交点,则a的取值范围是(-6,5).
(2)因为直线y=kx+4能与两坐标轴围成三角形,所以k≠0,令x=0,得y=4,所以直线与y轴的交点坐标为(0,4),令y=0,得x=-,所以直线与x轴的交点坐标为,所以直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形的面积为×4×=6,解得k=±.
【课堂评价】
1.D　[解析] 因为直线l过点P(-1,2)且斜率为-1,所以直线l的点斜式方程为y-2=-(x+1).故选D.
2.C　[解析] 方程y=k(x+4),即y-0=k(x+4)表示过点(-4,0)且斜率为k(斜率存在)的直线.故选C.
3.C　[解析] ∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限,∴k<0,b>0.故选C.
4.A　 [解析] 根据直线l的方向向量可得直线的斜率为,又因为直线l过点A(-4,3),所以直线l的方程为y-3=(x+4),故选A.
5.C　[解析] ①因为(1,2)满足y=-x+3,所以直线y=-x+3过点P(1,2),故①正确;②当x=0时,y=-2,故直线y=kx-2在y轴上的截距是-2,故②错误;③由y=x+4,得k=1>0,b=4>0,故其图象不经过第四象限,故③正确;④直线y=(x+1)的斜率为,故其倾斜角为30°,故④正确.故选C.

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