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2.1.2　基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.
在上节课中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出了如下不等关系：
当????≠????时，????????+????????>????????????.
?
a2＋b2＝2ab
当E，F，G，H四点重合，即a=b时，则有
作差法： (????????+????????)?????????????=(?????????)????≥????.
?
对任意????，????∈????，必有????????+????????≥????????????，当且仅当????=????时等号成立.
?
对任意正数????，????∈????，必有????+????????≥????????，当且仅当????=????时等号成立.
?
特别地，当????>????，????>????时，用????，????分别代替定理中的????，????可得如下推论：
?
定理：
如何证明呢
因为 ????+?????????????????=????????(????+?????????????????)=????????(?????????)????≥????，
所以 ????+????????≥????????，当且仅当????=????，即????=????时等号成立.
?
对于任意实数????，????，都有????+????????≥????????成立吗？
?
不成立
对任意正数????，????∈????，必有????+????????≥????????，当且仅当????=????时等号成立.
?
证法一：
如图所示，以长是????+????的线段为直径作圆????，在直径????????上取点????，使得????????=????，????????=????，过点????作????????⊥????????交上半圆于点????，
?
连接????????和????????，可证?????????????????????~?????????????????????，那么????????????????=????????????????，
即????????=????????.
?
因为????????是圆的半径，故????????=????+????????.显然，它大于或等于????????，
即 ????+????????≥????????，
?
当且仅当点????和点????重合，即????=????时，等号成立.
?
证法2：
知识归纳
a＝b
1.定理
对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当________时等号成立.
≥
证明： (1)因为????，????????均为正数，由基本不等式，得????+????????≥?????????????????=????，
当且仅当????=????????，即????=????时等号成立，所以原不等式成立.
?
例1 设????，????为正数，证明下列不等式：
(1)????+????????≥????；(2)????????+????????≥????.
?
(2)因为????，????为正数，所以????????，????????也为正数，由基本不等式，得????????+????????≥?????????????????????=????，
当且仅当????????=????????，即????=????时等号成立，所以原不等式成立.
?
正数，验证等号成立.
证明： 因为????，????，????>????，由基本不等式，得
????+????≥????????????，????+????≥????????????，????+????≥????????????，
把上述三个式子的两边分别相加，得????(????+????+????)≥????(????????+????????+????????)，
即????+????+????≥????????+????????+????????，
当且仅当????=????，????=????，????=????，即????=????=????时等号成立.
?
例2 对任意三个正实数????，????，????，求证：????+????+????≥????????+????????+????????，当且仅当????=????=????时等号成立.
?
这个不等式的结构有何特点？与基本不等式有怎样的联系？
解： 因为????????，?????????>????，
所以????(?????????)≤????+(?????????)????=????????，
当且仅当????=?????????，即????=????????时等号成立.
因此，当????=????????时，????(?????????)取到最大值.
?
例3 已知?????
应用基本不等式求最值的条件：
一正，二定，三相等.
1.下列不等式中正确的是( )
D
练一练
（ ）
2.
C
练一练
2.
( )
D
练一练
3.已知????=????+?????????????(????>????),????=?????????????(????≠????),则????,????之间的大小关系是
( )
A.????>???? B.?????
解：∵????=????+?????????????=(?????????)+?????????????+????
≥????(?????????)??????????????+????=????(????>????)，
????=?????????????∴????>???? .
?
练一练
A
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能.
方法归纳
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算术平均数

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