资源简介

1.1.2 子集与补集

学习目标
1.理解集合之间的包含与相等的含义；
2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系；
3.了解全集的含义及其符号表示；
4.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.
复习回顾
集 合
集合与元素
集合的表示方法与分类
集合与元素的概念
集合与元素的关系
集合元素的三要素
常用数集及记法
表示方法
集合的分类
连续数集的区间表示
新课导入
“白马非马”，可乎？曰：“可。”曰“何哉？”曰：“马者，所以命形也；白者，所以命色也。命色者非命形也。故曰：‘白马非马’。”曰：“有白马不可谓无马也。不可谓无马者，非马也？有白马为有马，白之，非马何也？”曰：“求马，黄、黑马皆可致；求白马，黄、黑马不可致。使白马乃马也，是所求一也。所求一者，白者不异马也。所求不异，如黄、黑马有可有不可，何也？可与不可，其相非明。故黄、黑马一也，而可以应有马，而不可以应有白马，是白马之非马，审矣！”
“白马非马”的故事
公孙龙话里的奥妙在哪里？
我牵的是白马，不是马！白马和马是两回事.
公孙龙
守卫
新课学习
知识点1：子集
观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？
　　(1)????={3，5，7}，????=(2，8]；
　　(2)????={等边三角形}，????= {等腰三角形}．
?
(1)中的集合????的每个元素都是集合????的元素，
(2)中的集合????与集合????也有这种关系．
?
发现
新课学习
如果集合????中每个元素都是集合????中的元素，就说????包含于????，或者说????包含????，记作??????????(或?????????)。读作“????包含于????”（或“????包含????”）.
?
{3，5，7}?(2，8]
?
{等边三角形}? {等腰三角形}
?
上述定义也就是说：若由????∈????能推出????∈????，就说?????????．
?
若????包含于????，则称????是????的一个子集.
?
每个集合都是它自己的子集．?????????
?
空集包含于任一集合，是任一集合的子集.
知识点1：子集
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.大圆和小圆分别表示两个集合，集合????与????的包含关系，可以用右图表示.
?
新课学习
传递性
结论： ?????????,且?????????,那么?????????
?
B
A
C
B
A
?????????
?
A(B)
或
新课学习
如果?????????并且?????????，就说两个集合相等，记作????=????.
?
如果?????????但????≠????，就说????是????的真子集，记作?????????.读作“????真包含于????”.
?
（1,6）?[1,6]
?
{红马}?{马}
?
结论： 若????=????,且????=????,则????=????.
?
A(B)
????=????
?
????
?
????
?
?????????
?
结论：①若?????????,且?????????,则?????????.

?
B
A
C
传递性
②若????≠?,则??????
?
？
你能画出数集????,????,????,????之间的????????????????图吗？
?
????
?
????
?
????
?
????
?
尝试与发现：
（1）{????}?????表示集合{????}包含于集合????，是集合与集合之间的关系；而????∈????指的是元素????与集合的关系。

?
（2）{0}是含有一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此??{0}，而{ ?}是含有一个元素?的集合。
?
（1）包含关系{????}?????与????∈????有什么区别？
（2）{0},?与{ ?}之间有什么区别与联系？
?
？
尝试与发现：
例题解析
例1 设????={R，B，G }是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合，写出????的所有子集.
?
分析： 如何不重不漏地写出集合{R，B，G }的所有子集呢？
?
(1)因为空集?是所有集合的子集，所以首先写出?；
?
(2)写出所有由一个元素构成的子集：{????}，{????}，{????}；
?
(3)写出所有由两个元素构成的子集：{????,????}，{????,????}，{????,????}；
?
(4)写出所有由三个元素构成的子集：{R，B，G }.
?
解：????的子集共有8个，分别为：?，{????}，{????}，{????}，{????,????}，{????,????}，
{????,????}，{R，B，G }.
?
可按下面的步骤来写：
新课学习
（1）下象棋时，看棋盘上的局势，就知道被吃掉的棋子有哪些.
（2）上课时，看看教室里的同学，就知道谁没来.
棋盘里的所有棋子、教室里的全部同学分别组成了一个大集合，每个棋子和每位同学分别是这两个集合中的元素，所以可以按照上述方法找出被吃掉的棋子和没来的同学。
知识点2：补集
你知道这是
为什么吗？
新课学习
如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合????的元素和子集，就可以约定把集合????叫作全集（或基本集）.
?
A
A
若????是全集????的子集，????中所有不属于????的元素组成的集合叫作????的补集，记作 ，即 ={????|????∈????,且?????????}.
?
????
?
????
?
当U可以从上下文确定时，????的补集可以记作A
?
知识点2：补集
新课学习
对符号 的理解
A
①????是????的子集，即?????????；
② 表示一个集合，且（ ）?????；
③ 是????中不属于????的所有元素组成的集合，即 ={????|????∈????且?????????}；
④ 仍是????的一个子集，显然
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
( )
=????
?
一般地，不论????是否是????的子集，都可用?????????表示????中所有不属于A的元素组成的集合，它是B 的一个子集.
?
新课学习
补集的性质
（1）????∪ =????
（2）????∩ =?
（3） =?, ?=????, ( )=????;
（4）( )∩( )=
（5）( )∪( )=
?
U
A
A
(A∪B)
?
(A∩B)
?
A
A
B
A
B
例题解析
例2 设????={????∈????|????∈(0,12]},????={????∈????|0＜????＜6},????={????∈????|????∈[7,11]},求 和 .
?
????
?
????
?
解：由条件可知????={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，
????={1,2,3,4,5,}，????={7,8,9,10,11}，
因此 ={6,7,8,9,10,11,12}
={1,2,3,4,5,6,12}
?
????
?
????
?
????
?
????
?
例题解析
例3 把区间[0,1]看成全集，写出它的下列子集的补集：
????=(0,1),????={1},????={????|0≤????＜0.5},????=[0,1].
?
解：由于全集为[0,1]，则有
????={0,1},????=[0,1),????=[0.5,1],????=?.
?
求解补集的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解。这样处理起来比较直观、形象且解答时不宜出错。
(2)如果所给集合是无限集，常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过程中注意端点值能否取到。
方法提炼
课堂练习
1、设????是由6的全体正约数组成的集合，写出????的所有子集.
?
解：由题意可知????={1,2,3,6}，所以????的子集有：
?，{1}，{2}，{3}，{6}，{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，
{2,6}，{3,6}，{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,6}，{2,3,6}，{1,2,3,6}
?
求一个集合的子集、真子集个数的三个步骤
判断
列举
分类
根据集合中元素的多少进行分类
根据子集、真子集的概念判断出集合中
含有元素的可能情况
采用列举法逐一写出每种情况的子集
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}集合
元素个数
子集个数
{????}
1
{????,????}
2
{????,????,????}
3
{????,????,????,????}
4
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}集合
元素个数
子集个数
1
2
3
4
(1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？
(2)如果一个集合中有????个元素，你能写出计算它的所有子集和真子集个数的公式吗（用????表达）？
?
含有????个元素的集合有2????个子集，2????-1个真子集，2????-1个非空子集,2????-2个非空真子集.
?
探究发现
2
4
8
16
2、已知集合????满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合????的个数是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
?
课堂练习
B
3、判断下列每对集合之间的关系：
(1)????={????|????=2????,????∈????}, ????={????|????=4????,????∈????}；
(2)????={1,2,3,4},????={????|????是12的约数}；
(3)????={????|?????3＜2,????∈????+},????={1,2,3,4,5}.
?
?????????
?
?????????
?
?????????
?
判断集合间关系的常用方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}列举
观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素
特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形
结合法
利用数轴或Venn图等直观的判断集合间的关系.不等式的解集之间的关系，适合用数轴法
方法提炼
课堂练习
4、设????={????∈????|????∈[?5,5]},????={????∈????|?5＜????＜5},????={????∈????|????∈[?3,3)},求 , .
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
A
????
?
解：????={?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5}，????={?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4}，????={?3,?2,?1,0,1,2}.
∴ ={?5,5}
={?5,?4,3,4,5}
?
5、 已知集合????={????|?2≤????≤5},????={????|????+1≤????≤2?????1},若?????????,求实数????的取值范围.

?
课堂练习
解得，2≤????≤3
?
解：①当????=?时，由????+1＞2?????1,得????＜2,满足题意；
②当????≠?时，如图所示
?
-2
????+1
?
0
2????-1
?
5
????
?
m+1≥?22m?1≤5m+1≤2m?1
?
∴
综上可得，????的取值范围是{????|????≤3}
?
已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程.
(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误。一般含“=”用实心圆点表示，不含“=”用空心圆圈表示.
(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
方法提炼
6、 设集合????={????|????+????≥0},????={????|?2＜????＜4},全集????=????，且( )∩????=?,求实数????的取值范围.
?
A
课堂练习
解：（1）由????={????|????≥?????}得 ={????|????＜?????},
因为????={????|?2＜????＜4}，（ ）∩????=?,
所以?????≤?2,即????≥2
所以????的取值范围是{????|????≥2}.

?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
?????
?
?2
?
4
?
子集和
补集
子集
补集
子集
相等
真子集
全集
补集
本节课你学到了哪些知识？
课堂总结

展开更多......

收起↑