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1.2.1 命题

1.了解逻辑用语的概念及其意义和用途.
2.了解命题的概念，会判断一些简单命题的真假.
3.理解命题的否定，能够对命题进行否定.
学习目标
导入新课
“若由????∈????能推出????∈????，就说???? ?????．”
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“集合????∪????由所有属于????或属于????的元素组成．”
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这些在数学乃至科学中常常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨后，叫作逻辑用语．
若
推出
就
所有
或
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观察下面的语句，看它们有什么共同特征：
　　(1)两个奇数之和是一个偶数；
　　(2)三角形的三个内角之和等于180°；
　　(3)若????是非零实数，则????2>0；
　　(4)2是无理数；
　　(5)若实数????满足????2=9，则????=3．
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这些句子都是陈述句，并且可以做出判断.
成立
不成立
这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的陈述句叫作命题.成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题.
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数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想.
哥德巴赫猜想：每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和.
陈景润于1973年发表的（1+2）的详细证明，被国际数学界称为“陈氏定理”，他关于哥德巴赫猜想的许多研究结果是国际上最好的 .
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　　(1)两个奇数之和是一个偶数；
　　(2)三角形的三个内角之和等于180°；
　　(3)若????是非零实数，则????2>0；
　　(4)2是无理数；
　　(5)若实数????满足????2=9，则????=3．
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真命题
假命题
对命题的理解：
(1)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断；
(2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题；
(3)数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.
例题解析
例1 下列语句是命题吗？若是，则判断是真命题还是假命题.
(1)????>0； (2)若????,????是任意实数且????2>????2，则????>????.
(3)7是21的约数吗？ (4)4>3.
(5)一个数不是正数就是负数.
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解：（1）因为无法判断它的真假，故不是命题.
（2）假命题.因为若????=?2,????=?1,则????2>????2，但????＜????.
?
（3）是疑问句，不能判断真假，不是命题.
（4）是命题，是真命题.
（5）是命题，是假命题.
判断一个命题是假命题的常用方法是举出一个反例.
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如果????是一个命题，则“????不成立”也是一个命题，叫作????的否定，记作?????，读作“非????”．显然，????也是?????的否定．在????和?????两者之中，一定有一个为真有一个为假．
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例2 写出下列命题????的否定?????：
(1)????：4是方程????2－16=0的根；
(2)????：相似三角形的面积一定相等；
(3)????：16是4的倍数．
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?????：4不是方程????2 －16=0的根；
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?p：相似三角形的面积不一定相等
?
?p：16不是4的倍数．
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“ 相似三角形的面积一定相等”的否定不是“相似三角形的面积一定不相等”，想一想，为什么？
例题解析
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写命题的否定时常用的否定词语
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}原词
是
大于（>）
小于（<）
等于（＝）
至多有一个
至少有一个
否定词语
不是
不大于（≤）
不小于（≥）
不等于（≠）
至少有两个
一个也没有
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}原词
是
大于（>）
小于（<）
等于（＝）
至多有一个
至少有一个
否定词语
不是
至少有两个
一个也没有
在数学中，命题通常由条件和结论组成,例如：
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上述命题都具有“若????，则????”的形式，其中????叫作命题的条件, ????叫作命题的结论.
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(1)若两个三角形全等，则它们相似；
(2)若两个三角形相似，则它们全等；
(3)若实数????≠0，则????2>0；
(4)若四边形????????????????为菱形，则????????⊥????????；
(5)若????<0，则方程????????2+4????－3=0没有正的实根；
(6)若????=????，则????2=????2．
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当命题“若????，则????”为真，则记作?????????，读作“????推出????”．
当命题“若????，则????”为假，则记作?????????，读作“????推不出????”．
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命题(1)和(2)，条件和结论互换了位置，这时称一个是另一个的逆命题．
(1)若两个三角形全等，则它们相似；真命题
(2)若两个三角形相似，则它们全等；假命题
例3 把下列命题改写成“若????,则????”的形式,并写出其逆命题.
(1)当????????>????????时,????>????;
(2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除;
(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等.
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例题解析
解：(1)若????????>????????,则????>????； 逆命题：若????>????,则????????>????????.
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(2)若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除；
逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除.
(3)若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；
逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上.
课堂练习
1、判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假．
(1)求证3是无理数；
(2)若????∈????，则????2＋4????＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若????????是有理数，则????，????都是有理数；
(6)60????＋9>4.
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是祈使句，不是命题
是命题，是真命题
是疑问句，不是命题
是命题，是真命题
是命题，是假命题
不是命题
课堂练习
2、命题“若????<1，则????2<1”的逆命题是（ ）
A.若????≥1，则????2≥1 B.若????2<1，则????<1
C.若????2≥1，则????≥1 D.若????2<1，则????≤1
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B
3、命题“若????2?2?????3=0， ????=3或????=?1”的否定是（ ）
A.若????2?2?????3≠0， ????≠3或????≠?1 B.若????2?2?????3≠0， ????≠3?且????≠?1
C.若????2?2?????3=0， ????≠3或????≠?1
D.若????2?2?????3=0， ????≠3且????≠?1
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D
4、把下列命题写成“若????则????”的形式，并判断是真命题还是假命题．
（1）面积相等的两个三角形全等；?
（2）负数的立方是负数；?
（3）对顶角相等；
（4）在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行．
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课堂练习
解：（1）若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等.是假命题.
（2）若一个数是负数，则它的立方是负数.是真命题.
（3）若两个角是对顶角，则它们相等.是真命题.
（4）同一平面内，如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行.是真命题.
1、“若????，则????”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若????，则????”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论.
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2、若一个命题有大前提，则在将其改写成“若????，则????”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
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将命题改写为“若????，则????”形式的方法
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方法提炼
5、(多选题)如果命题“若????>5,则????”为真命题,那么????可以是(　　）????.????>0 ????.????<8
????.????>2 ????.????>6
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课堂练习
AC
6、已知集合????＝[－3，6)，????＝(－∞，????)，若????∩????＝?是假命题，则实数????的取值范围是__________．
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解：若????∩????＝?是真命题，则????≤－3，
因此????∩????＝?是假命题时，????>－3.
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（-3，+∞）
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课堂练习
7、设????：2????+12≥0； ????：关于????的方程????2+2?????????????=0有实数根.若????是真命题，????是假命题，求实数????的取值范围.
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解： 由2????+12≥0，解得????≥?12 .
若关于????的方程????2+2?????????????=0有实数根，则Δ=(2????)2+4????≥0，
∴ ????≤?1或????≥0.
∵ ????是真命题，????是假命题，∴????≥?12?1∴ ?12≤????<0，即实数????的取值范围为 [?12,0). .
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方法提炼
第一步，明确命题的条件和结论；
第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；
第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．
由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤
若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．　　　　?
命题
命题的概念
真命题
假命题
命题的结构
逆命题
命题的否定
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？

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