资源简介

1.2.2 充分条件和必要条件

学习目标
1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
3.掌握充分条件、必要条件的简单应用.
导入新课
王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵读至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”.由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的什么条件呢？
新课学习
当“若????，则????”成立，即?????????时，把????叫作????的充分条件，????叫作????的必要条件.
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命题的结构：“若????,则????”.(其中????为命题的条件，????为命题的结论)
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?????????可以理解为若????成立，则????一定也成立，即????对于????的成立是充分的；反过来，若????不成立，则????必不成立，即????对于????的成立是必要的．
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自然地，若?????????，则????不是????的充分条件，????也不是????的必要条件.
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新课学习
如果既有?????????，又有?????????，则记作?????????。即????既是????的充分条件，又是????的必要条件，此时我们称????是????的充分必要条件，简称充要条件.当然，此时????也是????的充分必要条件.
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如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充要条件。
????是????的充分必要条件指????成立当且仅当????成立.在这种情况下，????和????称为互相等价.
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新课学习
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}命题真假
“若????,则????”
是真命题
“若????,则????”
是假命题
“若????,则????”和“若????,则????”是真命题
推出关系
?????????
?????????
?????????
条件关系
????是????的充分条件????是????的必要条件
????不是????的充分条件
????不是????的必要条件
互为充要条件
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}命题真假
推出关系
条件关系
互为充要条件
命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：
①充分必要条件(充要条件)，即?????????；
②充分而不必要条件，即?????????且?????p；
③必要而不充分条件，即?????q且?????????；
④既不充分又不必要条件，即?????q且?????p.
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例1 下列“若????,则????”形式的命题中，????是????的什么条件？
(1)若两个三角形全等，则它们相似；
(2)若两个三角形相似，则它们全等；
(3)若实数????≠0，则????2>0；
(4)若四边形????????????????为菱形，则????????⊥????????；
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?????????且?????p，????是????充分而不必要条件
?
?????q且?????????，????是????必要而不充分条件
?
?????????，????是????充要条件
?
?????????且?????p，????是????充分而不必要条件
?
例题解析
?????????且?????????，????是????充分而不必要条件
?
(5)若????<0，则方程????????2+4????－3=0没有正的实根；
(6)若????=????，则????2=????2．
?
?????????且?????????，????是????必要而不充分条件
?
例题解析
例2 从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空：
（1）????≥5是????为正数的 ；
（2）四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的 ；
（3）四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的
；
（4）若????∈????，则????2=2是????=2的 .
?
分析：分别考虑命题“若????,则????”和“若????,则????”的真假性.
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例题解析
充分而不必要条件
必要而不充分条件
充要条件
既不充分
也不必要条件
解：（1）????≥5?????>0，????>0?????≥5.因此应填“充分而不必要条件”.
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（2）四边形是矩形?四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形.因此应填“必要而不充分条件”.
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（3）四边形的一组对边平行且相等?四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”.
?
（4）????∈????时，????2=2?????=2，????=2?????2=2.因此应填“既不充分又不必要条件”.
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例题解析
充分条件、必要条件判断方法
(1)定义法
①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“?????????”及“?????????”的真假．③根据推式及条件得出结论．
(2)集合法：写出集合????＝{????|????(????)}及????＝{????|????(????)}，利用集合间的包含关系进行判断．
(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
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方法提炼
例3 试证：
（1）在实数范围内，????=1是????2=1的充分而不必要条件；
（2）四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件；
（3）在?????????????中，∠????=∠????是????????=????????的充要条件.
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证明：（1）????=1?????2=1，则????=1是????2=1的充分条件；由于(?1)2=1，故????2=1?????=1，则????=1不是????2=1的必要条件.
因此，????=1是????2=1的充分而不必要条件.
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（2）记????:四边形的两组对边分别相等，记????:四边形为矩形.由于矩形是特殊的平行四边形，即?????????，则p是q的必要条件；
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例题解析
由两组对边分别相等的四边形，只能判断它是平行四边形，不能判断它为矩形，即?????????，则p不是q的充分条件.因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件.
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（4）因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠????=∠?????????????=????????.
又因为“在三角形中，等边对等角”，所以????????=?????????∠????=∠????.
从而∠????=∠?????????????=????????.因此，在?????????????中，∠????=∠????
????????=????????的充要条件.
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例题解析
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.它揭示了数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论的一个必要条件.
新课学习
在学习平面几何时，我们知道有性质定理和判定定理的说法.
等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形.它揭示了数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论的一个充分条件.
把性质定理和判定定理综合起来就是简单的一句话：“两角相等是三角形为等腰三角形的充要条件.”
例4 下面列出直角三角形的6条性质：
①两锐角之和等于直角；
②有且只有一条边是最长边；
③有一条边上的中线等于此条边的一半；
④有一边的平方等于另两边的平方之和；
⑤有一条边上的高分此边所成两线段的积等于次高的平方；
⑥有一条边是三角形外接圆的直径.
试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件.
解：以上除②之外，其余5条都是三角形为直角三角形的充要条件.
例题解析
1、判断正误：
（1）若????是????的必要条件，则????是唯一的. ( )
（2）????是????的必要条件的含义是：如果????不成立，则????一定不成立. （ ） （3）“????????＞0”是“????,????都大于0”成立的充分条件. ( )

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×
×
√
2、已知命题????:????＞1,????:????＞2,则????是????的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确
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B
课堂练习
3、（多选）使0＜????＜3成立的充分条件是（ ）
A.2＜????≤3 B.0≤????＜1
C.0＜????≤2 D.1＜????＜2
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CD
4、（多选）使0＜????＜2成立的必要条件是（ ）
A.0＜????＜1 B.????≥?1
C.0＜????≤3 D.1＜????＜3
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BC
课堂练习
课堂练习
5.是否存在实数????，使“4????+????＜0”是“????＞2或????＜?1”的充分条件？若存在，求出????的取值范围；若不存在，请说明理由.
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解：由4????+????＜0得????＜?????4,
令????={????|????＞2或????＜?1},????={????|????＜?????4}
假设存在????满足题意，则?????????，所以?????4≤?1,解得????≥4
p的取值范围为{????|????≥4}.
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6、已知????：????2＋????－6＝0，????：????????＋1＝0(????≠0)，且????是????的充分条件，求????的值；

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课堂练习
解：　(1) ????2＋????－6＝0得????＝2或????＝－3，
令????＝{2，－3}，????＝{?1????}，
∵????是????的充分条件，∴?????????．
当?1????＝2时，????＝?12；当?1????＝－3时，????＝13.
所以????＝?12或????＝13.
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课堂练习
解：因为????是????的必要条件，所以?????????.
于是????－1≥－3????＋1≤8，从而可得－2≤????≤7.
故????的取值范围为－2≤????≤7.
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7、已知????＝{????|????－1是????的必要条件，求????的取值范围．
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对于集合????＝{????|????满足条件????}，????＝{????|????满足条件????}，具体情况如下：
若?????????，则????是????的充分条件；
若?????????，则????是????的必要条件；
若????＝????，则????是????的充要条件；
若?????????，则????是????的充分不必要条件；
若?????????，则????是????的必要不充分条件．
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方法提炼
条件????与结论????的关系与充分必要条件
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}条件????与结论????的关系
结论
?????????，但?????????
????是????的充分不必要条件
?????????, 但?????????
????是????的必要不充分条件
?????????，且?????????
????是????的既不充分也不必要条件
?????????
????是????充要条件
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
结论
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？

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