资源简介

1.1.1 集合

学习目标
1.准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系，理解集合元素的确定性、互异性、无序性；
2.了解空集的含义，理解有限集与无限集，熟记常用数集的表示符号；
3.能用列举法和描述法表示集合，能正确使用区间表示集合.
导入新课
《三国志》记载：“布有良马名曰赤兔。”据《三国演义》描述，这匹宝马后来跟随关羽并大展神威。
说一说：下面三句话里的“是”各自的含义是什么？
A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马
B.赤兔马是红马
C.红马是马
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个“集合”或“集”；这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个“元素”。
新课学习
知识点1：集合与元素
知识点1：集合与元素
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个“集合”或“集”；这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个“元素”。
太阳系的八大行星组成一个集合
新课学习
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个“集合”或“集”；这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个“元素”。
单词element中出现的字母组成一个集合
新课学习
知识点1：集合与元素
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个“集合”或“集”；这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个“元素”。
货架上冲调类、美容类商品分别构成一个集合
新课学习
知识点1：集合与元素
1.元素与集合的关系：
①集合和它的元素之间的归属关系，读作“属于”，符号是“∈”.
?
②若????是一个集合，????是????的一个元素，记作????∈????，读作“????属于????”；
③若????不是????的元素，记作?????????，(或???? ????，????∈????)读作“????不属于S”。
?
∈
?
新课学习
集合论中最基本的关系是集合和它的元素之间的归属关系.
例1 设????(????,????)表示直线AB上全体点组成的集合，????∈????(????,????)的含义是什么？
?
解：????∈????(????,????)表示“P是直线AB上的一个点”.
?
例题解析
集合是数学中最基本的概念，具有以下属性：
（1）同一集合中的元素是互不相同的.
（2）集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
（3）集合中的元素没有顺序.
元素的确定性
元素的无序性
元素的互异性
新课学习
2.集合中的元素的属性：
例题解析
例2 下列对象能构成集合的是（ ）
A.高一年级长得帅的学生
B.????????????30°,????????????45°,????????????60°
C.全体很大的自然数
D.平面内到?????????????三个顶点距离相等的所有点
?
D
构成集合的根本保证
元素的确定性
元素的无序性
元素的互异性
新课学习
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作N.
全体整数组成的集合叫整数集，记作Z;
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作Q;
全体实数组成的集合叫实数集，记作R.
3.数学里常用的数集及其记法
通常用????+表示全体正实数组成的集合；类似的有?????,????+,????+,?????,?
?
元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集)，元素无限多的集合叫无限集(或无穷集).没有元素的集合叫空集，记作?；空集也是有限集.
?
新课学习
例题解析
例3 下列集合中哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)一元二次方程????2+1=0的全体实根组成的集合；
(2)所有素数组成的集合；
(3)所有矩形组成的集合；
(4)所有亚洲国家组成的集合.
?
解：由于????2+1=0没有实根，故(1)为空集，是有限集.
由于素数和矩形均有无数个，故(2)和(3)是无限集.
由于亚洲国家的个数有限，故(4)是有限集.
?
新课学习
表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚.
列举法：把集合中的元素一一列举出来.
常用格式是在一个大括号里写出每个元素的名字,相邻的名字用逗号分隔.
如小于10的正偶数组成的集合：
{2，4，6，8}
注 意：大括号不能缺失，元素间要用“，”隔开。
知识点二：表示集合的方法
例题解析
例4 用列举法表示下列集合：
(1)由方程????2?1=0的所有实数解构成的集合????；
(2)平方小于225的所有素数构成的集合????.
?
解：(1)????={1，?1}；
?
(2)平方小于225的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，于是平方小于225的所有素数构成的集合????={2，3，5，7，11，13}.
?
①集合为有限集,元素又不太多,适合用列举法表示.②元素之间存在明显规律的无限集可以用列举法表示,如自然数集N可表示为{0,1,2,3,…,n,…}.

新课学习
描述法：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合．
一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性，如{小于10的正偶数}.有些集合用一句描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．
{????∈????|????(????)}
?

例题解析
例5 选择适当方法表示下列集合：
(1)由大于20且小于30的所有实数组成的集合????；
(2)由方程????2+????2=4的所有整数解(????,????)组成的集合????.
?
解：(1)用描述法：????={????∈????|20＜????＜30}.
?
(2)用列举法：????={(????，????)|????2+????2=4,????∈????,????∈????}
?
描述法表示集合的两个步骤：
（1）写代表元素：分清楚集合中的元素是点、是数或是其他的元素。
（2）明确元素的特征：将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面。
用描述法表示集合的注意点：
方法提炼
（1）用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式.
（2）准确说明集合中元素的共同特征.
（3）所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，代表元素的范围明确，可以省略.如非常明确x∈R，则“∈R”可以省略.
（4）用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，要准确使用“且”“或”等表示描述语句之间关系的词.
新课学习
区间
设????,????是两个实数，????＜????.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}名称
定义
符号
数轴表示
开区间
????＜????＜????
(????,????)
闭区间
????≤????≤????
[????,????]
半开半闭区间
????≤????＜????
[????,????)
半开半闭区间
????＜????≤????
(????,????]
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}名称
定义
符号
数轴表示
开区间
(????,????)
闭区间
[????,????]
半开半闭区间
[????,????)
半开半闭区间
(????,????]
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
实数????,????分别叫作区间的左、右端点.
?

新课学习
实数集????可以用区间表示为(?∞,+∞)，符号∞读作“无穷大”或“无穷”，?∞和+∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或正无穷).
?
特殊的区间：
{????∈????|????≥????}=[????,+∞)
?
{????∈????|????＞????}=(????,+∞)
?
{????∈????|????≤????}=(?∞,????]
?
{????∈????|????＜????}=(?∞,????)
?
例题解析
例6 用区间表示下列集合：
(1){????∈????|?2≤????≤4}；
(2){????∈????|????＜????,????∈????}；
(3){????∈????|????≥0}.
?
解：(1){????∈????|?2≤????≤4}=[-2,4]；
?
(2){????∈????|????＜????,????∈????}=(-∞,????)；
?
(3){????∈????|????≥0}=[0,+∞).
?
我们约定：如果从上下文的关系看，????∈????是明确的，那么集合{????∈????|????＜4}可简单地表示为{????|????＜4}.
?
课堂练习
1、判断正误：
（1）立德中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合.（ ）
（2）单词“good”的构成字母组成的集合中有4个元素.（ ）
2、使用“∈”“?”和数集符号来替代下列自然语言：
(1)“255”是正整数即( )；
(2)“2不是有理数”即( )；
(3)“3.1416是正有理数”即( )；
(4)“-1是整数”即( )；
(5)“????是负实数”即( ).
?
255∈????+
?
2?????
?
3.1416∈????+
?
?1∈????
?
????∈?????
?
×
×
3、已知集合????有两个元素3和????+1,且4∈????,则实数????=_____.
4、用符号“∈”与“?”填空：
①（?1）0_____????+ ；3+2____Q ； 43____Q
②若????2=3,则????___R；若????2=-1，则????___R
5、若以方程????2-3x+2=0和????2-5x+6=0的所有解为元素组成集合????，则????中元素的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
?
课堂练习
3
∈
?
∈
?
∈
?
?
?
?
?
C
1、判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征。
2、要熟练掌握R、Q、Z、N表示什么数集。
3、解决比较复杂的集合问题时要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决。
解决元素与集合关系问题的策略
方法提炼
课堂练习
6、（多选）下列不能构成集合的是（ ）
A.中央电视台著名节目主持人
B.我市跑得快的汽车
C.上海市所有的中学生
D.香港的高楼
ABD
7、由实数????,?????|????|,????2,(????2)2,?????3组成的集合最多含有_______个元素.
8、下列集合中哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)不等式5?????3>7的所有实数解组成的集合；
(2)一元二次方程????2+????+1=0的全体实根组成的集合；
(3)中国古代四大发明组成的集合；
(4)二次函数????=3????2+4的函数值组成的集合.
?
课堂练习
4
有限集
无限集
有限集
无限集
9、已知集合????中含有3个元素1，????,????2?2????,且3∈????，求????的值。
?
课堂练习
解：∵????中含有3个元素且3∈????，∴????=3或 ????2?2????=3
当????=3时，????2?2????=3=????，不满足互异性，故????≠3.
当????2?2????=3时，解得????=?1或????=3（舍去），
当????=?1时，????中有-1,1,3这3个元素，符合题意。
综上所述，????的值为-1.
?
方法提炼
根据集合中元素的基本属性求值的步骤
求解
求解
检验
作答
根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值
根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验
写出所有符合题意的字母的取值
课堂练习
10、已知区间（????2+????+1，7]，求实数????的取值范围.
?
解：由题意知????2+????+1＜7，即????2+?????6＜0，
解得-3＜????＜2，
所以实数????的取值范围为(-3,2)
?
11、用适当的方法表示下列集合：
（1）小于10的所有正奇数组成的集合；
（2）被3除余1的自然数组成的集合；
（3）绝对值不超过5的实数组成的集合；
（4）反比例函数????=1????的图像上所有的点组成的集合。
?
{1，3，5，7，9}
{?????|?????=3????+1,????∈????}
?
{????|?|????|≤5}
?
{????,?????|?????=1????}
?
集合的概念与几种常见的数集
集合的概念
元素与集合的关系
常用数集及记法
元素的确定性
元素的互异性
元素的无序性
属于∈
?
不属于?
?
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
集合的表示与分类
集合的表示方法
集合的分类
连续数集的区间表示
列举法
描述法
有限集
无限集
课堂总结

展开更多......

收起↑