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2.1.1 等式与不等式

学习目标
1.了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.理解两实数大小比较的基本事实，学会作差法比较两个实数的大小.
3.掌握不等式的基本性质及其简单应用.
导入新课
重与轻
高与矮
大与小
长与短
现实世界和日常生活中，“等”与“不等”是两个不同的概念.我们经常用大与小、重与轻、长于短、高与矮等来描述客观对象在数量上的不等关系.
想一想 下面的交通标识是什么意思？你能用不等式表达吗？
导入新课
（2）
（1）
（3）
（1）机动车的行驶速度????不可超过60????????/?.
?
????≤60
?
（2）机动车的高度????不可超过3.5????.
?
?≤3.5
?
（3）机动车的总重????不可超过10????.
?
????≤10
?
在数学中，我们也常探究几个量之间的不等关系.
问题1 图(1)是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽“弦图”,如图(2).
正方形的边长为????2+????2，面积为????2+????2，4个直角三角形的面积之和为2????????，正方形ABCD的面积大于4个直角三角形面积和.
我们就得到了一个不等式 ????2+????2＞2????????(????≠????).
?
(1)
(2)
A
B
C
D
E
F
G
H
????
?
b
????2+????2
?
(3)
图(3)中的正方形????????????????中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为????,b(????≠????),你能在这个图中找出不等关系吗？
?
问题2 某商店以单价10元销售，每月可以卖出2500件.据市场调查，若单价每提高1元，月销售就会减少50件.若提价后该商品的单价为
????元，则“月销售量收入不低于30 000元”该如何表示？
?
该商品的单价为????元，月销售量为：[2500-50(????-10)]件,
则“月销售量收入不低于30 000元”可以用不等式表示为
[2500-50(????-10)]????≥30000
?
新课学习
我们知道，实数可以比较大小.如果在数轴上两个不同的点????与????分别对应两个不同的实数????与????,那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大(如图).
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
?????
新课学习
关于实数????，????大小的比较，有以下基本事实：
?
如果?????????＞0，那么????＞????；
?
如果?????????=0，那么????=????；
?
如果?????????<0，那么?????
反过来也成立.即
????>??????????????>0，
????=??????????????=0，
?????
作
差
例题解析
例1 比较(????+1)(????+3)和(????+2)2的大小.
?
解：因为 (????+1)(????+3)?(????+2)2
=(????2+4????+3)?(????2+4????+4)
=?1<0,
所以 (????+1)(????+3)<(????+2)2
?
比较两个实数（式子）大小的步骤
（1）作差：对要比较大小的两个实数(式子)作差；
（2）变形：对差进行变形；
（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）作出结论．
上述步骤可概括为“三步一结论”，“判断差的符号”是目的，“变形”是关键。常见的变形技巧：因式分解、配方法、有理化法等.
方法提炼
例题解析
例2 已知a g糖水中含有b g糖，若再添加???? g糖(其中????>????>0,????>0),生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼一个不等式吗？试给出证明.
?
解：因为加糖后糖水更甜，即糖水中糖的浓度变大，
所以提炼出不等式为：????+????????+????>????????,其中????>????>0,????>0.
下面用作差比较法给出证明.
????+????????+?????????????=????(????+????)?????(????+????)????(????+????)=????(?????????)????(????+????).
?
因为????,????,????都是正数，且????>????，
所以????+????>0,?????????>0.
所以????(?????????)????(????+????)＞0.
即????+????????+????>????????.
?
例题解析
假设有一种机器可以抽取糖水中的糖，生活常识告诉我们：若从糖水中抽掉???? g糖，则糖水会变淡.于是提炼出一个不等式：若????>????>????>0，则????+????????+?????
????+????????+?????????????=????(????+????)?????(????+????)????(????+????)=????(?????????)????(????+????).
?
用不等式（组）表示实际问题中不等关系
（1）从实际问题中抽象出不等关系；
（2）用字母表示不等关系中的相关量；
（3）用不等号连接这些字母；
（4）建立不等式.
方法提炼
新课学习
不等式的基本性质
性质1 如果????＞????，那么????＜????；如果????＜????，那么????＞????，即
????＞?????????＜????.
?
对称性
性质2 如果????＞????，????＞????， 那么????＞????，即
????＞????，????＞???? ?????＞????.
?
证明 因为????＞????，????＞????，所以?????????>0，?????????>0.
因此?????????=(?????????)+(?????????)>0.(理由：正数+正数=正数)
即????>????.
?
传递性
从以上两个性质还可以推出?????
新课学习
性质3 如果????＞????，那么????+????＞????+????.
?
这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
推论1 如果????+????>????，那么????>?????????.
?
可加性
对于等式，如果????=????,那么????+????=????+????.
?
证明：????+????>?????????+????+(?????)>????+(?????)
?????>?????????
?
推论2 如果????>????,????>????，那么????+????>????+????.
?
同向可加性
证明 因为????>????,????>????,
所以????+????>????+????,????+????>????+????.
所以????+????>????+????.
?
新课学习
显然，这一推论可以推广为:有限个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.
新课学习
性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc ；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
可乘性
对于等式，如果????=????,那么????????=????????.
?
证明 因为????>????,所以?????????>0.又????>0,
因此?????????????????=(?????????)????>0.
(理由：正数×正数=正数)
即????????>????????.
同理????<0时，(?????????)????<0.即?????????
在不等式的两边同乘一个正数， 不等号的方向不变；若同乘一个负数，则不等号的方向反向.
新课学习
推论3 如果????＞????＞0，????＞????＞0，那么????????＞????????.
?
同向同正可乘性
证明： 因为????>????, ????>0，则????????>????????.
又因为????>????, ????>0，则????????>????????.
由性质2得????????>????????.
?
推论4 如果????＞????＞0，那么????????＞????????（????∈????，????≥2）
?
可乘方性
推论5 如果????>????>0，那么????>????.
?
证明 假设????≤????，则有两种情况：????当????当????=????时,由二次根式的性质知，????=????.
这些都与已知条件????>????>0矛盾，所以假设错误，即????>????.
?
新课学习
性质5 如果????>????且????????>0，那么1????<1????；
如果????>????且????????<0，那么1????>1????.
?
证明：当????>????，且????????>0时，1?????1????=?????????????????<0,
即1????<1????.
当????>????，且????????<0时，1?????1????=?????????????????>0，
即1????>1????.
?
例题解析
例3 已知????>????,?????????????.
?
证明：因为?????????.
由????>????和推论2知，?????????>?????????.
?
例4 已知????>????>0,且????>????>0,那么????????>????????.
?
证明：由????>????>0和性质5，得1????>1????>0.
又由????>????>0和推论3，得????????>????????.
?
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
方法一（性质法）；方法二（作差法）；方法三（作商法）
方法提炼
1、判断正误：
（1）任意两个实数都能比较大小. ( )
（2）????与????的差是非负实数，可表示为?????????＞0. （ ）
（3）实数????不大于-2，用不等式表示为????≥?2. ( )
（4）不等式????2+????2≥2????????中的 ????，????可以是任意实数. ( )

?
×
×
√
√
课堂练习
2、用不等号“＞或“＜”填空：
（1）如果????>????，????＜????,那么?????????____?????????
（2）如果????>b＞0，????＜????＜0，那么????????____????????
（3）如果????>????＞0，那么1????2______1????2
?
＞
＜
＜
课堂练习
3、已知????，????，????∈R，且????≠0，则下列命题中是真命题的是（ ）
?
A.如果????>b ，那么???????? ＞???????? B.如果????????C.如果????>b ，那么1???? ＞1???? D.如果????>b ，那么????????2 ＞????????2
?
D
4、已知????>b＞c，且????+b+????=0，则下列不等式恒成立的是（ ）
?
A.???????? ＞???????? B.????????>????????
C.????????>???????? D.????|????|＞|????|????
?
C
利用不等式判断正误的两种方法
（1）直接法:对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可.
（2）特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
方法提炼
课堂练习
5、若?????
=????(?????1)?????(?????1)(?????1)(?????1)=?????????(?????1)(?????1),
∵????∴?????1<0,?????1<0,?????????>0,
∴?????????1??????????1＞0,
即?????????1＞?????????1.
?
该怎么比较两数的大小？
解：?????????1??????????1
?
作差
6、已知????>b＞0，c＜d＜0，求证：3???????? ＜ 3????????
?
课堂练习
证明： ∵c＜d＜0,∴?c＞?d＞0，
∴0＜? 1????＜? 1????
∵????＞b＞0,∴?????????＞?????????＞0
∴3?????????＞3????????? ,
∴3???????? ＜ 3????????
?
课堂练习
7、已知1?
解：∵1∴2<2????<8，6<3????<24.
∴8<2????+3????<32.
∵2又1∴2????+3????的取值范围为(8，32),?????的取值范围为（?8，?2）,
?????????的取值范围为（?7，2）.
?
（1）恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.
（2）运用不等式的性质时，要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质.
（3）准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.
利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题
方法提炼
等式与不等式
不等式的基本性质
两实数大小关系的基本事实
课堂总结
????>??????????????>0，
????=??????????????=0，
?????
性质
????＞?????????＜????
????＞????,????＞???? ?????＞????
????>?????????+????＞????+????
????>????,????>0?ac＞bc?
????>????,????<0?ac＜bc
????>????，????????>0?1????<1????,
????>????,????????<0?1????>1????.
?
推论
????+????>?????????>?????????.
????>????,????>?????????+????>????+????.
????＞????＞0，????＞????＞0?????????＞????????
????＞????＞0?????????＞????????（????∈????，????≥2）
????>????>0?????>????.

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