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本章总结提升
【知识辨析】
1.×　[解析] 由题意可得三条直线中有两条直线互相平行.∵直线x-y+1=0和直线y+2x-4=0不平行,∴直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线y+2x-4=0和直线ax-y+2=0平行.∵直线x-y+1=0的斜率为1,直线y+2x-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a,∴a=1或a=-2.
2.√　[解析] 依题意得a(a+2)=-1,解得a=-1.
3.×　[解析] 由双曲线的定义知不正确.
4.√　[解析] 圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C,半径r=,所以|PA|2=|PC|2-r2=+-=++Dx0+Ey0+F,故正确.
5.×　[解析] 当m,n异号时,方程mx2+ny2=1不表示椭圆.
6.√　[解析] 焦点均在x轴上,且半焦距均为.
7.×　[解析] 当直线l的方程为x=1时,直线l与抛物线y=2x2也只有一个公共点.
8.√　[解析] 由y=4ax2(a≠0),得x2=y,则焦点坐标为.
【素养提升】
题型一
例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)设要求的直线方程为2x+3y-5+λ(7x+15y+1)=0,即(2+7λ)x+(3+15λ)y+(λ-5)=0,∵要求的直线平行于直线x+2y-3=0,∴=≠,解得λ=1,∴要求的直线方程为9x+18y-4=0.
(2)由题得,直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为m1=(1,-a),m2=(1,-1),m3=(3a,-a2-a+5).若l1⊥l2,则m1·m2=(1,-a)·(1,-1)=1+a=0,解得a=-1,此时l1:-x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:-5x-3y-3=0,它们交于一点(0,-1),不满足题意.若l1⊥l3,则m1·m3=(1,-a)·(3a,-a2-a+5)=a(a2+a-2)=0,解得a=-2或a=0或a=1.当a=-2时,l1:-2x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:x+2y+1=0,满足题意;当a=0时,l1:y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:5x+3=0,满足题意;当a=1时,l1:x+y+1=0与l2:x+y+1=0重合,不满足题意.若l2⊥l3,则m2·m3=(1,-1)·(3a,-a2-a+5)=a2+4a-5=0,解得a=-5或a=1.当a=-5时,l1:-5x+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:5x-5y-1=0,满足题意;当a=1时,l1与l2重合,不满足题意.综上可知,当a=-5或a=-2或a=0时,满足题意,故满足题意的l1,l2,l3有3组.故选B.
变式　(1)D　(2)B　(3)ABC　[解析] (1)设AC边上的高所在直线的斜率为k1,AC边所在直线的斜率为k2,则k1=-,因为AC边上的高与AC垂直,所以k1k2=-1,所以k2=,又A(5,5),所以AC所在直线的方程为y=(x-5)+5,即2x-3y+5=0.故选D.
(2)当a=0时,显然l1与l2不平行,所以a≠0,由题得=≠,解得a=-4.故选B.
(3)直线l:x+my+m=0可化为x+(y+1)m=0,所以直线l过定点C(0,-1),又A(-3,2),B(2,1),所以kAC==-1,kBC==1,故直线AC的倾斜角为,直线BC的倾斜角为,结合图象可知,直线l的倾斜角的取值范围为,故A,B,C正确,D错误.故选ABC.
题型二
例2　(1)B　(2)4　[解析] (1)直线y=k(x+1)过定点(-1,0),易知当点(-1,0)与(0,-1)的连线与直线y=k(x+1)垂直时,所求距离最大,所以点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为=.故选B.
(2)+=+表示直线x+y=0上的点到点A(2,0)和B(0,2)的距离之和,易得点A(2,0)关于直线y=-x的对称点为A'(0,-2),所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=4,当且仅当A',P,B三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值4.
变式　(1)　(2)4　[解析] (1)由B(3,4),C(4,-1),得kBC==-5,所以直线BC的方程为y+1=-5(x-4),即5x+y-19=0,所以点A(1,1)到直线BC的距离d==,又|BC|==,所以S△ABC=|BC|d=.
(2)方法一:由已知可设P,x>0,所以点P到直线x+y=0的距离d==≥=4,当且仅当2x=,即x=时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值为4.
方法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0,当直线x+y+C=0与曲线y=x+(x>0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4.因为x>0,所以y>0,所以C<0,则C=-4,则所求距离的最小值为=4.
题型三
例3　(1)B　(2)C　(3)2x+3y+8=0　(4)(-3,-4)
[解析] (1)点P(5,8)关于y轴的对称点为P'(-5,8),则反射光线所在直线为P'Q,因为kP'Q==-,所以反射光线所在直线的方程为y+1=-x,令y=0,解得x=-,所以反射光线所在直线在x轴上的截距为-.故选B.
(2)若直线l2与l1关于l对称,则直线l1,l的交点在直线l2上,设l1与l的交点为A,由解得则A(1,0).在直线l1上任取一点(2,2),设该点关于直线l对称的点为B,易知B(3,1),则点B在直线l2上,所以直线l2的斜率为=,所以直线l2的方程为y-0=(x-1),即x-2y-1=0.故选C.
(3)在直线l1上任取一点A(x,y),则A关于点(1,-1)对称的点(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0.
(4)如图,设点A关于直线x-y-1=0的对称点为E(m,n),
则解得
则E(-1,0),所以|PA|-|PB|=|PE|-|PB|.结合图形可知,当B,E,P三点共线时,|PE|-|PB|取得最小值,此时点P在点Q的位置(Q为直线BE与直线x-y-1=0的交点),则kBQ==2,所以直线BQ的方程为y=2(x+1)=2x+2,由解得即Q(-3,-4),故|PA|-|PB|取得最小值时点P的坐标为(-3,-4).
变式　解:(1)设点P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y'),则kPP'·kl=-1,即×3=-1①.
又线段PP'的中点在直线3x-y+3=0上,所以3×-+3=0②.
由①②得
将点P的坐标代入③④得x'=-2,y'=7,
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)用x',y'分别代换x-y-2=0中的x,y,
得--2=0,
化简得7x+y+22=0,所以直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程为7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设点M关于点(1,2)对称的点为M'(a,b),所以=1,=2,解得a=2,b=1,所以M'(2,1).
因为直线l关于点(1,2)对称的直线平行于l,所以对称直线的斜率为3,所以对称直线的方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.
题型四
例4　(1)C　(2)D　[解析] (1)根据题意可知,圆x2+y2+2x-6y+10-m=0的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=m,圆心为C1(-1,3),半径r=,圆心C1到x轴的距离d=3,因为x轴被圆C1截得的弦长为2,所以r===4,所以m=16,故圆C1:x2+y2+2x-6y-6=0.设直线AB为两圆的公共弦所在的直线,两圆的方程作差可得x-7y+12=0,即直线AB的方程为x-7y+12=0.故选C.
(2)圆x2+y2=2的圆心为(0,0),半径为.当直线l的斜率不存在时,直线l即为y轴,此时A,B,O三点共线,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,则S△AOB=|AO||BO|sin∠AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB,所以当sin∠AOB=1,即∠AOB=时,△AOB的面积取最大值,此时△AOB为等腰直角三角形,则点O到直线l的距离为1,即圆心(0,0)到直线l的距离d===1,解得k=±.故选D.
变式　(1)A　(2)A　[解析] (1)易得圆C:(x-2)2+(y+1)2=1,设∠ACP=θ,则|AB|=2sin θ≥,则sin θ≥,∴θ∈,则|PC|=≥2,∴圆心C到直线l的距离是2,∴=2,得5m2+12m=0,∵m≠0,∴m=-.故选A.
(2)因为圆x2+y2=1上总存在两个点到点(a,2-a)的距离为3,所以圆x2+y2=1与以(a,2-a)为圆心,3为半径的圆有2个公共点,即圆x2+y2=1与圆(x-a)2+(y-2+a)2=9相交,所以3-1<<3+1,即2<<4,解得1-题型五
例5　(1)x2+(y-3)2=4　(2)2x-4y+5=0　[解析] (1)由已知可得,圆C:(x-3)2+y2=4的圆心为C(3,0),半径r=2.设点C(3,0)关于直线y=x对称的点为C1(x0,y0),则解得所以C1(0,3),所以圆C关于直线y=x对称的圆的方程为x2+(y-3)2=4.
(2)圆C1:x2+y2=2的圆心为C1(0,0),圆C2:x2+y2+2x-4y+3=0,即C2:(x+1)2+(y-2)2=2,其圆心为C2(-1,2).根据题意可得直线l为线段C1C2的垂直平分线,又==-2,线段C1C2的中点坐标为,所以直线l的方程为y-1=,即2x-4y+5=0.
变式　B　[解析] 圆C:(x+2)2+(y-4)2=4的圆心为C(-2,4),当直线l1,l2关于直线y=2x对称时,直线CP与直线y=2x垂直,所以直线CP的方程为y-4=-(x+2),即x+2y-6=0.由解得所以P.故选B.
题型六
例6　(1)C　(2)B　[解析] (1)方法一:方程x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9.设x-y=t,即x-y-t=0,则当直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9相切时,t取得最大值或最小值,此时=3,解得t=1+3或t=1-3,所以x-y的最大值为1+3.故选C.
方法二:方程x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,由圆的参数方程可设(θ为参数),所以x-y=1+3(cos θ-sin θ)=1+3cos≤1+3,当θ=-时,等号成立.故选C.
(2)由题意得C1(1,1),C2(-3,2).因为|MA|=,|MB|=,且|MA|=|MB|,所以-1=-1,即(m-1)2+(n-1)2-1=(m+3)2+(n-2)2-1,化简得点M的轨迹方程为8m-2n+11=0.m2+n2的几何意义为点M与原点O之间的距离的平方,因为|OM|min==,所以m2+n2的最小值为=.故选B.
变式　(1)B　(2)ACD　[解析] (1)圆C:x2+y2-8x+6y+16=0可化为(x-4)2+(y+3)2=9.x2+y2表示点P(x,y)到点O(0,0)的距离的平方,因为|CO|==5,所以x2+y2的最小值为(5-3)2=4.故选B.
(2)方法一:由题知圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心的坐标为(5,5),半径r=4,直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,圆心到该直线的距离d==>4,故点P到直线AB的距离的取值范围为,+4-10=-6==<0,即+4<10,故选项A正确;-4-2=-6<0,即-4<2,故选项B不正确;易知当∠PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|==3,故选项C,D均正确.故选ACD.
方法二:直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0.设P(5+4cos θ,5+4sin θ),则点P到直线AB的距离d==,其中tan φ=,因为dmax=<10,dmin=<2,所以选项A正确,选项B错误.记圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为点D(5,5),半径r=4,连接DB,则|DB|==.易知当∠PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|===3,所以选项C,D均正确.故选ACD.
题型七
例7　(1)B　(2)B　[解析] (1)方法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ<,则=b2tan=b2tan θ.由cos∠F1PF2=cos 2θ===,可得tan θ=.由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,所以=×|F1F2|×|yP|=×2×|yP|=6×,所以=3,则=9×=,故|OP|===.故选B.
方法二:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12②.联立①②,可得|PF1||PF2|=,+=21,又=(+),所以|OP|=||=|+|,即|OP|=|+|==×=.故选B.
方法三:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1|2+|PF2|2=21,由三角形中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=2,解得|OP|=.故选B.
(2)不妨设F1为左焦点,如图.在双曲线C中,a=1,b=,则c=2,则|F1F2|=2c=4.在△PF1F2中,∵|OP|=|F1F2|,∴△PF1F2为直角三角形.设|PF1|=m,|PF2|=n,则
即∴mn=6,∴=mn=3.故选B.
变式　(1)C　(2)AD　(3)+=1　[解析] (1)由抛物线的定义可得6+=8,解得p=4,所以抛物线C的标准方程为x2=8y.故选C.
(2)易知F为两曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为F1,连接PF1,因为=(+),所以Q是线段FP的中点,所以||=|PF1|.当P在右支时,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF|=4,所以|PF1|=10,可得||=5;当P在左支时,由双曲线的定义可知|PF|-|PF1|=4,所以|PF1|=2,可得||=1.故选AD.
(3)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由e=,知=,所以=.由△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,得a=4,则b2=8,故椭圆C的方程为+=1.
题型八
例8　(1)C　(2)AC　[解析] (1)设|MF2|=2m(m>0),则|NF2|=3m.由椭圆的定义与对称性可得|MF1|=2a-2m,|NF1|=|NF2|=3m,|MN|=5m.因为·=0,所以+=|MN|2,即(2a-2m)2+(3m)2=(5m)2,可得a=3m,则|MF1|=4m,所以cos∠F1MF2==.在△F1MF2中,由余弦定理得=+-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2,即4c2=16m2+4m2-2×4m×2m×,可得c=m,所以椭圆的离心率为=.故选C.
(2)直线y=-(x-1)与x轴的交点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),因此p=2,A正确;抛物线C的方程为y2=4x,由消去y化简得3x2-10x+3=0,可得x1=,x2=3,则M,N(3,-2)(设M在第一象限,N在第四象限),所以|MN|=,B错误;因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,所以△OMN不是等腰三角形,D错误;以MN为直径的圆的圆心的横坐标为=,圆心到准线l的距离为+==,因此以MN为直径的圆与l相切,C正确.故选AC.
变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)由题得抛物线C的焦点为F(1,0),圆A的圆心为A(0,4),半径R=1.连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|-1,则|PQ|+|PB|=|PQ|+|PF|-1≥|QF|-1≥|AF|-1-1=-2=5,当且仅当A,Q,P,F四点共线,且Q,P在A,F之间时取等号.故选D.
(2)不妨设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),椭圆的半长轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,半虚轴长为b2,半焦距为c2,
由椭圆的定义可知m+n=2a1,则e1==,可得m+n=2a1=12.因为∠F1PF2=,所以cos∠F1PF2===,解得mn=32.由m-n==4=2a2,可得a2=2,又c2=2,所以b2==2,故双曲线C2的方程为-=1.故选D.
题型九
例9　(1)D　(2)B　[解析] (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,由消去y得3x2+4mx+2(m2-1)=0, 则x1+x2=-,x1x2=,∴|AB|=·|x1-x2|=·=·=·,∴当m=0时,|AB|取得最大值.故选D.
(2)设F(c,0),在双曲线方程中,令x=c,得y=±,过双曲线C:-=1(a>0)的右焦点F作直线l与双曲线C交于A,B两点.若A,B在同一支上,则|AB|min=;若A,B在两支上,则|AB|min=2.因为满足|AB|=16的直线有4条,所以解得变式　解:(1)由题得F(1,0).
当k=1时,直线l的方程为y=x-1,
由消去y,得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则x1+x2=6,x1x2=1,所以x0==3,y0=x0-1=2,
所以点M的坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+2=8.
(2)由题得直线l:y=k(x-1).
由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x3,y3),B(x4,y4),则x3+x4=,x3x4=1.
由k1+k2=+====-=1,
可得k=-4,所以直线l的方程为y=-4x+4.
题型十
例10　解:(1)因为椭圆E:+=1(a>b>0)经过点P,所以+=1,
因为F1,F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形,
所以b=c,则a2=b2+c2=2b2,所以+=1,解得b2=1,则a2=2,
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:设直线AB的方程为x=my+1(m≠0),则直线CD的方程为x=-y+1,
由消去x,得(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,
所以x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=,所以M,
同理得N.
当m2≠1时,kMN=,直线MN的方程为y+=,
整理得y=,令x=1,可得x=,
所以直线MN过定点R.
当m2=1时,直线MN的方程为x=,直线MN过点R.
综上可得,直线MN过定点R.
(3)方法一:△MNF2的面积S=|F2R|·|yM-yN|=×=·=.
令=t(t≥2),则S=·=·,易知y=2t+在[2,+∞)上单调递增,
所以当t=2,即m=±1时,S取得最大值,所以△MNF2的面积的最大值为.
方法二:|MF2|==,|NF2|=,则△MNF2的面积S=×|MF2|×|NF2|=,
令=t(t≥2),则S==≤,当且仅当t=2,即m=±1时取等号,
所以△MNF2的面积的最大值为.
变式　解:(1)由题意,点P(m,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且点P到抛物线焦点的距离为2,
则解得所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:由(1)得,N(1,0),则M(-1,0).
设A,B,则=,=.
因为MB⊥NB,所以·=-1+=0,可得=4-8,所以|NB|=+1=-1,
又|MN|=2,所以sin θ==,所以cos 2θ=1-2sin2θ=-2.
(3)因为∠ABH=2θ,∠AMH=θ,所以∠BHM=θ,所以|BM|=|BH|,
所以点B在线段MH的中垂线上.
设M(m,0)(m<0),N(-m,0),直线l的方程为x=ty+m,t>0,A,B.
将x=ty+m代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,则Δ=16t2+16m>0,y3+y4=4t,y3y4=-4m.
因为点B在线段MH的中垂线上,且AH⊥MH,
所以点B为线段AM的中点,所以y3=2y4,则m=-.=,=,
因为MB⊥NB,所以·=-m2+=0,可得=,则m=-=-,t==,
因为t>0,所以t=,故直线l的方程为x=y-,即3x-3y+8=0.本章总结提升
判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.若三条直线y+2x-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则a的值为-1或2.(　 )
2.若直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=-1. (　 )
3.设A,B为两个定点,k为非零常数,|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线. (　 )
4.由点P(x0,y0)向圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0引切线,切点为A,则|PA|=. (　 )
5.已知方程mx2+ny2=1,则当m>n时,该方程表示焦点在x轴上的椭圆. (　 )
6.双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点. (　 )
7.如果直线l过定点M(1,2),且与抛物线y=2x2有且仅有一个公共点,那么直线l的方程为y=4x-2. (　 )
8.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是. (　 )
◆ 题型一　直线的位置关系
[类型总述] (1)平行;(2)垂直;(3)相交.
例1 (1)经过直线l1:2x+3y-5=0与l2:7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线的方程为 (　 )
A.9x+18y-4=0
B.18x-9y-193=0
C.x+2y-4=0
D.2x-y-4=0
(2)[2025·湖北华中师大附中高二期中] 设a为实数,若直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+1=0,l3:(a2+a-5)x+3ay-3=0两两相交,且交点恰为直角三角形的三个顶点,则这样的l1,l2,l3有 (　 )
A.2组 B.3组
C.4组 D.5组
变式 (1)已知△ABC的顶点A(5,5),AC边上的高所在直线方程为3x+2y-7=0,则AC所在直线的方程为 (　 )
A.x-2y+5=0 B.2x-3y+3=0
C.x+2y-15=0 D.2x-3y+5=0
(2)已知直线l1:ax+2y+1=0,l2:8x+ay+a-2=0,若l1∥l2,则实数a的值为 (　 )
A.±4 B.-4
C.4 D.0
(3)(多选题)已知直线l:x+my+m=0,若直线l与连接A(-3,2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角可以是 (　 )
A. B. C. D.
◆ 题型二　距离问题
[类型总述] (1)点点距离;(2)点线距离;(3)线线距离.
例2 (1)点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为 (　 )
A.1 B.
C. D.2
(2)已知点P(x,y)在直线x+y=0上,则+的最小值为　　　　.
变式 (1)已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,4),C(4,-1),则△ABC的面积为　　　　.
(2)在平面直角坐标系中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.
◆ 题型三　点线的对称问题
[类型总述] (1)点点对称;(2)点线对称;(3)线点对称;(4)线线对称.
例3 (1)一条光线从点P(5,8)射出,与y轴相交于点Q(0,-1)且被y轴反射,则反射光线所在直线在x轴上的截距为 (　 )
A. B.-
C. D.-
(2)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是 (　 )
A.x+y-1=0 B.x+2y-1=0
C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0
(3)已知直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若l的方程是2x+3y-6=0,则l1的方程是　　　　　　　.
(4)已知点P在直线x-y-1=0上,点A(1,-2),B(2,6),则|PA|-|PB|取得最小值时点P的坐标为　　　　.
变式 已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线;
(3)直线l关于点(1,2)对称的直线.
◆ 题型四　直线与圆、圆与圆的位置关系的应用
[类型总述] (1)直线与圆的位置;(2)圆与圆的位置;(3)弦长公式;(4)垂径定理.
例4 (1)已知x轴被圆C1:x2+y2+2x-6y+10-m=0截得的弦长为2,圆C2:x2+y2+8y-30=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为 (　 )
A.x-7y-12=0 B.x-7y+8=0
C.x-7y+12=0 D.x-7y-18=0
(2)[2025·江苏镇江高二期中] 过点(0,2)作直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为 (　 )
A.± B.±
C.±1 D.±
变式 (1)已知直线l:mx-y+m+1=0(m≠0)与圆C:x2+y2-4x+2y+4=0,过直线l上的任意一点P向圆C引切线,切点为A,B,若线段AB的长度的最小值为,则实数m的值是(　 )
A.- B.
C. D.-
(2)[2025·江苏常州高二期中] 若圆x2+y2=1上总存在两点到点(a,2-a)的距离等于3,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(1-,0)∪(2,1+)
B.(1-,0]∪(2,1+]
C.(1-,1+)
D.[1-,1+]
◆ 题型五　与圆有关的对称问题
[类型总述] (1)点线对称;(2)直线与圆.
例5 (1)已知圆C:(x-3)2+y2=4,则圆C关于直线y=x对称的圆的方程为　　　　　　.
(2)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=2关于直线l对称的圆为C2:x2+y2+2x-4y+3=0,则l的方程为　　　　　　.
变式 [2025·湖南岳阳高二期中] 过直线y=2x上的点P作圆C:(x+2)2+(y-4)2=4的两条切线l1,l2,当直线l1与l2关于直线y=2x对称时,点P的坐标为 (　 )
A. B.
C.(1,2) D.
◆ 题型六　圆中的最值问题
[类型总述] (1)圆系方程;(2)公共弦;(3)垂径定理.
例6 (1)[2023·全国乙卷] 已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
(2)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+3)2+(y-2)2=1,过动点M(m,n)分别作圆C1,圆C2的切线MA,MB(A,B分别为切点),若|MA|=|MB|,则m2+n2的最小值是 (　 )
A. B.
C. D.
变式 (1)若点P(x,y)是圆C:x2+y2-8x+6y+16=0上一点,则x2+y2的最小值为 (　 )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)(多选题)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　 )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
◆ 题型七　圆锥曲线的标准方程与定义
[类型总述] (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题,常用定义来解决;(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,常用定义来解决;(3)求轨迹、最值、曲线方程也常常结合定义来解决.
例7 (1)[2023·全国甲卷] 设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　 )
A. B. C. D.
(2)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　 )
A. B.3
C. D.2
变式 (1)若抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P到焦点的距离为8,到x轴的距离为6,则抛物线C的标准方程是 (　 )
A.x2=4y B.x2=6y
C.x2=8y D.x2=16y
(2)(多选题)已知双曲线-=1上一点P到F(3,0)的距离为6,O为坐标原点,且=(+),则||的值可能为 (　 )
A.1 B.3
C.4 D.5
(3)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.若过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为　　　　　　.
◆ 题型八　圆锥曲线的几何性质
[类型总述] (1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围;(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围;(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质.
例8 (1)[2025·河北邯郸高二期中] 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆上的一点,直线MF2与y轴的负半轴交于点N,若·=0,且|MF2|∶|NF2|=2∶3,则椭圆的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　 )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
变式 (1)已知P为抛物线C:y2=4x上的一动点,过P作y轴的垂线,垂足为B,点Q是圆A:x2+(y-4)2=1上的一动点,则|PQ|+|PB|的最小值为 (　 )
A.8 B.7 C.6 D.5
(2)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(-2,0),F2(2,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=,若e1=,则双曲线C2的方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
◆ 题型九　直线与圆锥曲线的位置关系
[类型总述] (1)判断直线与圆锥曲线的位置关系;(2)弦的垂直平分线问题; (3)弦长的计算.
例9 (1)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为 (　 )
A.2 B. C. D.
(2)[2025·陕西西安高二期末] 已知双曲线C:-=1(a>0),过右焦点F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=16,若这样的直线l有4条,则实数a的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.(0,64)
变式 已知F是抛物线E:y2=4x的焦点,过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点,M是线段AB的中点.
(1)当k=1时,求|AB|与点M的坐标;
(2)已知O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,求直线l的方程.
◆ 题型十　圆锥曲线的综合问题
[类型总述] (1)定点、定值问题;(2)最值、取值范围问题.
例10 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F1,F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形,点P在椭圆E上,过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB,CD分别交椭圆E于A,B,C,D四点,M,N分别是弦AB,CD的中点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:直线MN过定点;
(3)求△MNF2的面积的最大值.
变式 [2024·陕西西安高二期末] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(m,2),且点P到抛物线焦点的距离为2,M和N是x轴上关于原点对称的两个点,点M在点N左侧.过点M且倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于A,B两点,且MB⊥NB.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若N为C的焦点,求证:cos 2θ=-2;
(3)过点A作x轴的垂线,垂足为H,若∠ABH=2θ,求直线l的方程.(共89张PPT)
本章总结提升
题型一 直线的位置关系
题型二 距离问题
题型三 点线的对称问题
题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用
题型五 与圆有关的对称问题
题型六 圆中的最值问题
题型七 圆锥曲线的标准方程与定义
题型八 圆锥曲线的几何性质
题型九 直线与圆锥曲线的位置关系
题型十 圆锥曲线的综合问题
答案核查
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
1.若三条直线,与 共有两
个交点,则的值为 或2.( )
×
[解析] 由题意可得三条直线中有两条直线互相平行.
直线和直线不平行, 直线
和直线平行或直线和直线
平行.
直线的斜率为1,直线的斜率为 ,
直线的斜率为,或 .
2.若直线和互相垂直,则 .( )
√
[解析] 依题意得，解得 .
3.设，为两个定点，为非零常数，，则动点 的
轨迹为双曲线.( )
×
[解析] 由双曲线的定义知不正确.
4.由点向圆引切线，切点为 ，
则 .( )
√
[解析] 圆的圆心为 ，半径
，所以 ，故正确.
5.已知方程,则当时,该方程表示焦点在 轴上的
椭圆.( )
×
[解析] 当，异号时，方程 不表示椭圆.
6.双曲线与椭圆 有相同的焦点.( )
√
[解析] 焦点均在轴上，且半焦距均为 .
7.如果直线过定点,且与抛物线 有且仅有一个公共点,
那么直线的方程为 .( )
×
[解析] 当直线的方程为时，直线与抛物线 也只有一
个公共点.
8.抛物线的焦点坐标是 .( )
√
[解析] 由，得，则焦点坐标为 .
题型一 直线的位置关系
［类型总述］（1）平行;（2）垂直;（3）相交.
例1（1）经过直线与 的交点,
且平行于直线 的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设要求的直线方程为 ,即
,
要求的直线平行于直线,,解得
, 要求的直线方程为 .
√
（2）［2025·湖北华中师大附中高二期中］设 为实数，若直线
， ，
两两相交，且交点恰为直角三角形的
三个顶点，则这样的，， 有( )
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
[解析] 由题得，直线,,的一个方向向量分别为 ，
，.
若 ，则，解得 ，
此时，， ，
√
它们交于一点，不满足题意.若 ，则
，解得
或或.
当时， ，，
，满足题意；
当 时，，， ，满足题意；
当时，与 重合，不满足题意.
若，则 ，
解得或.
当时， ，，
，满足题意；
当时，与重合，不满足题意.
综上可知，当或 或时，满足题意，故满足题意
的,, 有3组.故选B.
变式（1）已知的顶点， 边上的高所在直线方程为
，则 所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设边上的高所在直线的斜率为， 边所在直线的斜率为
，则,
因为边上的高与垂直，所以 ，所以，
又,所以所在直线的方程为 ，即
.故选D.
√
（2）已知直线， ，若
，则实数 的值为( )
A. B. C.4 D.0
[解析] 当时，显然与不平行，所以 ，由题得
,解得 .故选B.
√
（3）（多选题）已知直线，若直线 与连接
,两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角可以是
( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 直线 可化为
，所以直线过定点 ，
又,，所以 ,
，故直线的倾斜角为，直线
的倾斜角为，
结合图象可知，直线的倾斜角的取值范围为 ，
故A，B，C正确，D错误.故选 .
题型二 距离问题
［类型总述］（1）点点距离;（2）点线距离;（3）线线距离.
例2（1）点到直线 的距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 直线过定点，
易知当点与 的连线与直线垂直时，所求
距离最大，所以点 到直线的距离的最大值为
.故选B.
√
（2）已知点在直线 上，则
的最小值为___.
4
[解析] 表示直线上的点到点和 的距离之和，
易得点关于直线的对称点为 ，所以
，当且仅当,, 三点共线
时， 取得最小值4.
变式（1）已知的三个顶点为，， ，则
的面积为___.
[解析] 由，，得，所以直线 的方
程为，即，所以点 到直线
的距离，
又 ，所以 .
（2）在平面直角坐标系中,是曲线 上的一个动点,
则点到直线 的距离的最小值是___.
4
[解析] 方法一：由已知可设,，所以点 到直线
的距离，当且仅当 ，
即时取等号，故点到直线 的距离的最小值为4.
方法二：作直线的平行线 ，当直线
与曲线相切于点时，点 到直线
的距离最小.
由得 ，所以
，解得.
因为，所以,所以 ，则，则所求距离的
最小值为 .
题型三 点线的对称问题
［类型总述］（1）点点对称;（2）点线对称;（3）线点对称;（4）
线线对称.
例3（1）一条光线从点射出，与轴相交于点且被 轴
反射，则反射光线所在直线在 轴上的截距为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 点关于轴的对称点为 ，则反射光线所在直线
为，
因为 ，所以反射光线所在直线的方程为，
令，解得，所以反射光线所在直线在 轴上的截距为 .
故选B.
（2）已知直线,.若直线与关于
对称，则 的方程是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 若直线与关于对称，则直线，的交点在直线上，
设 与的交点为，由解得则.
在直线 上任取一点，设该点关于直线对称的点为，
易知，则点 在直线上，所以直线的斜率为，所以
直线 的方程为，即 .故选C.
（3）已知直线与关于点中心对称，若 的方程是
，则 的方程是________________.
[解析] 在直线上任取一点，则关于点 对称的点
一定在直线 上，故有
，即.故直线 的方程
为 .
（4）已知点在直线上，点, ，则
取得最小值时点 的坐标为_________.
[解析] 如图，设点关于直线 的对称点为 ，
则解得
则，所以.
结合图形可知，当,, 三点共线时，取得最小值，此时点
在点 的位置 为直线 与直线的交点，则
，所以直线的方程为 ，
由解得即 ，故
取得最小值时点的坐标为 .
变式 已知直线 ，求：
（1）点关于直线 的对称点；
解：设点关于直线的对称点为 ，则
，即 .
又线段的中点在直线 上，所以 .
由①②得
将点的坐标代入③④得， ，
所以点关于直线的对称点的坐标为 .
变式 已知直线 ，求：
（2）直线关于直线 对称的直线；
解：用,分别代换中的， ，
得 ，
化简得，所以直线关于直线 对称的直
线方程为 .
变式 已知直线 ，求：
（3）直线关于点 对称的直线.
解：在直线上取点，
设点关于点 对称的点为，所以，，
解得， ，所以 .
因为直线关于点对称的直线平行于 ，所以对称直线的斜率为3，
所以对称直线的方程为 ，即 .
题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用
［类型总述］（1）直线与圆的位置;（2）圆与圆的位置;（3）弦长
公式;（4）垂径定理.
例4（1）已知轴被圆 截得的弦
长为，圆 ，则两圆的公共弦所在的直
线方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意可知，圆 的标准方
程为，圆心为，半径 ，圆心
到轴的距离，
因为轴被圆截得的弦长为 ，所以，
所以 ，故圆.
设直线 为两圆的公共弦所在的直线，两圆的方程作差可得
，即直线 的方程为 .故选C.
（2）［2025·江苏镇江高二期中］过点作直线与圆
相交于，两点，为坐标原点，当 的面积取最大值时，直
线 的斜率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为，半径为.
当直线 的斜率不存在时，直线即为轴，此时，， 三点共线，
不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，则
，
所以当，即时， 的面积取最大值，此
时为等腰直角三角形，则点到直线的距离为1，即圆心
到直线的距离，解得 .故选D.
变式（1）已知直线 与圆
，过直线上的任意一点向圆 引切线，
切点为,，若线段的长度的最小值为，则实数 的值是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易得圆，设 ,
则，则, ,
则， 圆心到直线的距离是2， ，
得,, .故选A.
（2）［2025·江苏常州高二期中］若圆 上总存在两点到
点的距离等于3，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为圆上总存在两个点到点 的距离为3，
所以圆与以 为圆心，3为半径的圆有2个公共点，
即圆与圆 相交，
所以，即 ，
解得或，所以实数 的取值范围是
.故选A.
题型五 与圆有关的对称问题
［类型总述］（1）点线对称;（2）直线与圆.
例5（1）已知圆，则圆关于直线 对称的
圆的方程为_________________.
[解析] 由已知可得，圆的圆心为 ，半径
.
设点关于直线对称的点为 ，则
解得所以，所以圆关于直线 对称
的圆的方程为 .
（2）在平面直角坐标系中，圆关于直线 对称的
圆为，则 的方程为________________.
[解析] 圆的圆心为 ，圆
，即 ，其圆
心为.
根据题意可得直线为线段 的垂直平分线，又，
线段的中点坐标为，所以直线 的方程为，
即 .
变式 ［2025·湖南岳阳高二期中］过直线上的点 作圆
的两条切线,，当直线与 关于直线
对称时，点 的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为，当直线,
关于直线对称时，直线与直线垂直，所以直线 的
方程为,即.
由 解得所以 .故选B.
题型六 圆中的最值问题
［类型总述］（1）圆系方程;（2）公共弦;（3）垂径定理.
例6（1）［2023·全国乙卷］已知实数, 满足,
则 的最大值是( )
A. B.4 C. D.7
√
[解析] 方法一：方程 可化为.
设，即 ，则当直线与圆
相切时， 取得最大值或最小值，此时，解得或
，所以的最大值为 .故选C.
方法二：方程 可化为
，
由圆的参数方程可设 为参数 ，所以
，当
时，等号成立.故选C.
（2）已知圆 与圆
，过动点分别作圆，圆 的切
线，，分别为切点，若，则 的最小
值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，.
因为 , ，且 ，
所以 ，
即，化简得点 的
轨迹方程为
的几何意义为点与原点 之间的距离的平方，
因为，所以 的最小值为 .
故选B.
变式（1）若点是圆 上一点,则
的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 圆 可化为
表示点到点 的距离的平方,因为
，所以 的最小值为 .故选B.
√
（2）（多选题）已知点在圆 上，点
， ，则( )
A.点到直线的距离小于10 B.点到直线 的距离大于2
C.当最小时， D.当最大时，
[解析] 方法一：由题知圆 的圆心的坐标为
，半径，直线的方程为，即 ，
圆心到该直线的距离，故点到直线 的距
离的取值范围为 ，
√
√
√
，即
，故选项A正确；
，即，故选项B不正确；
易知当最大或最小时， 均为圆的切线，此时
，故选项C，D均正确.故选 .
方法二：直线的方程为，即 .
设，则点到直线 的距离
，其中 ，
因为， ，所以选项A正确，选
项B错误.
记圆的圆心为点，半径 ，
连接，则.
易知当 最大或最小时， 均为圆的切线，此时
，所以选项C，D均正确.
故选 .
题型七 圆锥曲线的标准方程与定义
［类型总述］（1）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角
形问题,常用定义来解决;（2）涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线
上的点中的三者,常用定义来解决;（3）求轨迹、最值、曲线方程也
常常结合定义来解决.
例7（1）［2023·全国甲卷］设为坐标原点，， 为椭圆
的两个焦点，点在上，，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：设 , ，
则 .
由，可得 .
由椭圆方程可知，,, ，所以
，所以 ，
则，故 .故选B.
方法二：由题可知， ①，
，即
.
联立①②，可得,，
又 ，所以，
即
.故选B.
方法三：由题可知， ①，
，即
，
联立①②，可得 ，
由三角形中线定理可知，
，易知 ，
解得 .故选B.
（2）设,是双曲线的两个焦点， 为坐标原点，点
在上且，则 的面积为( )
A. B.3 C. D.2
√
[解析] 不妨设为左焦点，如图.
在双曲线 中，,,则，则.
在 中，, 为直角三角形.
,,则
即, .故选B.
变式（1）若抛物线上的点 到焦点的距离为8，
到轴的距离为6，则抛物线 的标准方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线 的
标准方程为 .故选C.
√
（2）（多选题）已知双曲线上一点到 的距离为
6，为坐标原点，且，则 的值可能为( )
A.1 B.3 C.4 D.5
√
√
[解析] 易知为两曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，连接 ，
因为，所以是线段 的中点，所以.
当在右支时，由双曲线的定义可知 ，所以，
可得;
当 在左支时，由双曲线的定义可知，所以
，可得.故选 .
（3）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在 轴
上,离心率为.若过的直线交于,两点,且 的周长为16,则
椭圆 的方程为_ __________.
[解析] 设椭圆的方程为,由,知 ,
所以.
由 的周长为
,
得,则,故椭圆的方程为
题型八 圆锥曲线的几何性质
［类型总述］（1）已知基本量求离心率或求离心率 的取值范围;
（2）已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围;（3）已知曲线的某些
性质求曲线方程或求曲线的其他性质.
例8（1）［2025·河北邯郸高二期中］已知椭圆
的左、右焦点分别为，， 是椭圆上的一点，直线与轴的负
半轴交于点，若 ，且 ，则椭圆的离
心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，则 .
由椭圆的定义与对称性可得，，
.
因为，所以 ，即
，可得，则 ，所以
.
在 中，由余弦定理得
，即，
可得 ，所以椭圆的离心率为 .故选C.
（2）（多选题） 新课标Ⅱ卷］ 设 为坐标原点，直线
过抛物线的焦点，且与 交于
，两点，为 的准线，则( )
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
√
√
[解析] 直线与轴的交点为 ，即抛物线的焦点
为，因此，A正确；
抛物线的方程为 ，由消去化简得
，可得 ，，则,（设
在第一象限， 在第四象限），所以，B错误；
因为,, ,所以不是等腰三角形，
D错误；
以 为直径的圆的圆心的横坐标为，圆心到准线的距离为
，因此以 为直径的圆与相切，C正确.故选 .
变式（1）已知为抛物线上的一动点，过作 轴的垂线，
垂足为，点是圆 上的一动点，则
的最小值为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
[解析] 由题得抛物线的焦点为,圆的圆心为 ,半径
.
连接,,由抛物线的定义可得,则 ，
当且仅当,,，四点共线，且，在, 之间时取等号.故选D.
√
（2）已知椭圆与双曲线有相同的焦点， ，
离心率分别为，，点为椭圆与双曲线 在第一象限的公共点，
且，若，则双曲线 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 不妨设,，椭圆的半长轴长为 ，
双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，半焦距为 ,
由椭圆的定义可知，则 ，可得
.
因为 ，所以，
解得 .
由，可得，
又 ，所以，
故双曲线的方程为 .故选D.
题型九 直线与圆锥曲线的位置关系
［类型总述］
（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系；
（2）弦的垂直平分线问题；
（3）弦长的计算.
例9（1）斜率为1的直线与椭圆相交于， 两点，则
的最大值为( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 设,，直线的方程为 ，
由消去得 ，则
,，
， 当时，取得最大值 .故选D.
（2）［2025·陕西西安高二期末］已知双曲线 ，
过右焦点的直线与双曲线交于,两点，且 ，若这样的
直线有4条，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，在双曲线方程中，令，得 ，过双曲
线的右焦点作直线与双曲线交于, 两点.若
,在同一支上，则；
若, 在两支上，则.因为满足的直线有4条，
所以 解得 .故选B.
变式 已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线 与
抛物线交于,两点，是线段 的中点.
（1）当时，求与点 的坐标；
解：由题得 .
当时，直线的方程为 ，
由消去，得 ，
设,， ，则, ，
所以， ，
所以点的坐标为 ， .
变式 已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线 与
抛物线交于,两点，是线段 的中点.
（2）已知为坐标原点，记直线,的斜率分别为, ，若
，求直线 的方程.
解：由题得直线 .
由消去，得 ，
设, ，则, .
由
，可得 ，所以直线的方程为 .
题型十 圆锥曲线的综合问题
［类型总述］（1）定点、定值问题;（2）最值、取值范围问题.
例10 已知椭圆的左、右焦点分别为, ，
且,与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点 在
椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线, 分别交
椭圆于,,,四点，,分别是弦, 的中点.
（1）求椭圆 的方程；
解：因为椭圆经过点 ，所以
，
因为,与短轴的一个端点 构成一个等腰直角三角形，
所以,则 ，
所以，解得，则 ,
所以椭圆的方程为 .
例10 已知椭圆的左、右焦点分别为, ，
且,与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点 在
椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线, 分别交
椭圆于,,,四点，,分别是弦, 的中点.
（2）求证：直线 过定点；
证明：设直线的方程为 ，
则直线的方程为 ，
由消去，得 .
设,，则， ,
所以 ,所
以 ,
同理得 .
当时，，直线 的方程为
,整理得,
令，可得 ，所以直线过定点 .
当时，直线的方程为,直线过点 .
综上可得，直线过定点 .
例10 已知椭圆的左、右焦点分别为, ，
且,与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点 在
椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线, 分别交
椭圆于,,,四点，,分别是弦, 的中点.
（3）求 的面积的最大值.
解：方法一： 的面积
.
令,则 ,
易知在 上单调递增，
所以当，即时，取得最大值 ，
所以的面积的最大值为 .
方法二： ,
,则 的面积
,
令，则,当且仅当 ，即
时取等号，
所以的面积的最大值为 .
变式 ［2024·陕西西安高二期末］已知抛物线 过
点，且点到抛物线焦点的距离为2，和是 轴上关于原点
对称的两个点，点在点左侧.过点且倾斜角为 的直线 与抛物
线交于，两点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
解：由题意，点在抛物线上，且点 到
抛物线焦点的距离为2，
则解得所以抛物线的方程为 .
变式 ［2024·陕西西安高二期末］已知抛物线 过
点，且点到抛物线焦点的距离为2，和是 轴上关于原点
对称的两个点，点在点左侧.过点且倾斜角为 的直线 与抛物
线交于，两点，且 .
（2）若为的焦点，求证： ；
证明：由（1）得，，则 .
设, ，
则, .
因为，所以 ，可得
，所以 ，
又，所以 ，所以
.
变式 ［2024·陕西西安高二期末］已知抛物线 过
点，且点到抛物线焦点的距离为2，和是 轴上关于原点
对称的两个点，点在点左侧.过点且倾斜角为 的直线 与抛物
线交于，两点，且 .
（3）过点作轴的垂线，垂足为，若 ，求直线 的方程.
解：因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以点在线段 的中垂线上.
设，，直线的方程为， ，
, .
将代入，得 ，
则，， .
因为点在线段的中垂线上，且 ，
所以点为线段的中点，所以，则 .
, ，
因为，所以 ，
可得，则， ,
因为，所以 ，
故直线的方程为，即 .
知识辨析 1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 7.× 8.√
素养提升 题型一例1（1）A （2）B 变式（1）D （2）B （3）ABC
题型二 例2（1）B （2）4 变式（1） （2）4
题型三 例3（1）B （2）C （3） （4）
变式（1） （2）（3）
题型四 例4（1）C （2）D 变式（1）A （2）A
题型五 例5（1） （2） 变式 B
题型六 例6（1）C （2）B 变式（1）B （2）ACD
题型七 例7（1）B （2）B 变式（1）C （2）AD （3）
题型八 例8（1）C （2）AC 变式（1）D （2）D
题型九 例9（1）D （2）B 变式（1）点的坐标为，（2）
题型十 例10（1）（2）证明略 （3）（）
变式（1）（2）证明略 （3）

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