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2.1.2 基本不等式

学习目标
1.掌握基本不等式????+????2≥????????.
2.会求算术平均数与几何平均数.
3.能应用基本不等式解决一些证明、求解最值问题.
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导入新课
A
B
C
D
E
F
G
H
????
?
b
????2+????2
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我们通过“赵爽弦图”提炼出如下不等关系：
当????≠????时，????2+????2>2????????,
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当????,????,????,????四点重合，即????=????时，有????2+????2=2????????.
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即?????,????∈????,有????2+????2≥2????????.
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证明: ( ????2+????2)?2????????=(?????????)2≥0.
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新课学习
据此，可得到如下定理：
对任意????,????∈????,????2+????2≥2????????，当且仅当????=????时等号成立.
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特别地，当????>0,????>0时，用????,????分别代替定理中的????,????，可得如下推论：
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对任意正数????,????，????+????2≥????????，当且仅当????=????时等号成立.
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( ????2+????2)?2????????=(?????????)2≥0.
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新课学习
一般地，对于正数????,????，我们把????+????2称为????,????的算术平均数，????????称为????,????的几何平均数.把不等式????+????2≥????????(????>0,????>0)称为基本不等式.
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证法一 :因为????+????2?????????=12(????+?????2????????)=12(?????????)2≥0
所以????+????2≥????????，当且仅当????=????，即????=????时等号成立.
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两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.
新课学习
证法二 以长是????+????的线段为直径作圆????，在直径????????上取点????，使得????????=????，????????=????，过点????作????????⊥????????交上半圆于点????，连接????????和????????，可证??????????????????????∽???????????????????????????????,那么????????????????=????????????????,即????????=????????.
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因为????????是圆的半径，故????????=????+????2.显然，它大于或等于????????，
即????+????2≥????????，当且仅当点????和点????重合，即????=????时，等号成立.
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????
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????
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????
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????
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????
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新课学习
定理和推论的区别与联系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
定理
推论
形式
????2+????2≥2????????
????+????2≥????????
适用范围
????,????∈????
????>0,????>0
文字叙述
两数的平方和不小于它们积的2倍.
两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.
“=”成立条件
????=????
????=????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
定理
推论
形式
适用范围
文字叙述
两数的平方和不小于它们积的2倍.
两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.
“=”成立条件
基本不等式常用的变形
（1）基本不等式的一边是“和式”，另一边是“积式”；
（2）基本不等式的前提是正数；
（3）基本不等式取等号的条件.
新课学习
????+????2≥????????
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????+????≥2????????
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????????≤(????+????2)2
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例题解析
例1 设????,????为正数，证明下列不等式：
(1)????+1????≥2； (2)????????+????????≥2.
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证明:(1)因为????,1????均为正数，
由基本不等式，得
????+1????≥2?????1????=2.
当且仅当????=1????，即????=1时等号成立，所以原不等式成立.
?
证明:(2)因为????,????为正数，所以????????，????????也为正数，由基本不等式，得
????????+????????≥2?????????????????=2.
当且仅当????????=????????，即????=????时等号成立，所以原不等式成立.
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例题解析
例2 对任意三个正实数????，????，????,求证：
????+????+????≥????????+????????+????????,
当且仅当????=????=????时等号成立.
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证明: 因为????，????，????>0，由基本不等式，得
????+????≥2????????,????+????≥2????????,????+????≥2????????,
把上述三个式子的两边分别相加，得
2(????+????+????)≥2(????????+????????+???????? ),
即????+????+????≥????????+????????+????????，
当且仅当????=????，????=????，????=????，即????=????=????时等号成立.
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利用基本不等式证明不等式的注意点：
（1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立.
（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用.
（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
（4）注意“1”的代换.
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方法提炼
例题解析
例3 已知0?
解：因为00，1?????>0，
所以????(1?????)≤????+(1?????)2=12,
当且仅当????=1?????,即????=12时等号成立.
因此，当????=12时，????(1?????)取到最大值12.
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课堂练习
1、计算下列两个数的算术平均数与几何平均数.
(1)4,16； (2)3,12；
(3)1,4????2(????>0)； (4)5????,5????(????>0).
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10,8
7.5, 6
1+4????22，2????
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5????,5????
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2、判断正误：
（1）不等式 ????2+????2≥2????????与????+????2≥????????有相同的适用范围.( )
（2）若????>0,????>0 ，则????????≤????+????2 恒成立. （ ）
（3）当????，???? 同号时，????????+????????≥2. ( )
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×
×
√
课堂练习
3、 下列不等式正确的是 （ ）
A.????+1???? ≥2 B.(?????)+(?1????)≤?2
C.????2+1????2 ≥2 D.(?????)2+(?1????)2 ≤-2
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C
4、若0＜????＜1，0＜????＜1,且????≠????,则????+????，2????????,2????????,????2+????2中最大的是 （ ）
A.????2+????2 B.2????????
C.2???????? D.????+????
?
D
课堂练习
5、已知????,????,????∈????,求证：????2+????2+????2≥????????+????????+????????.
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证明: 由????,????,????∈????知，
????2+????2≥2????????， ????2+????2≥2????????， ????2+????2≥2????????，
把上述三个式子的两边分别相加，得
2(????2+????2+????2)≥2(????????+????????+????????)
即????2+????2+????2≥????????+????????+????????，
当且仅当????=????，????=????，????=????，即????=????=????时等号成立.
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课堂练习
6、已知0≤????≤1,求(1+????)?????2?(1?????)的最大值.
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解：(1+????)?????2?(1?????)
=(1?????2)?????2
由0≤????≤1得0≤????2≤1，0≤1?????2≤1
∴(1?????2)?????2≤(1?????2+????22)2=14.
当且仅当1?????2=????2时，即????=22等号成立.
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课堂总结
定理 ?????,????∈????，????2+????2≥2????????
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推论 ?????>0,????>0 ，????+????2≥????????
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基本不等式
变形
????+????≥2????????
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????????≤(????+????2)2
?
证明、求最值

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