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1.2.3 全称量词和存在量词

学习目标
1.理解全称量词和存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
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下列语句是命题吗？
（1）????>0；
（2）对每一个实数????，????>0；
（3）有一个实数????，????>0；
?
不是命题
假命题
真命题
“每一个”和“有一个”叫作量词.分别叫作全称量词和存在量词.
常见的全称量词:“任意”“所有”“每一个”“一切”“每一个”“任给”.
常见的存在量词:“存在某个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”.
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知识点1：含有量词的命题
“任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“?”表示.语句“对????的任一个元素????，有????(????)成立”是命题，叫作全称量词命题.用符号表示为：?????∈????，????(????).
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“存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“?”表示.语句“存在????的某个元素????，使????(????)成立”也是命题，叫作存在量词命题.用符号表示为：?????∈????，????(????).
?
例题解析
例1 指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围,并把量词用相应地数学符号取代：
（1）对任意正实数????，????2??????2>0；
（2）对某个大于10的正整数????，(2)????=1024.
?
解：（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集.该命题可以写成“?????∈????+，????2??????2>0”.
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（2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是
大于10的正整数集.该命题可以写成
“?????>10且????∈N+，（2）????=1024”.
?
例题解析
例2 判断下列全称量词命题的真假：
（1）?????∈????，????2+2>0；
（2）?????∈????，????4≥1.
?
解：（1）因为?????∈????，????2≥0，从而有????2+2≥2>0，即????2+2>0.因此“?????∈????，????2+2>0”是真命题.
?
（2）因为0∈????，且当????=0时，????4≥1不成立，因此“?????∈????，????4≥1”是假命题.
?
例题解析
例3 判断下列存在量词命题的真假：
（1）?????∈????，????2=3?????2；
（2）?????≥3，????2=3?????2；
（3）设????,????,????是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点????，使得????????=????????=????????.
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解：（1）因为1∈????且12=3×1?2，因此“?????∈????，????2=3?????2”是真命题.
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（2）因为????2=3?????2只有两个实数根????=1或????=2，所以当????≥时????2≠3?????2.因此“?????≥3，????2=3?????2”是假命题.
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例题解析
（3）以????,????,????为顶点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是?????????????的外心，则????????=????????=????????.
因此“该平面上存在某个点????，使得????????=????????=????????”是真命题.
?
（3）设????,????,????是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点????，使得????????=????????=????????.
?
2.判断存在量词命题真假的思维过程
1.判断全称量词命题真假的思维过程
方法提炼
全称量词命题
经证明为真或与性质、定理等真命题相符
可举反例
真命题
假命题
存在量词命题
可找到????，使????(????)成立
?
找不到????，使????(????)成立
?
真命题
假命题
知识点2：含量词命题的否定
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如何对含有量词的命题进行否定呢？先看下面两个例子：
（1）所有的正方形都是平行四边形；
（2）存在实数????,使得????2?3?????5=0.
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命题(1)的否定为“所有的正方形并不都是平行四边形”，换言之，“有正方形不是平行四边形”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”.
命题(2)的否定为“不存在实数????,使得????2?3?????5=0”，即“对所有的实数????,使得????2?3?????5≠0”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”.
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一般地，命题“?????∈????，????(????)”的否定是“?????∈????，?????(????)”；
命题“?????∈????，????(????)”的否定是“?????∈????，?????(????)”.即
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?(?????∈????，????(????))??????∈????，?????(????)
?
?(?????∈????，????(????))??????∈????，?????(????)
?
改量词，否结论
例题解析
例4 写出下列含量词命题的否定：
（1）????:每一个素数都是奇数；
（2）????:所有二次函数的图象都是轴对称图形；
（3）????:?????∈????，?2????2+4?????3>0；
（4）????:有的三角形的垂心在其外部；
（5）????:有一个小于210的正整数至少有4个质因数.
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?????:存在一个素数不是奇数.
?
?????:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形.
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?????:?????∈????，?2????2+4?????3≤0
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?????:任意三角形的垂心都在其内部或边上.
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?????:任意小于210的正整数至多有3个质因数.
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例题解析
例5 对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假:
(1)????:任意正实数都有算术平方根；
(2)????:?????∈????，????2+3≤0.
?
?????:存在正实数没有算术平方根.由于所有正实数都有算术平方根，所以这是假命题.
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?????:?????∈????，????2+3>0.由于?????∈????，????2≥0，于是????2+3>0恒成立，所以这是真命题.
?
1、判断正误：
（1）“一切”“每一个”“任意一个”是全称量词. ( )
（2）有些全称量词命题的全称量词可以省略. （ ）
（3）“有些”“有一个”“对某些”“有的”是存在量词.( )
（4） 存在量词命题中的存在量词可以省略. （ ）
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√
√
√
课堂练习
2、命题????：?????∈????,????2?2????+1=0的否定?????是__________________________.
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?????∈????,????2?2????+1≠0
?
3、命题“对任意????∈????,|?????2|+|?????4|＞3”否定?????是___________________________.
?
?????∈????,||?????2|+|?????4|≤3
?
课堂练习
4、已知集合????=?????2≤????≤5，????=????????+1≤????≤2?????1，
（1）若命题????:?????∈????，????∈????是真命题，求????的取值范围；
（2）命题????:?????∈????，????∈????是真命题，求????的取值范围.

?
解：（1）因为命题????:?????∈????，????∈????是真命题，所以?????????，
当????=?时，????+1>2?????1，解得????<2；
当????≠?时，????+1≤2?????1????+1≥?22?????1≤5，解得2≤????≤3.
综上，????的取值范围为{????|????≤3}.
?
课堂练习
（2）因为????:?????∈????，????∈????是真命题，所以????∩????≠?，
所以????≠?，即????≥2，所以????+1≥3，
所以????∩????≠?只需满足????+1≤5即可，即????≤4.
故????的取值范围为{????|2≤????≤4}.
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课堂练习
4、已知集合????=?????2≤????≤5，????=????????+1≤????≤2?????1，
（2）命题????:?????∈????，????∈????是真命题，求????的取值范围.

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5、写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）????:对于任意的实数????，方程????2+?????????=0必有实数根；
（2）????:任意一个实数乘-1都等于它的相反数；
（3）????：正方形的对角线相等.
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解：（1）?????:存在实数????，使得方程????2+?????????=0没有实数根.
当?=1+4????<0,即????＜?14时，方程????2+?????????=0没有实数根.?????是真命题.
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课堂练习
（2）?????:存在一个实数乘-1不等于它的相反数.?????是假命题.
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（3）?????:有的正方形的对角线不相等.?????是假命题.
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课堂练习
（2）????:任意一个实数乘-1都等于它的相反数；
（3）????：正方形的对角线相等.
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课堂练习
6、已知????:1≤????≤2,????:????≤????≤????+2.若?????是?????的必要而不充分条件，求????的取值范围.
?
解：?????：????<1或????>2，?????：????????+2，
因为?????是?????的必要而不充分条件，
所以????≤1????+2>2或????<1????+2≥2
解得0≤????≤1,
故????的取值范围为[0,1].
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1、全称量词、存在量词
常见的全称量词:“任意”“所有”“每一个”“一切”
“每一个”“任给”.
常见的存在量词:“存在某个”“至少有一个”“有些”
“有一个”“对某些”“有的”.
2、全称量词命题、存在量词命题
全称量词命题：?????∈????，????(????).
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存在量词命题：?????∈????，????(????).
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3、全称量词命题与存在量词命题的否定
?(?????∈????，????(????))??????∈????，?????(????)
?
?(?????∈????，????(????))??????∈????，?????(????)
?
改量词，否结论
课堂总结

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