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2.1.3 基本不等式的应用

学习目标
1.掌握利用基本不等式求函数的最值问题.
2.能利用基本不等式解决实际问题.
复习回顾
一般地，对于正数????,????，我们把????+????2称为????,????的_________________，????????称为????,????的_______________.把不等式_______________________________称为________________.
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算术平均数
几何平均数
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基本不等式
????+????2≥????????(????>0,????>0)
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基本不等式表明 .
两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数
基本不等式常用变形：________________________________________
????+????≥2????????
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新课学习
在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决.
怎样利用基本不等式求最值呢？
例题解析
例1 （1）把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
由 ????+????2≥????????，
可得 ????+????≥2????????=212=43，
当且仅当????=???? 时等号成立，此时????=????=23.
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积是定值
所以，把12写成两个23的乘积时，它们的和最小，最小和为43.
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解：（1）设两个正数为????,????，则????>0，????>0，且????????=12.
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和有最小值
????+????≥43，就说明????+????始终大于或等于43，取等号时，两数之和最小.
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例题解析
解：设两个正数为????,????，则????>0，????>0，且????+????=25.
由 ????????≤????+????2=25，
可得 ????????≤6254，
当且仅当????=???? 时等号成立，此时????=????=252.
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（2）把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
所以，把25写成两个252的和时，它们的积最大，最大积为6254.
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和是定值
积有最大值
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则.
（1）一正：符合基本不等式????+????2≥????????成立的前提条件：????>0,????>0.
（2）二定：化不等式的一边为定值.
（3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.
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方法提炼
以上三点缺一不可
已知????，????都为正数，则
（1）如果积????????定值是????，那么当且仅当????=????时，和????+????有最小值2????；
（2）如果和????+????是定值????，那么当且仅当????=????时，积????????有最大值????24.
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基本不等式解决最值问题有下列结论：
新课学习
你能证明这些结论吗？
（1）如果积????????等于定值P，那么当????=????时，和????+????有最小值2????
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新课学习
证明：因为????，????都是正数，所以????+????2≥????????
(1)当积????????等于定值P时，????+????2≥???? ，
所以????+????≥2????，
当且仅当????=???? 时，上式等号成立.
于是，当????=????时，和????+????有最小值2????
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积为定值，和有最小值
新课学习
（2）如果和????+????等于定值S，那么当????=????时，积????????有最大值14????2.
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证明：当和????+????等于定值S时， ????????≤????2 ，
所以 ???????? ≤14????2. 当且仅当????=???? 时，上式等号成立.
于是，当????=????时，积????????有最大值14????2.
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和为定值，积有最大值
例题解析
例1 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12????2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/????2,侧面的造价为800元/????2，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3????，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？
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???? ????
?
???? ????
?
（2）正面和侧面的造价和它们的面积有关，怎样求面积呢？
（3）我们建立什么样的数学模型求解呢？
（1）房子的造价由哪几部分决定？
思考
所以，将房屋设计成正面长为4????,侧面长为3????时总造价最低，最低总造价是34000元.
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=5200+1200(3????+4????).
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解：设房屋正面的长为???? ????,侧面的长为???? ????,房屋的总造价为????元.
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根据题意，有????????=12
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????=3????×1200+2×3????×800+5200
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积是定值
5200+1200(3????+4????)≥5200+1200×212????????
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=5200+1200×212×12=34000
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当且仅当3????=4????时等号成立，此时????=4,????=3.
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例题解析
例2 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400????，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
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解：设平行线段长???? ????，半圆的直径为???? ????，中间矩形区域面积为???? ????2.
由题意可知
????=????????,且2????+????????=400,
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???? ????
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???? ????
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2????+????????
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和是定值
内圈周长怎么求？
思考
例题解析
当且仅当????????=2????=200,即????=200????，????=100时，等号成立.
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所以????=????????=12??????????????2????≤12????(????????+2????2)2=20000????,
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所以，当平行线段的长设计为100????时，中间矩形区域的面积????最大，最大值为20000????????2.
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????=????????,且2????+????????=400,
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利用基本不等式解决实际问题的思路
利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是通过相关的关系建立关系式，将实际问题转化为最大值或最小值问题，在解题过程中，尽量向模型????????+???????? ≥2???????? (????＞0,????＞0,???? ＞0 )上靠拢.
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方法提炼
课堂练习
1、已知???? ＞2，求????+4?????2的最小值
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解：∵???? ＞2，∴???? ?2＞0
∴ ????+4?????2=(???? ?2)+ 4?????2+2
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凑定值
当且仅当???? -2=4?????2 ，即????=4时等号成立.
∴????+4?????2的最小值为6.
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≥ 2（?????2）·4?????2 +2=6
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课堂练习
2、已知0＜???? ＜12，求????（1?2????）的最大值.
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解：∵0＜???? ＜12，∴1?2????＞0
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凑和为定值
≤ 12（2????+1?2????2）2 = 18
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当且仅当2???? =1-2???? ，即????=14时，等号成立.
∴????（1?2????）的最大值为18
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=12·2????·（1?2????）
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∴????（1?2????）
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课堂练习
3、已知???? ＞0，????＞0,且8????+1???? =1 ,求????+2????的最小值
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当且仅当8????+1????=1 ????????=16???????? ，即????=12????=3时等号成立.
故当????=12，????=3时，????+2????的最小值18.
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“1”的利用
解：∵???? ＞0，????＞0,且8????+1????=1
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“1”怎么用？
∴????+2????
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=(8????+1????)(????+2????)
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=10+????????+16????????
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≥10+2????????·16???????? =18
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积为定值
方法提炼
利用基本不等式求最值，若具备“一正，二定，三相等”条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适当的变形,常用拼凑法.利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化，以及等式中常数的调整，做到等价变形.
（2）代数式的变形，以拼凑出和或积的定值为目标.
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
（4）注意“1”的代换.
4、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？
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课堂练习
为什么不等于10g?
等量关系是什么？
思考
解：顾客购得的黄金大于10g，理由如下:
由于天平两臂不等长，设左臂为????，右臂为????，????≠????，先称得的黄金的质量为????1，后称得的黄金的质量为????2，
则5????=????????1，????????2=5????，故????1+????2=5????????+5???????? ＞25????????·5???????? =10,
所以顾客购得的黄金大于10g.
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课堂练习
5、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800????3,深为3????.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
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课堂练习
思考：贮水池是长方体，高是3???? ，池底的边长是多少？
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水池的总造价与池底边长有什么关系？
???? ????
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???? ????
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解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为???? ????, ???? ????
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水池的总造价为????元
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z=150×48003+ 120×(2×3????+2×3????)
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=240 000+720(????+????)
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由容积为4800????3,可得 3????????=4800，因此????????=1600.
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课堂练习
z≥240 000+720×2????????
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=297 600
当且仅当????=????=40时，上式等号成立
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所以将贮水池的池底设计成边长为40????的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
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=240 000+720(????+????)
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课堂总结
基本不等
式的应用
求最值
证明不等式
实际应用
一正，二定，三相等
构建模型

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