资源简介

滚动习题(三) [范围2.1~2.2]
1.B　[解析] ∵直线l的倾斜角为60°,∴直线l的斜率k=tan 60°=,又直线l过点A(,2),∴直线l的方程为y-2=(x-),即x-y-1=0,故选B.
2.A　[解析] 设点(4,0)关于直线x+y-10=0的对称点为(a,b),则解得所以反射光线所在直线过点(10,6),所以反射光线所在直线的方程为y=x+1,即x-2y+2=0.故选A.
3.B　[解析] 当x≥0,y≥0时,曲线方程为2x+y=2;当x≥0,y<0时,曲线方程为2x-y=2;当x<0,y≥0时,曲线方程为-2x+y=2;当x<0,y<0时,曲线方程为-2x-y=2.作出曲线,如图所示,由图易得曲线围成的图形是一个菱形,其面积为×2×4=4.故选B.
4.B　[解析] 设α为直线x-ysin θ+2=0的倾斜角.当sin θ=0时,直线的斜率不存在,则α=;当sin θ≠0时,直线的斜率k=tan α=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以α的取值范围是∪.综上所述,α的取值范围为,故选B.
[技巧点拨] 由直线的斜率求解倾斜角的范围问题的关键是能够准确应用正切曲线,根据直线倾斜角的范围进行准确求解.
5.D　[解析] 两直线方程可分别化为y=-ax-a与y=-x-1,则两直线的斜率同号,排除A;若两直线平行,则-a=-且a≠1,解得a=-1,此时两直线方程分别为y=x+1与y=x-1,排除B;当a<0时,两直线的斜率都大于0,且y=-ax-a在y轴上的截距也大于0,排除C.故选D.
6.A　[解析] 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(07.ACD　[解析] 对于A,l2的方程ax-(2a-3)y-1=0可化为a(x-2y)+3y-1=0,由解得所以l2始终过定点,故A正确;对于B,若l1∥l2,则解得a=-3,故B错误;对于C,若l1⊥l2,则1×a+a×(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C正确;对于D,l1:y=-x+1始终过(0,1),因为a>0,所以直线l1的斜率-<0,所以直线l1不过第三象限,故D正确.故选ACD.
8.CD　[解析] 对于A,过点(0,1)且斜率不存在的直线的方程为x=0,故A错误;对于B,若α [0,π),则直线xsin α-ycos α+1=0的倾斜角不是α,故B错误;对于C,因为ab>0,bc<0,所以直线ax+by+c=0的方程可化为y=-x-,故直线ax+by+c=0的斜率k=-<0,该直线在y轴上的截距为->0,所以直线ax+by+c=0不经过第三象限,故C正确;对于D,当过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线的斜率存在且不为零时,该直线的两点式方程为=,可化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),当直线与x轴垂直时,直线的方程为x=x1,满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),当直线与y轴垂直时,直线的方程为y=y1,满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),综上所述,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),故D正确.故选CD.
9.-5或15　[解析] 因为直线l1:mx-y+1=0与直线l2:6x-2y-n=0平行,所以解得所以直线l1的方程为3x-y+1=0,可化为6x-2y+2=0.因为l1与l2之间的距离为,所以=,解得n=-12或n=8.当n=-12时,m-n=3+12=15,当n=8时,m-n=3-8=-5,所以m-n=-5或15.
10.　[解析] 易知直线ax+y+2=0过定点A(0,-2),则直线PA的斜率k1==-,直线QA的斜率k2==,若直线ax+y+2=0与线段PQ相交,则-≤-a≤,即-≤a≤,所以实数a的取值范围是.
[技巧点拨] 把直线与线段有交点转化为直线的斜率之间的关系是解答本题的关键,同时要准确应用直线方程的各种形式和直线过定点的判定.
11.4　[解析] x+(m+1)y-2m-2=0可化为x+y-2+m(y-2)=0,由解得则直线l1过定点(0,2),即A(0,2).(m+1)x-y-2m-2=0可化为x-y-2+m(x-2)=0,由解得即直线l2过定点(2,0),即B(2,0).∵1×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,∴l1⊥l2,即PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=22+22=8,∴|PA|+|PB|≤=4,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立,故|PA|+|PB|的最大值为4.
12.解:由得∴P(-2,2).
(1)设l1:3x-4y+m=0(m≠5),将点P的坐标代入直线l1的方程,得3×(-2)-4×2+m=0,解得m=14,
∴直线l1的方程为3x-4y+14=0.
(2)由题意可设l2:+=1或-=1,
将点P的坐标代入直线l2的方程,得+=1或-=1,a无解,b=-4,
∴直线l2的方程为-=1,即x-y+4=0.
13.解:(1)易知l1∥l2,设与直线l1,l2平行且到l1,l2距离相等的直线上的点为(x,y),则=,
∴2x+3y-7=-2x-3y-8,即4x+6y+1=0,
∴AB的中点C到原点的最短距离即为原点到直线4x+6y+1=0的距离,
∴所求的最短距离为=.
(2)∵l1与l2之间的距离d==,
∴直线l与直线l1,l2垂直,∴kl=,
又直线l过点P(1,1),
∴直线l的方程为y-1=(x-1),即3x-2y-1=0.
14.解:(1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0可得(x-2)a+x+y-5=0.
由解得
所以定点P的坐标为(2,3),
故不论a为何值,直线l必过一定点P(2,3).
(2)由题意知,xA=>0,yB=5+2a>0,则a>-1,
所以△AOB的面积S=·|xA|·|yB|=··(5+2a)=·=
·=·≥·=12,
当且仅当4(a+1)=,即a=时,等号成立,
所以当a=时,△AOB的面积最小,
此时A(4,0),B(0,6),则|AB|==2,
所以△AOB的周长为4+6+2=10+2,
所以直线l的方程为+=1,即3x+2y-12=0.
故当△AOB的面积最小时,△AOB的周长为10+2,此时直线l的方程为3x+2y-12=0.
(3)因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数,
所以不妨设5+2a=k(a+1),k∈N*,a∈N*,则a=,
又a也为正整数,所以>0,即2所以直线l的方程为+=1,即3x+y-9=0;
当k=4时,a=,不符合题意,舍去.
综上所述,直线l的方程为3x+y-9=0.滚动习题(三) [范围2.1~2.2]
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知过点A(,2)的直线l的倾斜角为60°,则直线l的方程为 (　 )
A.x+y-5=0 B.x-y-1=0
C.x+3y-9=0 D.x-3y+3=0
2.[2025·山东潍坊高二期中] 已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在直线的方程为 (　 )
A.x-2y+2=0 B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0 D.2x-y+1=0
3.由曲线2|x|+|y|=2围成的图形的面积为 (　 )
A.2 B.4 C.5 D.8
★4.直线x-ysin θ+2=0的倾斜角的取值范围是 (　 )
A.[0,π) B.
C. D.∪
5.直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0在同一平面直角坐标系中的位置可能是 (　 )
　 A　　　　　B　　　　 C　　　　　D
6.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心,则△PQR的周长为 (　 )
A. B.
C.4 D.
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2025·山东泰安高二期中] 已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是 (　 )
A.l2始终过定点
B.若l1∥l2,则a=1或a=-3
C.若l1⊥l2,则a=0或a=2
D.当a>0时,l1始终不过第三象限
8.下列说法一定正确的是 (　 )
A.过点(0,1)的直线方程为y=kx+1
B.直线xsin α-ycos α+1=0的倾斜角为α
C.若ab>0,bc<0,则直线ax+by+c=0不经过第三象限
D.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2025·广东东莞高二期中] 若直线l1:mx-y+1=0与直线l2:6x-2y-n=0平行,且l1与l2之间的距离为,则m-n=　　　　.
★10.已知P(2,-3),Q(3,2),直线ax+y+2=0与线段PQ相交,则实数a的取值范围是　　　　.
11.直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,对任意实数m,直线l1,l2分别过定点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交于点P.
(1)若直线l1经过点P,且平行于直线3x-4y+5=0,求直线l1的方程;
(2)若直线l2经过点P,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l2的方程.
13.(15分)[2025·重庆万州区高二期中] 已知直线l1:2x+3y-7=0与l2:2x+3y+8=0.
(1)若A(x1,y1),B(x2,y2)两点分别在直线l1,l2上运动,求AB的中点C到原点的最短距离;
(2)若直线l过点P(1,1),且被直线l1,l2截得的线段长为,求直线l的方程.
14.(15分)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R).
(1)求证:不论a为何值,直线l必过一定点P;
(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),O为坐标原点,当△AOB的面积最小时,求△AOB的周长及此时直线l的方程;
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时,求直线l的方程.(共35张PPT)
滚动习题（三）
范围
（时间:45分钟 分值:100分）
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.已知过点的直线的倾斜角为 ，则直线 的方程为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 直线的倾斜角为 ， 直线的斜率 ，
又直线过点， 直线的方程为 ，即
，故选B.
2.［2025·山东潍坊高二期中］已知一条光线从点 发出被直线
反射，若反射光线过点 ，则反射光线所在直线的
方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设点关于直线的对称点为 ，则
解得所以反射光线所在直线过点 ，
所以反射光线所在直线的方程为，即 .
故选A.
3.由曲线 围成的图形的面积为( )
A.2 B.4 C.5 D.8
[解析] 当, 时，曲线方程为；
当, 时，曲线方程为；
当, 时，曲线方程为；
当, 时，曲线方程为 .
作出曲线，如图所示，由图易得
曲线围成的图形是一个菱形，其面积为 .故选B.
√
★4.直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设 为直线的倾斜角.
当 时，直线的斜率不存在，则；
当 时，直线的斜率，
所以 的取值范围是.
综上所述， 的取值范围为 ，故选B.
［技巧点拨］ 由直线的斜率求解倾斜角的范围问题的关键是能够准
确应用正切曲线，根据直线倾斜角的范围进行准确求解.
5.直线与直线 在同一平面直角坐标系
中的位置可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 两直线方程可分别化为与 ，则两直
线的斜率同号，排除A；
若两直线平行，则且 ,解得,此时两直线方程分别
为与 ，排除B；
当时，两直线的斜率都大于0，且在 轴上的截距也
大于0，排除C.故选D.
6.在等腰直角三角形中，，点 是边
上异于，的一点，光线从点 出发经，反射后又
回到点，若光线经过 的重心，则 的周
长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直
线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则,
,,所以直线 的方程为.
设，点 关于直线的对称点为，
点关于 轴的对称点为，易得,.
易知直线就是线段 所在的直线，所以直线的
方程为.
设的重心为 ，则, 所以，即，
所以 （舍去）或,所以,.
又 ,，所以 的周长为
.故选A.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.［2025· 山东泰安高二期中］已知直线 和直线
，下列说法正确的是( )
A.始终过定点
B.若，则或
C.若，则或
D.当时， 始终不过第三象限
√
√
√
[解析] 对于A，的方程 可化为
，由解得
所以 始终过定点，故A正确；
对于B，若 ，则
解得 ，故B错误；
对于C，若，则，解得或 ，
故C正确；
对于D，始终过，因为，所以直线
的斜率，所以直线不过第三象限，故D正确.故选 .
8.下列说法一定正确的是( )
A.过点的直线方程为
B.直线的倾斜角为
C.若，，则直线 不经过第三象限
D.过， 两点的直线方程为
√
√
[解析] 对于A，过点且斜率不存在的直线的方程为 ，故A错误；
对于B，若，则直线 的倾斜角不是 ，
故B错误；
对于C，因为， ，所以直线的方程可化为
，故直线 的斜率，该直线在轴
上的截距为 ，所以直线不经过第三象限,故C正确；
对于D，当过 ， 两点的直线的斜率存在且不为零时，
该直线的两点式方程为，可化为
，
当直线与轴垂直时，直线的方程为 ，满足
，当直线与 轴垂直时，直线
的方程为，满足 ，
综上所述，过， 两点的直线方程为
，故D正确.故选 .
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.［2025·广东东莞高二期中］若直线 与直线
平行，且与之间的距离为，则
________.
或15
[解析] 因为直线与直线 平行，
所以解得所以直线的方程为 ，
可化为.
因为与之间的距离为 ，所以解得或.
当 时，，
当时， ，所以 或15.
★10.已知,，直线与线段 相交，则
实数 的取值范围是_______.
[解析] 易知直线过定点，则直线 的斜率
，直线的斜率 ，
若直线与线段相交，则，即 ，
所以实数的取值范围是 .
［技巧点拨］ 把直线与线段有交点转化为直线的斜率之间的关系是
解答本题的关键，同时要准确应用直线方程的各种形式和直线过定
点的判定.
11.直线 与直线
相交于点，对任意实数，直线,
分别过定点,，则 的最大值为___.
4
[解析] 可化为 ，
由解得则直线过定点 ，即
可化为 ，
由解得即直线过定点 ，即
,,即 ，
,
,当且仅当 时，
等号成立，故 的最大值为4.
四、解答题：本大题共3小题,共43分.
12.（13分）已知直线与直线交于点 .
（1）若直线经过点，且平行于直线，求直线 的
方程；
解：由得 .
设，将点的坐标代入直线 的方程，
得，解得 ，
直线的方程为 .
（2）若直线经过点 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
求直线 的方程.
解： 由题意可设或 ，
将点的坐标代入直线的方程，得或，
无解， ，
直线的方程为，即 .
12.（13分）已知直线与直线交于点 .
13.（15分）［2025·重庆万州区高二期中］ 已知直线
与 .
（1）若,两点分别在直线,上运动，求 的中点
到原点的最短距离；
解：易知，设与直线,平行且到, 距离相等的直线上的点
为，则 ，
，即 ，
的中点到原点的最短距离即为原点到直线 的
距离， 所求的最短距离为 .
（2）若直线过点，且被直线,截得的线段长为 ，求直
线 的方程.
解：与之间的距离 ，
直线与直线,垂直， ，又直线过点 ，
直线的方程为，即 .
13.（15分）［2025·重庆万州区高二期中］ 已知直线
与 .
14.（15分）设直线的方程为 .
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点 ；
证明：由 可得 .
由解得 所以定点的坐标为 ，
故不论为何值，直线必过一定点 .
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点 ,
，为坐标原点，当的面积最小时，求 的周长
及此时直线 的方程；
14.（15分）设直线的方程为 .
解：由题意知，,，则 ，
所以 的面积
,
当且仅当，即 时，等号成立，
所以当时， 的面积最小，
此时,,则 ,
所以的周长为 ,
所以直线的方程为，即 .
故当的面积最小时，的周长为，此时直线
的方程为 .
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且 也为正整数时，求
直线 的方程.
14.（15分）设直线的方程为 .
解：因为直线 在两坐标轴上的截距均为正整数，
所以不妨设,，,则 ,
又也为正整数，所以，即，所以 或4.
当时，，此时, ，
所以直线的方程为，即 ;
当时， ，不符合题意，舍去.
综上所述，直线的方程为 .
快速核答案（练习册）
一、单项选择题
1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A
二、多项选择题
7.ACD 8.CD
三、填空题
9.或15 10. 11.4
四、解答题
12. （1）（2）
13.（1） （2）m>
14.（1）证明略（2）当的面积最小时，的周长为，
此时直线的方程为 （3）

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