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2.2 直线及其方程
2.2.2 直线的方程
第3课时 直线的一般式方程
探究点一 求直线的一般式方程
探究点二 直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系
探究点三 含参数的直线一般式方程有关问题的解决
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解直线的一般式方程的特点,以及与其他方程形式的区别与联系;
2.掌握直线的一般式方程与其他形式之间的相互转化,进一步掌握求
直线方程的方法.
知识点一 直线的一般式方程
关于，的二元一次方程（其中,, 都是实常数，
且，不同时为0，即 ）表示直线，我们把
称为直线的____________.
，不能同时为0，即 .
②直线的一般式方程能表示所有的直线，在求直线方程时，最后结
果一般都化成____________.
一般式方程
一般式方程
③当时，表示一条与 轴______的直线；
当时，表示一条与 轴______的直线；
当时，，直线的斜率为，截距为 .
为直线的一个法向量．若直线 过点
,且它的一个法向量为 ,则它的直线方程为_______
__________________.
垂直
垂直
知识点二 直线方程五种形式之间的互化
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线方程的其他特殊形式都可化为一般式方程.( )
√
（2）任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )
×
[解析] 当 时,一般式方程就不能化为截距式方程.
（3）当,同时为0时，方程 也可表示一条直线.
( )
×
[解析] 当，同时为0时，若，则方程对任意的， 都成立，
此时方程表示整个坐标平面；
若 ，则方程无解，此时方程不表示任何图形.
（4）若直线方程为 ,则直线的斜率为
.( )
×
[解析] 当 时，直线的斜率不存在.
2.已知直线的方程为,不同时为0,求当,, 满
足什么条件时,直线有如下性质:直线经过原点;直线与 轴平行;直线
与轴平行;直线与轴重合;直线与 轴重合.
解：当时,直线经过原点;
当,,时,直线与 轴平行;
当,,时,直线与轴平行;
当,, 时,直线与轴重合;
当,,时,直线与 轴重合.
探究点一 求直线的一般式方程
例1 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线 ；
解：由题可知，所求直线的斜率为3，故其方程为 ，
整理得 .
（2）倾斜角是 ，截距是4；
解：由直线的倾斜角是 得直线的斜率为.当直线在 轴上截距
是4，即过点时，直线方程为 ，整理得；
当直线在轴上截距是4时，直线方程为 ，
整理得.综上，直线方程为 .
（3）经过点， ；
解：由条件得直线的两点式方程为，整理得 .
（4）经过点 ，且在两坐标轴上的截距的和为5.
解：由题意得，直线在轴上的截距为2，故在 轴上的截距为3，所
以直线的截距式方程为，整理得 .
变式 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程.
（1）斜率是,且经过点 的直线的方程为______________.
（2）经过点,且平行于 轴的直线的方程为__________.
（3）在轴和轴上的截距分别是和 的直线的方程为__________
____.
（4）经过两点， 的直线的方程为__________________
___.
[解析] 当时，所求直线的方程为 ，即
;
当时，所求直线的方程为 ，满足式.
所以经过两点， 的直线的方程为 .
［素养小结］
在求直线方程时，常用的是根据给定条件选用四种特殊形式之一求
方程，再化为一般式方程，一般选用规律为：
（1）已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用直线的点斜式
方程；
（2）已知直线的斜率和在轴上的截距时，选用直线的斜截式方程；
（3）已知直线上两点坐标时，选用直线的两点式方程；
（4）已知直线在轴、轴上的截距时，选用直线的截距式方程.
探究点二 直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系
例2 ［2024·内蒙古呼和浩特高二期中］求下列直线的方程.
（1）经过点，且一个法向量为 ；
解： 直线的一个法向量为， 设直线的一般式方程为
，代入得，解得， 所求
直线的方程为 .
（2）经过点，且一个方向向量为 .
解： 直线的一个方向向量为， 斜率， 所求
直线的方程为，即 .
变式（1）若直线过点,且是直线 的一个法向量，
则直线 的方程为________________.
[解析] 由是直线的一个法向量，设直线 的方程为
，由点在直线上，得，故直线 的方
程为 .
（2）［2024·河南开封高二期中］直线 的一个方向向
量为，则 ___.
3
[解析] 由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量为 ，
因为，所以，解得 .
［素养小结］
已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路：
（1）若已知直线的一个法向量为，可直接设直线的方程
为，然后代入点的坐标求；
（2）若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求
直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量.
探究点三 含参数的直线一般式方程有关问题的解决
例3 已知直线 .
（1）若不论取何值，直线恒过定点，求点 的坐标；
解：可化为 ，
当时，无论取何值都有 ，所以直线恒过定点 .
（2）若直线不过第二象限，求实数 的取值范围.
解：由（1）知，直线恒过定点， 可
化为，要使直线 不过第二象限，
只需解得 .
故实数的取值范围为 .
例3 已知直线 .
变式 设直线 的方程为
.
（1）已知直线在轴上的截距为,求 的值;
解：由题意知,即且 .
令,得 ,,可得 .
（2）已知直线的斜率为1,求 的值;
解：由题意知,即且.将直线 的一般式
方程化为斜截式方程，得,则 ,
可得 .
变式 设直线 的方程为
.
（3）若直线与轴平行，求 的值.
解： 直线与轴平行，解得 .
变式 设直线 的方程为
.
［素养小结］
（1）对含参数的直线的一般式方程的有关问题,需灵活地把一般式方
程变形为相应的直线方程形式.
（2）当直线方程中含有参数时，直线恒过定点.如直线
，可将其变形为，然后
解方程组确定定点坐标.也可以将其变形为
，由直线的点斜式方程可知直线过定点.若直
线方程形式为,则直线恒过点.
1.若方程表示直线,则, 应满足的条件为( )
A. B. C. D.
[解析] 方程表示直线的条件为, 不同时为0,即
.故选D.
√
2.［2025·贵州毕节高二期中］直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
[解析] 直线的斜率为 ,故选C.
√
3.已知直线经过点，且是直线 的一个法向量，则
直线 的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是直线的一个法向量，所以可设直线 的方
程为，又直线经过点，所以，故直线
的方程为 .故选C.
√
4.（多选题）已知直线，其中, 不全为0，则下
列说法正确的是( )
A.当时，直线 过坐标原点
B.当时，直线 的倾斜角为锐角
C.当,时，直线与 轴平行
D.若直线过点，直线 的方程可化为
√
√
[解析] 对于A，当时，将代入，得 ，则
直线过坐标原点，故A正确；
对于B，当 时，直线的方程可化为,
则直线 的斜率,则直线的倾斜角为钝角，故B错误；
对于C，当 , 时，由,不全为0，得，直线
的方程可化为,则直线与轴垂直，故C错误；
对于D，直线 过点，则,可得 ，
代入，得 ，即
，故D正确.故选 .
5.［2025·浙江杭州学军中学高二期中］将直线 绕点
逆时针旋转 后得到的直线方程为________________.
[解析] 直线的斜率为，则其倾斜角为 ，又点
在直线上，所以将直线绕点 逆
时针旋转 后得到的直线的倾斜角为 , ，所以得
到的直线方程为，即 .
1.关于直线的一般式方程 需要注意以
下几点：
（1）已知两个独立的条件可求直线方程.求直线方程，表面上需求, ,
三个系数，由于，不同时为0，若 ，则方程化为,
只需确定，的值；若 ，则方程化为，只需确定，
的值.因此，只要知道两个条件，就可求出直线方程.
（2）在直线的一般式方程 中，若
，则，它表示一条与轴垂直的直线；若 ，则
，它表示一条与 轴垂直的直线.
2.直线方程五种形式的比较
名称 已知条件 标准方程 适用范围
点斜式 点和斜率 不垂直于 轴的
直线
斜截式 斜率和在 轴上的截距 不垂直于 轴的
直线
名称 已知条件 标准方程 适用范围
两点式 点 和点 不垂直于，
轴的直线
截距式 在轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，且截 距不为零 不垂直于，
轴的直线，不
过原点的直线
一般式 两个独立的条件 ， 不全为零
续表
求直线的一般式方程的关键是选准合适的方程形式,最后化成一般式
方程,一般式方程中的系数一般为非负数且, 的系数不是分数.
例1 已知直线的方程为 .
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求 的值；
解：当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为0， ，
此时直线的方程为 ；
当直线不过原点时，， ，
，此时直线的方程为 .故 的值为0或2.
（2）若不经过第二象限，求实数 的取值范围．
解：当直线过原点时，，此时直线的方程为，直线
经过第二象限，不符合题意， 直线不过原点，
易知直线的斜率不小于0，且在 轴上的截距小于0，，
， .
例1 已知直线的方程为 .
例2 ［2024·河北衡水高二期中］在平面直角坐标系中，已知射线
，射线 ，过点
作直线分别交射线，于点， .
（1）当线段的中点为时，求直线 的一般式方程；
解：设， .
线段的中点为，， ，
解得，， ，
直线的方程为，即 .
（2）当线段的中点在直线上时，求直线 的一般式方程.
解：设， .
线段的中点在直线 上，
，可得 ，
又直线过点 ， ， 直线的方程为 .
例2 ［2024·河北衡水高二期中］在平面直角坐标系中，已知射线
，射线 ，过点
作直线分别交射线，于点， .
练习册
一、选择题
1.若直线在 轴上的截距为2，则该直线的斜率为
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为直线的纵截距为2，所以 ，解
得，所以该直线的斜率 .故选D.
√
2.［2025·江苏盐城高二期中］已知, ，则直线
经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限
[解析] 直线可变形为，因为, ，
所以直线经过第一、三、四象限，故选B.
√
3.［2025·贵州遵义高二期末］经过点 ，且倾斜角是直线
的倾斜角的2倍的直线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设所求直线的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为，
则, ，所以所求直线的方程
为，即 .故选B.
√
4.过点且以直线 的法向量为方向向量的直线的
一般式方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得所求直线的一个方向向量为 ，则该直线的
斜率为，故所求直线的方程为 ，即
.故选D.
√
5.无论为何值，直线 过一个定点，
则这个定点的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 原方程可化为 ，由
解得所以该直线过定点 .故选B.
√
6.［2024·山东济南高二期中］已知直线
在 轴上的截
距为1，则直线在 轴上的截距为( )
A.或 B.或 C.或5 D. 或5
√
[解析] 直线 可变形为
，因为点在直线 上，所以
且，解得或.
当 时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是 ；
当时，直线的方程为，此时直线在 轴上的截距是.
综上所述，直线在轴上的截距为或 .故选B.
7.［2024·湖南常德一中高二月考］已知直线过点 ，且与直线
及轴围成等腰三角形，则直线 的方程为( )
A.
B.
C.
D.或
√
[解析] 设，易知直线过点 和点.
当直线的方程为时，直线、直线
与轴围成的三角形不是等腰三角形，所以直线的斜率存在.
设点 关于轴的对称点为，当直线过,两点时， ，
三角形是等腰三角形，又直线的斜率为，倾斜角为 ，
所以三角形是等边三角形，所以，此时直线 的方程为
，即.设直线与轴相交于点 ，
若，则，所以直线，即直线的斜率为 ，
对应方程为，即.
综上，直线 的方程为或 ，故选D.
8.（多选题）已知直线,不同时为0 ，则
( )
A.当,时，与 轴垂直
B.当,,时，与 轴重合
C.当时， 过原点
D.当,时， 的倾斜角为锐角
√
√
[解析] 对于A，当,时，直线 ，即
，表示与 轴平行（或重合）的直线，故A错误；
对于B，当,,时，直线，即，即与 轴
重合，故B正确；
对于C，当时，直线，此时 满足方程
，即过原点，故C正确；
对于D，当, 时，直线，即，
斜率,所以 的倾斜角为钝角，故D错误.故选 .
9.（多选题）［2025·湖北宜昌高二期中］ 已知直线
，则( )
A. 不过原点
B.在轴上的截距为
C.的斜率为
D.与坐标轴围成的三角形的面积为
√
√
√
[解析] 因为，所以 不过原点，故A正确；
令，得，所以在轴上的截距为 ，故B错误；
可化为，所以的斜率为 ，故C正确；
可化为，所以直线 与坐标轴围成的三角
形的面积为，故D正确.故选 .
二、填空题
10.过点且平行于轴的直线的方程为______；过点 且平行
于 轴的直线的方程为______.
[解析] 过点且平行于轴的直线的方程为，过点 且平
行于轴的直线的方程为 .
11.若直线 和直线
的斜率互为相反数，则 _ _____.
或0
[解析] 当，即时，， ，
不符合题意；
当即时, , 不符合题意；
当且 时，因为直线和直线
的斜率互为相反数，所以，
解得或.综上， 或0.
12.已知直线， ，当
时，直线， 与两坐标轴围成一个四边形，则该四边形
的面积的最小值为_ __，此时实数 __.
[解析] 直线的方程可整理为 或
，则直线过定点，且其斜率，在 轴上
的截距为，,,.
直线 的方程可整理为或，
则直线 过定点，且其斜率，在轴上的截距为 ，
,,.故直线, 与两坐标轴围成的四边
形的面积
，所以当时，取得最小值，最小值为 .
三、解答题
13.（13分）［2025·安徽亳州高二期中］ 已知直线
, .
（1）求 恒过的定点坐标;
解：整理直线的方程,得 ,
由解得所以直线 恒过的定点坐标为
.
（2）若经过第一、二、三象限，求实数 的取值范围.
解：当时，直线的方程为 ，经过第二、三象限，不符
合题意;
当时, ,因为 经过第一、二、三象限，
所以即 解得或 .
综上所述，当直线经过第一、二、三象限时， 的取值范围是
.
13.（13分）［2025·安徽亳州高二期中］ 已知直线
, .
14.（15分）［2024·浙江绍兴高二期中］ 如图，在平行四边形
中，点是坐标原点，点和点的坐标分别是,, 为线段
上的动点.
（1）当点运动到线段的中点时，求直线
的一般式方程；
解：, ,
， ，
直线的方程为 ，
即 ，
直线的一般式方程为 .
（2）求线段的中点 的轨迹方程.
14.（15分）［2024·浙江绍兴高二期中］ 如图，在平行四边形
中，点是坐标原点，点和点的坐标分别是,, 为线段
上的动点.
解：设点的坐标为，点的坐标为 ，
是线段的中点，, ，
, .
易知直线的方程为 ，
点在线段 上运动， ，
，
即 .
故点的轨迹方程为 .
15.［2024·重庆九龙坡区高二期中］已知直线
，为坐标原点，若直线与轴、 轴
的正半轴分别交于，两点，当最小时， ____.
[解析] 由 ，可得
，令解得即直线 过
定点.
假设直线的截距式方程为 ，则
，所以
，当且仅当，即，时等号成立，
此时直线 的方程为，所以，解得 .
16.（15分）已知点,, ，直线
.
（1）证明：直线 经过某一定点，并求此定点坐标；
解：直线可化为 ，
令解得
故直线经过的定点坐标为 .
（2）若直线等分的面积，求直线 的一般式方程.
解：因为,, ，所以 ，
由题意得直线的方程为 ，
直线经过的定点在直线 上，且
,
设直线与交于点，则 ，
16.（15分）已知点,, ，直线
.
即，解得 .
设，因为，所以 ,
所以,，所以 ,
将点的坐标代入直线的方程，解得,所以直线 的方程为
,即 .
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点一 一般式方程 一般式方程 垂直 垂直
知识点二 【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× 2. 略
课中探究
例1（1） （2）（3）
（4）< 变式 （1） （2）
（3） （4）
例2（1）（2） 变式（1）（2）3
例3（1）（2） 变式（1） （2） （3）
课堂评价 1.D 2.C 3.C 4.AD 5.
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.BC 9.ACD
二、填空题
10. 11.或0 12.
三、解答题
13.（1）（2）>
14.（1）m> （2）m>
思维探索 15. 16.（1）（2）>第3课时　直线的一般式方程
1.D　[解析] 因为直线x+my+4=0的纵截距为2,所以2m+4=0,解得m=-2,所以该直线的斜率k=-=.故选D.
2.B　[解析] 直线ax+by=c可变形为y=-x+,因为->0,<0,所以直线经过第一、三、四象限,故选B.
3.B　[解析] 设所求直线的倾斜角为α,直线x-2y+1=0的倾斜角为β,则tan β=,tan α=tan 2β==,所以所求直线的方程为y-1=(x+1),即4x-3y+7=0.故选B.
4.D　[解析] 由题意可得所求直线的一个方向向量为(2,-3),则该直线的斜率为-,故所求直线的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.故选D.
5.B　[解析] 原方程可化为(2x-y-1)k+(x+2y-8)=0,由解得所以该直线过定点(2,3).故选B.
6.B　[解析] 直线l:(2m2+m-1)x+(1+m-m2)y=2m-1可变形为x+y=,因为点(0,1)在直线l上,所以1+m-m2≠0且=1,解得m=1或m=-2.当m=1时,直线l的方程为2x+y=1,此时直线l在x轴上的截距是;当m=-2时,直线l的方程为-x+y=1,此时直线l在x轴上的截距是-1.综上所述,直线l在x轴上的截距为-1或.故选B.
7.D　[解析] 设A(0,4),易知直线x-y+4=0过点A(0,4)和点B.当直线l的方程为x=0时,直线l、直线x-y+4=0与x轴围成的三角形不是等腰三角形,所以直线l的斜率存在.设点B关于y轴的对称点为C,当直线l过A,C两点时,|AB|=|AC|,三角形ABC是等腰三角形,又直线AB的斜率为,倾斜角为,所以三角形ABC是等边三角形,所以|AC|=|BC|,此时直线l的方程为+=1,即x+y-4=0.设直线l与x轴相交于点D,若|AB|=|BD|,则∠ADB=,所以直线AD,即直线l的斜率为,对应方程为y=x+4,即x-y+4=0.综上,直线l的方程为x+y-4=0或x-y+4=0,故选D.
8.BC　[解析] 对于A,当A=0,B≠0时,直线l:By+C=0(B≠0),即y=-,表示与x轴平行(或重合)的直线,故A错误;对于B,当A≠0,B=0,C=0时,直线l:Ax=0,即x=0,即l与y轴重合,故B正确;对于C,当C=0时,直线l:Ax+By=0,此时满足方程Ax+By=0,即l过原点,故C正确;对于D,当A>0,B>0时,直线l:Ax+By+C=0,即y=-x-,斜率k=-<0,所以l的倾斜角为钝角,故D错误.故选BC.
9.ACD　[解析] 因为2×0-3×0+1≠0,所以l不过原点,故A正确;令y=0,得x=-,所以l在x轴上的截距为-,故B错误;2x-3y+1=0可化为y=x+,所以l的斜率为,故C正确;2x-3y+1=0可化为+=1,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为××=,故D正确.故选ACD.
10.x=2　 y=1　[解析] 过点(2,1)且平行于y轴的直线的方程为x=2,过点(2,1)且平行于x轴的直线的方程为y=1.
11.或0　[解析] 当k+2=0,即k=-2时,l1:x=1,l2:2x+7y-2=0,不符合题意;当2k-3=0,即k=时,l1:9x-7y+12=0,l2:x=-,不符合题意;当k≠-2且k≠时,因为直线l1:3kx-(k+2)y+6=0和直线l2:kx+(2k-3)y+2=0的斜率互为相反数,所以-=0,解得k=0或k=.综上,k=或0.
12.　　[解析] 直线l1的方程可整理为(x-2)a-(2y-4)=0或y=x-(a-2),则直线l1过定点(2,2),且其斜率k1=,在y轴上的截距为2-a,∵00,0<2-a<2.直线l2的方程可整理为(2x-4)+(y-2)a2=0或y=-x+2+,则直线l2过定点(2,2),且其斜率k2=-,在x轴上的截距为a2+2,∵02.故直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形的面积S=×2×(2-a)+×(a2+2)×2=a2-a+4=+,所以当a=时,S取得最小值,最小值为.
13.解:(1)整理直线l的方程,得(2x-y+3)a+3x+y+7=0,
由解得所以直线l恒过的定点坐标为(-2,-1).
(2)当a=1时,直线l的方程为x=-2,经过第二、三象限,不符合题意;
当a≠1时,y=x+,
因为l经过第一、二、三象限,
所以即解得a>1或a<-.
综上所述,当直线l经过第一、二、三象限时,a的取值范围是∪(1,+∞).
14.解:(1)∵C(1,3),∴B(4,3),
∴D,∴kCD=-,∴直线CD的方程为y-3=-(x-1),即3x+5y-18=0,
∴直线CD的一般式方程为3x+5y-18=0.
(2)设点M的坐标为(x,y),点D的坐标为(x0,y0),
∵M是线段CD的中点,∴y=,x=,∴x0=2x-1,y0=2y-3.
易知直线AB的方程为y=3(x-3),
∵点D在线段AB上运动,∴3x0-y0-9=0(3≤x0≤4),
∴3(2x-1)-(2y-3)-9=0,即6x-2y-9=0.
故点M的轨迹方程为6x-2y-9=0.
15.-　[解析] 由(a+2)x-ay-3a-8=0,可得a(x-y-3)+2x-8=0,令解得即直线l过定点P(4,1).假设直线l的截距式方程为+=1(s>0,t>0),则+=1,所以|OA|+|OB|=s+t=(s+t)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即s=6,t=3时等号成立,此时直线l的方程为x+2y-6=0,所以=-,解得a=-.
16.解:(1)直线l:(k+)x-y-2k=0可化为k(x-2)+x-y=0,
令解得故直线l经过的定点坐标为(2,2).
(2)因为A(6,6),B(0,0),C(12,0),所以|AB|=|AC|=|BC|=12,
由题意得直线AB的方程为y=x,
直线l经过的定点M(2,2)在直线AB上,且|AM|==8,
设直线l与AC交于点D,则S△AMD=S△ABC,
即|AM||AD|sin A=××|AB||AC|sin A,解得|AD|=9.
设D(x0,y0),因为=,所以(x0-6,y0-6)=(6,-6),
所以x0=,y0=,所以D,
将点D的坐标代入直线l的方程,解得k=-,所以直线l的方程为x-y-2×=0,即x+17y-36=0.第3课时　直线的一般式方程
【学习目标】
1.理解直线的一般式方程的特点,以及与其他方程形式的区别与联系;
2.掌握直线的一般式方程与其他形式之间的相互转化,进一步掌握求直线方程的方法.
◆ 知识点一　直线的一般式方程
关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B,C都是实常数,且A,B不同时为0,即A2+B2≠0)表示直线,我们把Ax+By+C=0称为直线的　　　　　　　.
①A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.
②直线的一般式方程能表示所有的直线,在求直线方程时,最后结果一般都化成　　　　　　　.
③当A=0时,y=-表示一条与y轴　　　　的直线;
当B=0时,x=-表示一条与x轴　　　　的直线;
当B≠0时,y=-x-,直线的斜率为-,截距为-.
④v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量.若直线l过点P0(x0,y0),且它的一个法向量为v=(A,B),则它的直线方程为　　　　　　　　　　　.
◆ 知识点二　直线方程五种形式之间的互化
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线方程的其他特殊形式都可化为一般式方程. (　 )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. (　 )
(3)当A,B同时为0时,方程Ax+By+C=0也可表示一条直线. (　 )
(4)若直线方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则直线的斜率为-. (　 )
2.已知直线l的方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),求当A,B,C满足什么条件时,直线l有如下性质:直线l经过原点;直线l与x轴平行;直线l与y轴平行;直线l与x轴重合;直线l与y轴重合.
◆ 探究点一　求直线的一般式方程
例1 根据下列条件,分别求出直线的一般式方程:
(1)经过点A(2,4),平行于直线l:3x-y+1=0;
(2)倾斜角是135°,截距是4;
(3)经过点A(2,4),B(-1,1);
(4)经过点A(2,0),且在两坐标轴上的截距的和为5.
变式 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程.
(1)斜率是-,且经过点A(8,-6)的直线的方程为　　　　　　.
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴的直线的方程为　　　　.
(3)在x轴和y轴上的截距分别是和-3的直线的方程为　　　　　　.
(4)经过两点A(1,0),B(m,1)的直线的方程为　　　　　　.
[素养小结]
在求直线方程时,常用的是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,再化为一般式方程,一般选用规律为:
(1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时,选用直线的点斜式方程;
(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用直线的斜截式方程;
(3)已知直线上两点坐标时,选用直线的两点式方程;
(4)已知直线在x轴、y轴上的截距时,选用直线的截距式方程.
◆ 探究点二　直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系
例2 [2024·内蒙古呼和浩特高二期中] 求下列直线的方程.
(1)经过点(2,1),且一个法向量为v=(2,-3);
(2)经过点(2,-3),且一个方向向量为a=(2,4).
变式 (1)若直线l过点A(-5,3),且v=(2,3)是直线l的一个法向量,则直线l的方程为　　　　　　　　.
(2)[2024·河南开封高二期中] 直线2x+y-3=0的一个方向向量为a=(m,-6),则m=　　　　.
[素养小结]
已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路:
(1)若已知直线的一个法向量为v=(m,n),可直接设直线的方程为mx+ny+C=0,然后代入点的坐标求C;
(2)若已知直线的方向向量,可先求直线的斜率,然后利用点斜式求直线的方程,但需要考虑斜率不存在的情况,或转化为直线的法向量.
◆ 探究点三　含参数的直线一般式方程有关问题的解决
例3 已知直线l:(a-1)x+y-a-5=0.
(1)若不论x取何值,直线l恒过定点A,求点A的坐标;
(2)若直线l不过第二象限,求实数a的取值范围.
变式 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)已知直线l的斜率为1,求m的值;
(3)若直线l与y轴平行,求m的值.
[素养小结]
(1)对含参数的直线的一般式方程的有关问题,需灵活地把一般式方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)变形为相应的直线方程形式.
(2)当直线方程中含有参数时,直线恒过定点.如直线l:kx-y+2+k=0,可将其变形为k(x+1)+(-y+2)=0,然后解方程组确定定点坐标.也可以将其变形为y-2=k(x+1),由直线的点斜式方程可知直线过定点(-1,2).若直线方程形式为y=kx+b,则直线恒过点(0,b).
1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为 (　 )
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2+B2≠0
2.[2025·贵州毕节高二期中] 直线5x-4y+3=0的斜率为 (　 )
A. B.-
C. D.-
3.已知直线l经过点O(0,0),且v=(3,-4)是直线l的一个法向量,则直线l的方程为(　 )
A.4x+3y=0 B.4x-3y=0
C.3x-4y=0 D.3x+4y=0
4.(多选题)已知直线l:Ax+By+C=0,其中A,B不全为0,则下列说法正确的是 (　 )
A.当C=0时,直线l过坐标原点
B.当AB>0时,直线l的倾斜角为锐角
C.当B=0,C≠0时,直线l与x轴平行
D.若直线l过点P(x0,y0),直线l的方程可化为A(x-x0)+B(y-y0)=0
5.[2025·浙江杭州学军中学高二期中] 将直线x-y=0绕点(,1)逆时针旋转30°后得到的直线方程为　　　　　　. 第3课时　直线的一般式方程
一、选择题
1.若直线x+my+4=0在y轴上的截距为2,则该直线的斜率为 (　 )
A.-2 B.2
C.- D.
2.[2025·江苏盐城高二期中] 已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c经过 (　 )
A.第一、二、三象限
B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
3.[2025·贵州遵义高二期末] 经过点(-1,1),且倾斜角是直线x-2y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程为 (　 )
A.x=-1
B.4x-3y+7=0
C.x-y+2=0
D.y=1
4.过点(-1,2)且以直线2x-3y-7=0的法向量为方向向量的直线的一般式方程为 (　 )
A.3x-2y-1=0
B.2x-3y-1=0
C.2x+3y-1=0
D.3x+2y-1=0
5.无论k为何值,直线(2k+1)x-(k-2)y-(k+8)=0过一个定点,则这个定点的坐标是 (　 )
A.(0,0) B.(2,3)
C.(3,2) D.(-2,3)
6.[2024·山东济南高二期中] 已知直线l:(2m2+m-1)x+(1+m-m2)y=2m-1(m≠0)在y轴上的截距为1,则直线l在x轴上的截距为 (　 )
A.-5或 B.-1或
C.-1或5 D.-5或5
7.[2024·湖南常德一中高二月考] 已知直线l过点(0,4),且与直线x-y+4=0及x轴围成等腰三角形,则直线l的方程为 (　 )
A.x+y-4=0
B.x+y-4=0
C.x-y+4=0
D.x+y-4=0或x-y+4=0
8.(多选题)已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则 (　 )
A.当A=0,B≠0时,l与x轴垂直
B.当A≠0,B=0,C=0时,l与y轴重合
C.当C=0时,l过原点
D.当A>0,B>0时,l的倾斜角为锐角
9.(多选题)[2025·湖北宜昌高二期中] 已知直线l:2x-3y+1=0,则 (　 )
A.l不过原点
B.l在x轴上的截距为
C.l的斜率为
D.l与坐标轴围成的三角形的面积为
二、填空题
10.过点(2,1)且平行于y轴的直线的方程为　　　　;过点(2,1)且平行于x轴的直线的方程为　　　　.
11.若直线l1:3kx-(k+2)y+6=0和直线l2:kx+(2k-3)y+2=0的斜率互为相反数,则k=　　　　.
12.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0三、解答题
13.(13分)[2025·安徽亳州高二期中] 已知直线l:(2a+3)x+(1-a)y+7+3a=0,a∈R.
(1)求l恒过的定点坐标;
(2)若l经过第一、二、三象限,求实数a的取值范围.
14.(15分)[2024·浙江绍兴高二期中] 如图,在平行四边形OABC中,点O是坐标原点,点A和点C的坐标分别是(3,0),(1,3),D为线段AB上的动点.
(1)当点D运动到线段AB的中点时,求直线CD的一般式方程;
(2)求线段CD的中点M的轨迹方程.
15.[2024·重庆九龙坡区高二期中] 已知直线l:(a+2)x-ay-3a-8=0,O为坐标原点,若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|OA|+|OB|最小时,a=　　　　.
16.(15分)已知点A(6,6),B(0,0),C(12,0),直线l:(k+)x-y-2k=0.
(1)证明:直线l经过某一定点,并求此定点坐标;
(2)若直线l等分△ABC的面积,求直线l的一般式方程.第3课时　直线的一般式方程
【课前预习】
知识点一
一般式方程　②一般式方程　③垂直　垂直
④A(x-x0)+B(y-y0)=0
知识点二
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (2)当C=0时,一般式方程就不能化为截距式方程.
(3)当A,B同时为0时,若C=0,则方程对任意的x,y都成立,此时方程表示整个坐标平面;若C≠0,则方程无解,此时方程不表示任何图形.
(4)当B=0时,直线的斜率不存在.
2.解:当C=0时,直线l经过原点;当A=0,B≠0,C≠0时,直线l与x轴平行;当A≠0,B=0,C≠0时,直线l与y轴平行;当A=0,B≠0,C=0时,直线l与x轴重合;当A≠0,B=0,C=0时,直线l与y轴重合.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由题可知,所求直线的斜率为3,故其方程为y-4=3(x-2),整理得3x-y-2=0.
(2)由直线的倾斜角是135°得直线的斜率为-1.当直线在x轴上截距是4,即过点(4,0)时,直线方程为y=-(x-4),整理得x+y-4=0;当直线在y轴上截距是4时,直线方程为y=-x+4,整理得x+y-4=0.综上,直线方程为x+y-4=0.
(3)由条件得直线的两点式方程为=,整理得x-y+2=0.
(4)由题意得,直线在x轴上的截距为2,故在y轴上的截距为3,所以直线的截距式方程为+=1,整理得3x+2y-6=0.
变式　(1)x+2y+4=0　(2)y-2=0　(3)2x-y-3=0
(4)x-(m-1)y-1=0　[解析] (4)当m≠1时,所求直线的方程为y=(x-1),即x-(m-1)y-1=0(*);当m=1时,所求直线的方程为x-1=0,满足(*)式.所以经过两点A(1,0),B(m,1)的直线的方程为x-(m-1)y-1=0.
探究点二
例2　解:(1)∵直线的一个法向量为v=(2,-3),∴设直线的一般式方程为2x-3y+C=0,代入(2,1)得4-3+C=0,解得C=-1,∴所求直线的方程为2x-3y-1=0.
(2)∵直线的一个方向向量为a=(2,4),∴斜率k==2,∴所求直线的方程为y+3=2(x-2),即2x-y-7=0.
变式　(1)2x+3y+1=0　(2)3　[解析] (1)由v=(2,3)是直线l的一个法向量,设直线l的方程为2x+3y+C=0,由点A(-5,3)在直线l上,得C=1,故直线l的方程为2x+3y+1=0.
(2)由直线的一般式方程可知,该直线的一个法向量为v=(2,1),因为a⊥v,所以2m-6=0,解得m=3.
探究点三
例3　解:(1)(a-1)x+y-a-5=0可化为a(x-1)-x+y-5=0,当x=1时,无论a取何值都有y=6,
所以直线l恒过定点A(1,6).
(2)由(1)知,直线l恒过定点(1,6),(a-1)x+y-a-5=0可化为y=(1-a)x+a+5,要使直线l不过第二象限,
只需解得a≤-5.
故实数a的取值范围为(-∞,-5].
变式　解:(1)由题意知m2-2m-3≠0,即m≠3且m≠-1.
令y=0,得x=,
∴=-3,可得m=-.
(2)由题意知2m2+m-1≠0,即m≠且m≠-1.将直线l的一般式方程化为斜截式方程,得y=x+,则=1,可得m=-2.
(3)∵直线l与y轴平行,∴解得m=.
【课堂评价】
1.D　[解析] 方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A,B不同时为0,即A2+B2≠0.故选D.
2.C　[解析] 直线5x-4y+3=0的斜率为,故选C.
3.C　[解析] 因为v=(3,-4)是直线l的一个法向量,所以可设直线l的方程为3x-4y+C=0,又直线l经过点O(0,0),所以C=0,故直线l的方程为3x-4y=0.故选C.
4.AD　[解析] 对于A,当C=0时,将x=0代入Ax+By=0,得y=0,则直线l过坐标原点,故A正确;对于B,当AB>0时,直线l:Ax+By+C=0的方程可化为y=-x-,则直线l的斜率k=-<0,则直线l的倾斜角为钝角,故B错误;对于C,当B=0,C≠0时,由A,B不全为0,得A≠0,直线l:Ax+By+C=0的方程可化为x=-,则直线l与x轴垂直,故C错误;对于D,直线l过点P(x0,y0),则Ax0+By0+C=0,可得C=-Ax0-By0,代入Ax+By+C=0,得Ax+By-Ax0-By0=0,即A(x-x0)+B(y-y0)=0,故D正确.故选AD.
5.x-y-2=0　[解析] 直线x-y=0的斜率为,则其倾斜角为30°,又点(,1)在直线x-y=0上,所以将直线x-y=0绕点(,1)逆时针旋转30°后得到的直线的倾斜角为60°,tan 60°=,所以得到的直线方程为y-1=(x-),即x-y-2=0.

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