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2.3.2 一元二次不等式的应用

学习目标
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型求解实际问题.
例题解析
例1 某产品的总成本????(万元)与产量????(台)之间满足如下关系式：
????=3000+20?????0.1????2（????∈(0,240),????∈????+）.
若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？
?
怎
样
是
不
亏
本？
不等关系：销售收入不小于总成本
解：根据题意得25?????3000+20?????0.1????2)≥0,
?
整理得 ????2+50?????30000≥0
?
由图象得不等式????2+50?????30000≥0的解集为｛????∣????≤?200或????≥150｝.
实际问题中????>0,所以????的最小值为150，即生产者不亏本时的最低产量为150台.
?
例题解析
????2+50?????30000≥0
?
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中
的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.
解不等式应用题的步骤
方法提炼
例题解析
例2 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(????)与速度????(????????/?)之间有如下关系式:????=??????????????2,其中????是比例系数，且????>0,M是汽车质量(????).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36????????/?的速度行驶时，从刹车到停车需要走20????.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20????处有障碍物时能在离障碍物5????以外处停车，则最高速度应低于多少（设司机发现障碍物到踩刹车需经过1s)?
?
思考:(1)司机发现障碍物到踩刹车需经过1s，这期间货车行驶多少米？
(2)不等关系是什么？
?
例题解析
解：由关系式????=??????????????2，将????=36，????=20代入得?????????=20362 .
又卡车司机从发现障碍物到踩刹车需经过1s，这1s内卡车行驶的路程为?????10003600 ????/?????1s=5????18 ????.因此，
5????18+?????2?????????2<20?5，整理得2182????2+118?????3<0.
方程2182????2+118?????3=0有两个不相等的实数根????1=?27, ????2=18.
由图象得不等式2182????2+118?????3<0的解集为｛????∣?27在实际问题中????>0，所以最高速度应低于18????????/?.
?
例题解析
例3 某化学试剂生产厂以???? ????????/?的速度运输生产某种产品（生产条件要求边生产边运输，且1≤????≤10），每小时可获得利润100(5????+1?3????)元.
（1）要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3000元，求????的取值范围；
（2）要使运输生产900 ????????该产品获得的利润最大，该工厂应该选择何种运输生产速度？并求出最大利润.
?
解：（1）由题意可得：2?1005????+1?3????≥3000? ,
化简得5?????14?3????≥0
因为1≤????≤10 ,所以5????2?14?????3≥0
解得不等式对应的解集是：????≤?15或????≥3.
因为1≤????≤10，所以????∈[3,10].
?
（1）要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3000元，求????的取值范围；
?
例题解析
（2）设利润为????元，则依题意得
????=900????1005????+1?3????
=90000?3????2+1????+5
=90000[?3(1?????16)2+6112].
因此，当1????=16，即运输生产速度为6????????/?时，该工厂获得的利润最大，最大利润为457500元.
?
例题解析
课堂练习
1. 一家车辆制造厂引进了一条摩托整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量????（单位：辆）与创造的价值????（单位：元）之间有如下的关系：????=?20????2+2200????.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
?
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产????辆摩托车，根据题意，得?20????2+2200????＞60000.
移项整理，得????2?110????+3000＜0.
?
对于方程，????2?110????+3000=0.Δ＝100＞０，
方程有两个实数根????1＝50，????2＝60．
?
画出二次函数????=????2?110????+3000的图象
?
得不等式????2?110????+3000＜0的解集为｛????|50＜????＜60｝.从而原不等式的解集为｛????|50＜????＜60｝.
?
因为????只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．
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课堂练习
课堂练习
2. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：????）和汽车刹车前的车速????（单位：????????/?）之间有如下关系：
s=120????+1180????2.
在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1????????/?）？
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解：根据题意，得120????+1180????2＞39.5,整理得????2+9?????7110＞0.
对于方程????2+9?????7110=0，Δ＞０，方程有两个实数????1=?9?285212,????2=?9+285212
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画出二次函数????=????2+9?????7110的图象
?
得不等式的解集为{????|????＜????1,或????＞????2}
?
因为车速????＞0，所以????＞????2. 而79.9＜????2＜80，
所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 ????????/?.
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课堂练习
3. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格?
课堂练习
解：设这批台灯的销售价定为????元，则
[30-（????-15）×2]·????＞400，即????2?30????+200＜0,解得10＜????＜20，又∵????≥15，∴15≤????＜20
?
故应将这批台灯的销售价格制定在15元到20元之间，包括15元但不包括20元，才能使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售价格.
课堂练习
课堂总结
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中
的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.
解不等式应用题的步骤：
说一说：本节课你学到了哪些知识？

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