资源简介

2.2 从函数观点看一元二次方程

1.理解函数零点的概念.
2.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数.
3.了解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系.
学习目标
复习回顾
我们在初中已经学习过一元二次方程和一元二次函数，你会求一元二次方程的根吗？你能画出一元二次函数的图象吗？
一元二次方程：????????2+????????+????=0(????≠0)的求解方法有：
①配方法；②求根公式法；③直接开平方法；④换元法和因式分解法.其中因式分解法中的“十字相乘法”最常用.
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????1
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????1
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????2
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????2
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交叉乘积之和????1????2+????2????1=????
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导入新课
学习第48页“十字相乘法”，尝试求出下列一元二次方程的根，并画出相应一元二次函数的图象：
（1）一元二次方程????2?4????+3=0 与二次函数 ????=????2?4????+3；
（2）一元二次方程????2?4????+4=0 与二次函数 ????=????2?4????+4 ；
（3）一元二次方程????2?2????+3=0 与二次函数??????=????2?2????+3 .
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新课学习
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????
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????=?????????????????+????
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一元二次方程????2?4????+3=0有两个实数根：????1=1，????2=3；
二次函数????= ????2?4????+3的图象与????轴有两个交点(1，0)、(3，0).
方程????2?4????+3=0的两个实根就是函数????= ????2?4????+3图象与????轴交点的横坐标.
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新课学习
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????
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????=?????????????????+????
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一元二次方程????2?4????+4=0
有两个相等的实数根：????1=????2=2；
一元二次函数????= ????2?4????+4的图象与????轴有唯一的交点(2,0).
方程????2?4????+4=0的两个实根就
是函数????= ????2?4????+4图象与????轴交点的横坐标.
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????
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????
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??????=?????????????????+????
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新课学习
一元二次方程????2?2????+3=0没有实数根；
一元二次函数????= ????2?2????+3的图象与????轴没有交点.
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上述关系是否可以推广到对一般的一元二次方程????????2+????????+????=0及对应的二次函数????=????????2+????????+????也成立呢？
?
新课学习
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}判别式
?=????2?4????????
?＞0
?=0
?＜0
二次函数
????=????????2+????????+????
（????＞0）的图象
一元二次方程
????????2+????????+????=0
（????＞0）的根
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
????1
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????2
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????
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????
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????
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????
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????1=????2
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0
????
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????
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有两个相异实根
????1，????2（????1＜????2)
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有两个相等的实根
????1=????2=?????2????
?
没有实根
新课学习
一般地，我们把使得????????2+????????+????=0(????≠0)成立的实数????叫作二次函数????= ????????2+????????+????的零点.
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零点不是点，是方程的实数根
这样，一元二次方程????????2+????????+????=0的实数根就是二次函数????=????????2+????????+????的零点，也就是函数????= ????????2+????????+????的图象与????轴交点的横坐标。
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例1 二次函数????=????????2+????????+????的图象如图所示，顶点坐标为（2,2）.根据图象回答问题：
（1）写出方程????????2+????????+????=0的两个根；
（2）若方程????????2+????????+????=????有两个不相等
的实数根，求????的取值范围.
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例题解析
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????=????
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解：（1）二次函数图象与????轴交于(1,0),(3,0)两点，故方程????????2+????????+????=0的两个根是????1=1,????2=3.
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例题解析
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????
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????=????
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(2)若方程????????2+????????+????=????有两个不相等的实根，则二次函数????=????????2+????????+????的图象与直线????=????有两个不同的交点.作直线????=????,可以发现只有????<2时才能使二次函数的图象与直线????=????有两个不同交点，于是????<2.
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例2 已知二次函数????=????2+????????+????的图象与y轴交于点A(0,?3)，与????轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式。
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例题解析
解：由二次函数的图象与y轴交于点A(0，?3)知，c=?3.
设二次函数的图象与????轴的两个交点的横坐标为????1，????2,则????1，????2是一元二次方程????2+?????????3=0的两个根，由根与系数的关系知
????1+????2=?????，????1????2=?3
?

一元二次方程????????2+????????+????=0（????＞0）的根与系数的关系为：
????1+????2=?????????
????1????2=????????
?
所以????12+????22=(????1+????2)2?2????1????2=????2+6=15，解得????=±3,
故所求二次函数的表达式为????=????2+3?????3或
????=????2?3?????3.
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例题解析
利用根与系数的关系求代数值的步骤:
(1)算:计算出两根的和与积;
(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式;
(3)代:代入求值.
课堂练习
1.若????2－4????????＝0，则二次函数????＝????????2＋????????＋????(????≠0)零点的个
数为(　　)
A．0个 ??????B．1个 ??????C．2个 ??????D．无法确定
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B
2．若函数????(????)＝????2＋????－????的一个零点是－3，则实数????的值为________，函数????(????)其余的零点为________．
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解：由题意知????(－3)＝0，即(－3)2－3－????＝0，????＝6.所以????(????)＝????2＋????－6.解方程????2＋????－6＝0，得????＝－3或2.所以函数????(????)其余的零点是2.
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6
2
3.已知函数????=?????2+2?????????+1
(1)若????=0是函数的一个零点，求????的值；
(2)当????为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？
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解:（1）因为????=0是函数的一个零点，
所以????=0时 ????=0 ，解得????=1.
（2）?>0时函数有两个零点，得????<2，
?=0时函数有一个零点，得????=2，
?<0时函数有一个零点，得????>2.
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课堂练习
4.已知函数????=????2??????2????.
(1)若????=1,求函数的零点；
(2)若函数有零点,求实数????的取值范围.
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解：（1）当????=1时,????=????2??????2.
令????=????2??????2=0,得????=?1或????=2.
即函数????=????2??????2????的零点为?1和2.
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（2）要使函数????=????2??????2????有零点，则?=1+8????≥0,解得????≥?18,
所以????的取值范围是[?18，+∞)
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课堂练习
(1)代数法:求方程????=0的实数根.
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程????=0,可以将它与函数的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
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方法提炼
二次函数零点的求法：
课堂练习
5.已知二次函数????=(1?????)????2+4?????3的图象开口向下，与????轴交于????(????1,0),????(????2,0)两点.
(1)求????的取值范围；
(2)当????12+????22=10，求该二次函数的表达式.
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解：（1）由题意可得1?????＜0，得????＞1，所以????的取值范围为（1，+∞）；
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（2）由题意知????1，????2是方程(1?????)????2+4?????3=0的两个根，故????1+????2=4?????1 ， ????1????2=?31?????，
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课堂练习
∴????12+????22=(????1+????2)2?2????1????2=10
解得????=?35(舍去)，????=2.
所以该二次函数的表达式为????=?????2+4?????3.
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5.已知二次函数????=(1?????)????2+4?????3的图象开口向下，与????轴交于????(????1,0),????(????2,0)两点.
(2)当????12+????22=10，求该二次函数的表达式.
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课堂总结
方程????????2+????????+????=0有实数根?二次函数????=????????2+????????+????的图象与????轴有交点?二次函数????=????????2+????????+????有零点.
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函数观点看
一元二次方程
方程与函数间的关系
Δ与二次函数的关系
函数零点
方程的根
?>0
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?=0
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