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2.1.3　基本不等式的应用
1.理解基本不等式的两大应用模型.
2.能利用基本不等式解决实际生活中的最值问题.
算术平均数
几何平均数
解:(1)设两个正数为????，????，则????>0，????>0，且????????=12.
由????+????2≥????????，可得????+????≥2????????=212=43，
当且仅当????=????时等号成立，此时????=????=23.
所以，把12写成两个23的乘积时，它们的和最小，最小和为43.
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例1 (1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
(2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
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积为定值，和有最小值
“一正二定三相等”
解 ： (2)设两个正数为????，????，则????>0，????>0，且????+????=25.
由????????≤????+????2=252，可得????????≤6254，
当且仅当????=????时等号成立，此时????=????=252.
所以，把25写成两个252的和时，它们的积最大，最大积为6254.
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例1 (1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
(2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
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和为定值，积有最大值
已知????，????都为正数，则：
(1)如果积????????是定值P，那么当且仅当????=????时，和????+????有最小值 ；
(2)如果和????+????是定值S，那么当且仅当????=????时，积????????有最小值 .
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知识归纳
和为定值，积有最大值
积为定值，和有最小值
在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决.
例2 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12????2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/????2，侧面的造价为800元/????2，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3????，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？
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正面、侧面及屋顶的造价
与房屋正面、侧面的面积有关
例2 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12????2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/????2，侧面的造价为800元/????2，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3????，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？
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3????
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???? ????
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???? ????
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解：设平行线段长为???? ????，半圆形直径为???? ????，
中间的矩形区域面积为???? ????2.
由题意可知，????=????????，且2????+????????=400，
所以????=????????=12??????????????2????≤12????(????????+2????2)2=20000????，
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例3 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400????，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
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当且仅当????????=2????=200，即????=200????，????=100时，等号成立.
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所以，当平行线段的长设计为100 ????时，中间矩形区域的面积????最大，最大值为20000????????2.
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???? ????
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???? ????
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现在你能表示
出相关的等式么？
理解题意
建立模型
求解
下结论
①判断数量关系是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题.
②设变量，将要求最值的变量定为函数值。
建立相应的函数关系（可能是二元函数），注意自变量的取值范围。
运用基本不等式，根据“一正、二定、三相等”求函数的最值。
根据求解结果来解析实际问题。
方法归纳
1.(1)用篱笆围一个面积为100????2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
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解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为????????，????????，篱笆的长度为2(????+????)????.
(1)由已知得????????=100.
由????+????2≥????????，可得????+????≥2????????=20，
∴2(????+????)≥40，
当且仅当????=????=10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10????的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40????.
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练一练
1.(2)用一段长为36????的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
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解 (2)由已知得2(????+????)=36，矩形菜园的面积为????????????2.
由????????≤????+????2=182=9，
可得????????≤81，
当且仅当????=????=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9????的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81????2.
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练一练
2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800????3,深为3????.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
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解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为????????，????????，水池的总造价为????元.
根据题意，有????=150×48003+120(2×3????+2×3????)=240000+720(????+????).
由容积为4800????3,可得3????????=4800，
????????=1600.
∴????≥240000+720×2????????，
当????=????=40时，上式等号成立，此时????=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
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基本不等式的应用
求最值
基本不等式在实际生活中的应用
（数学建模）
一正、二定、三相等
积为定值，和有最小值
理解题意
建立模型
求解
下结论
和为定值，积有最大值
本节课你学到了哪些知识？

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