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滚动习题(四) [范围2.3]
1.D　[解析] 设过A,B,C,D四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将A,B,C的坐标代入可得解得所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0,将D的坐标代入圆的方程得m2-2m-1=0,解得m=1±.故选D.
2.C　[解析] 由题意可知,圆C的圆心为原点O,半径为2,直线l交y轴于点M(0,m).当直线l与OM垂直时,k=0,原点到直线l的距离d取得最大值,即dmax=|OM|=|m|.因为直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2,所以2=2,解得m=±1.故选C.
3.D　[解析] 圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为r=2.连接CA,CB,则CA⊥PA,CB⊥PB.∵∠APB=60°,∴∠APC=30°,∵r=|CA|=2,∴|CP|=4.由题知点C到直线l的距离d≤4,∴≤4,解得-4-2≤m≤4-2.故选D.
4.C　[解析] 圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为r=1.若PA与圆O相切于点A,则PA⊥OA,可得|PO|2=|PA|2+|OA|2=2,即a2+b2=2.设a+3b=t,则a=t-3b,可得(t-3b)2+b2=2,整理得10b2-6tb+t2-2=0,所以Δ=36t2-40(t2-2)≥0,解得-2≤t≤2.当a=,b=时,t取得最大值2,即a+3b的最大值是2.故选C.
5.B　[解析] 由已知得曲线不包括原点.当x≥0,y≥0时,原方程可化为x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2,表示以(1,1)为圆心,为半径的圆在第一象限且与坐标轴的交点(不包括原点)部分;当x≥0,y≤0时,原方程可化为x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2,表示以(1,-1)为圆心,为半径的圆在第四象限且与坐标轴的交点(不包括原点)部分;当x≤0,y≥0时,原方程可化为x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,表示以(-1,1)为圆心,为半径的圆在第二象限且与坐标轴的交点(不包括原点)部分;当x≤0,y≤0时,原方程可化为x2+y2+2x+2y=0,即(x+1)2+(y+1)2=2,表示以(-1,-1)为圆心,为半径的圆在第三象限且与坐标轴的交点(不包括原点)部分.综上所述,原曲线由4个半圆组成,故曲线的长度为4×π×=4π.故选B.
6.A　[解析] 圆C:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心为C(-1,1),半径r=1.设四边形PACB的面积为S,由题设及圆的切线性质得|PC|·|AB|=2S=2×2S△PAC=4××|PA|·|AC|,∵|AC|=r=1,∴|PC|·|AB|=2|PA|=2=2,∵圆心C(-1,1)到直线x-y-1=0的距离d=,∴|PC|的最小值为,∴|PC|·|AB|的最小值为2=.故选A.
[技巧点拨] 与圆的切线长有关的最值问题,可以尝试应用点到直线的距离最小进行解决.
7.BD　[解析] 由题知圆C1与圆C2的圆心分别为C1(3,0),C2(0,a),半径分别为r1=1,r2=4,|C1C2|=.对于A,若圆C1和圆C2外离,则|C1C2|=>r1+r2=5,解得a>4或a<-4,故A错误;对于B,若圆C1和圆C2外切,则|C1C2|==r1+r2=5,解得a=±4,故B正确;对于C,当a=2时,3=r2-r1<|C1C2|==8.CD　[解析] 对于A,由(3+m)x+4y-3+3m=0,得3x+4y-3+m(x+3)=0,由解得所以直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)过定点(-3,3),故A错误;对于B,当m=0时,直线l:3x+4y-3=0,圆心C到直线l的距离为=,又圆C的半径为2,所以直线l与圆C相交,又2->1,所以圆C上有四个点到直线l的距离等于1,故B错误;对于C,x2+y2-6x-8y+m=0,整理得(x-3)2+(y-4)2=25-m,其圆心为(3,4),半径为,由题可知=2+,解得m=16,故C正确;对于D,当m=13时,l:4x+y+9=0,设P(a,b),以CP为直径的圆的方程为x2+y2-ax-by=0,与圆C的方程相减得直线AB的方程为ax+by-4=0,因为点P在直线l上,所以4a+b+9=0,即b=-4a-9,所以直线AB的方程为ax+(-4a-9)y-4=0,即(x-4y)a-9y-4=0,由得故直线AB过定点,故D正确.故选CD.
9.1　[解析] 由已知得a>0,则圆x2+y2=a的圆心为(0,0),半径r=.由题可知圆心到直线l的距离d==r+1=+1,可得a=1.
10.-或0　[解析] 设直线l的方程为y=k(x+3)-1.由已知条件得圆C:(x+1)2+(y-2)2=14的圆心为(-1,2),半径为r=,则圆心到直线l的距离d==3,即圆心(-1,2)到直线l的距离d==3,解得k=0或k=-.
11.5-3　[解析] 根据题意知,圆C1:x2+(y-2)2=1的圆心为C1(0,2),半径R=1,圆C2:(x-4)2+y2=4的圆心为C2(4,0),半径r=2.设圆N与圆C1:x2+(y-2)2=1关于直线x+y+1=0对称,其圆心N的坐标为(a,b),则有解得即N(-3,-1),则|NC2|==5,当P为线段NC2与直线x+y+1=0的交点时,|PA|+|PB|取得最小值,则|PA|+|PB|的最小值为|NC2|-R-r=5-3.
12.解:(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得解得故圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)连接PM,易知四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM||PA|+|BM||PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|.因为|PA|==,所以S=2.
要求S的最小值,只需求|PM|的最小值,
因为|PM|min==3,所以Smin=2=2×=2.
13.解:(1)由题意设直线l1的方程为2x+y+m=0,则2×0+2+m=0,解得m=-2,即l1:2x+y-2=0.
∵圆心C(1,2)到直线l1的距离d==,∴|AB|=2=.
(2)设M(x,y),N(x0,y0),由题得=,即(x0,y0-2)=(x,y-2),
则则
∵点N在圆C上,∴(x0-1)2+(y0-2)2=4,则+=4,化简得(x-3)2+(y-2)2=36,
故点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-2)2=36,轨迹是以(3,2)为圆心,半径为6的圆.
14.解:(1)由题可知,圆M的圆心为M(0,2),半径为r=1.设P(-2b,b),
因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90°,
则四边形PAMB的面积为r×|PA|=,于是|PA|=,
所以|MP|===2,解得b=0或b=,
所以点P的坐标为(0,0)或.
(2)设P(-2b,b),因为∠MAP=90°,所以经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
其方程为(x+b)2+=,即(2x-y+2)b+(x2+y2-2y)=0.
由解得或所以圆N过定点(0,2),.滚动习题(四) [范围2.3]
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·江苏苏州高二期中] 已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),D(m,-1)四点共圆,则实数m的值为 (　 )
A.±1 B.+1
C.-1 D.1±
2.[2024·山东泰安高二期末] 已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,若当k的值发生变化时,直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2,则实数m的值为 (　 )
A.± B.±
C.±1 D.±
3.已知直线l:x+y+m=0,圆C:x2+y2-4x=0,若在直线l上存在一点P,使得过点P作圆的切线PA,PB(点A,B为切点),满足∠APB=60°,则m的取值范围为 (　 )
A.[-2,2]
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4-2,4-2]
4.过点P(a,b)作圆x2+y2=1的切线PA,A为切点,|PA|=1,则a+3b的最大值是 (　 )
A. B.
C.2 D.2
5.方程|x|(|x|-2)+|y|(|y|-2)=0(x,y不同时为0)表示的曲线的长度为 (　 )
A.2π B.4π
C.6π D.4+4π
★6.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1,P是直线x-y-1=0上的一点,过点P作圆C的切线,切点分别为A,B,则|PC|·|AB|的最小值为 (　 )
A. B.2
C.3 D.
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2025·湖北宜昌高二期中] 已知圆C1:(x-3)2+y2=1,圆C2:x2+(y-a)2=16,则下列结论正确的是 (　 )
A.若圆C1和圆C2外离,则a>2或a<-2
B.若圆C1和圆C2外切,则a=±4
C.当a=2时,圆C1和圆C2内含
D.当a=0时,有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切
8.已知圆C:x2+y2=4,直线l:(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R),则下列结论正确的有 (　 )
A.直线l过定点(3,3)
B.当m=0时,圆C上有且仅有三个点到直线l的距离等于1
C.若圆C与圆x2+y2-6x-8y+m=0(m<25)恰有三条公切线,则m=16
D.当m=13时,直线l上的一个动点P向圆C引两条切线PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB过定点
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知圆x2+y2=a,直线l:y=x-2,圆上恰有一个点到直线l的距离等于1,则a的值为　　　　.
10.经过点P(-3,-1)且斜率为k的直线l与圆C:(x+1)2+(y-2)2=14相交于A,B两点,若|AB|=2,则k的值为　　　　.
11.已知动点A,B分别在圆C1:x2+(y-2)2=1和圆C2:(x-4)2+y2=4上,动点P在直线x+y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B分别为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
13.(15分)[2025·贵州贵阳高二月考] 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,点P(0,2).
(1)若AB为过点P的弦且AB所在直线l1与直线l2:x-2y-1=0垂直,求弦AB的长;
(2)若M是圆外的一个动点,连接PM与圆C交于点N,且满足点N为线段PM的三等分点(靠近点P),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么图形.
14.(15分)[2025·四川宜宾高二期中] 已知圆M:x2+(y-2)2=1,点P是直线l:x+2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当四边形PAMB的面积为时,求点P的坐标.
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P运动时,圆N是否过定点 若是,求出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.(共29张PPT)
滚动习题（四）
范围2.3
（时间:45分钟 分值:100分）
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.［2024·江苏苏州高二期中］已知,,,
四点共圆，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设过,,， 四点的圆的方程为
,
将,, 的坐标代入可得解得
所以圆的方程为，
将 的坐标代入圆的方程得，解得 .故选D.
2.［2024·山东泰安高二期末］已知圆 ，直线
，若当的值发生变化时，直线被圆 所截得的弦长的
最小值为，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，圆的圆心为原点，半径为2，直线交 轴于
点.
当直线与垂直时，，原点到直线的距离 取得最大值，
即.
因为直线被圆 所截得的弦长的最小值为，所以，
解得 .故选C.
√
3.已知直线，圆，若在直线 上存
在一点，使得过点作圆的切线，（点， 为切点），满足
，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 圆的圆心为，半径为 .
连接，，则， ，
，，.
由题知点到直线 的距离，，
解得 .故选D.
√
4.过点作圆的切线，为切点， ，则
的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为，半径为.
若与圆 相切于点，则，可得 ，
即.
设，则，可得 ，
整理得，所以 ，
解得.
当，时，取得最大值 ，即的最大值是 .故选C.
√
5.方程，不同时为0 表示的曲线的
长度为( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得曲线不包括原点.当, 时，原方程可化为
，即，表示以 为
圆心， 为半径的圆在第一象限且与坐标轴的交点（不包括原点）部分；
当,时，原方程可化为 ，
即，表示以为圆心， 为半径的圆在第
四象限且与坐标轴的交点（不包括原点）部分；
√
当,时，原方程可化为 ，即
，表示以为圆心， 为半径的圆在第
二象限且与坐标轴的交点（不包括原点）部分；
当, 时，原方程可化为，
即 ，表示以为圆心， 为半径的圆在
第三象限且与坐标轴的交点（不包括原点）部分.
综上所述，原曲线由4个半圆组成，故曲线的长度为
故选B.
★6.已知圆，是直线 上的
一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则 的最小
值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为，半径 .
设四边形的面积为 ，由题设及圆的切线性质得
， ，
，
圆心到直线的距离，
的最小值为，
的最小值为 .故选A.
［技巧点拨］ 与圆的切线长有关的最值问题，可以尝试应用点到直
线的距离最小进行解决.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.［2025·湖北宜昌高二期中］已知圆 ，圆
，则下列结论正确的是( )
A.若圆和圆外离，则或
B.若圆和圆外切，则
C.当时，圆和圆 内含
D.当时，有且仅有一条直线与圆和圆 均相切
√
√
[解析] 由题知圆与圆的圆心分别为， ，半径分别
为，，.
对于A，若圆和圆 外离，则，
解得或 ，故A错误；
对于B，若圆和圆外切，则 ，解得
，故B正确；
对于C，当 时，，
则圆和圆 相交，故C错误；
对于D，当 时，，则圆和圆 内切，
有且只有一条公切线，故D正确.故选 .
8.已知圆 ，直线
，则下列结论正确的有
( )
A.直线过定点
B.当时，圆上有且仅有三个点到直线 的距离等于1
C.若圆与圆 恰有三条公切线，
则
D.当时，直线上的一个动点向圆引两条切线， ，其
中，为切点，则直线过定点
√
√
[解析] 对于A，由 ，得
，由解得
所以直线过定点 ，故A错误;
对于B，当时，直线，圆心到直线 的距离
为，又圆的半径为2，所以直线与圆 相交，又
，所以圆上有四个点到直线 的距离等于1，故B错误；
对于C， ，整理得
，其圆心为，半径为 ，
由题可知，解得 ，故C正确；
对于D，当时，，设，以 为直径的
圆的方程为，与圆的方程相减得直线 的
方程为，因为点在直线上，所以 ，
即，所以直线的方程为 ，
即，由得故直线 过
定点，故D正确.故选 .
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线
的距离等于1，则 的值为___.
1
[解析] 由已知得，则圆的圆心为,半径 .
由题可知圆心到直线的距离 ，可得
.
10.经过点且斜率为的直线 与圆
相交于，两点，若，则
的值为_ _______.
或0
[解析] 设直线的方程为 .由已知条件得圆
的圆心为，半径为 ，
则圆心到直线的距离，即圆心 到直线
的距离，解得或 .
11.已知动点,分别在圆 和圆
上，动点在直线 上，则
的最小值是_________.
[解析] 根据题意知，圆的圆心为 ，半径
，圆的圆心为，半径.
设圆 与圆关于直线对称，其圆心 的
坐标为,则有解得即 ，
则 ，当为线段与直线 的交点
时，取得最小值，则 的最小值为
.
四、解答题：本大题共3小题,共43分.
12.（13分）已知圆过,两点，且圆心 在直线
上.
（1）求圆 的方程；
解：设圆的方程为 ，
根据题意得 解得
故圆的方程为 .
（2）设点是直线上的动点，,是圆 的两条
切线，,分别为切点，求四边形 面积的最小值.
12.（13分）已知圆过,两点，且圆心 在直线
上.
解：连接，易知四边形 的面积
，
又，，所以 .
因为 ,所以 .
要求的最小值，只需求 的最小值，因为 ，
所以 .
13.（15分）［2025·贵州贵阳高二月考］ 已知圆
，点 .
（1）若为过点的弦且所在直线与直线 垂
直，求弦 的长；
解：由题意设直线的方程为 ，
则，解得，即 .
圆心到直线的距离 ，
.
（2）若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点
为线段的三等分点靠近点，求动点 的轨迹方程，并说明它
是什么图形.
13.（15分）［2025·贵州贵阳高二月考］ 已知圆
，点 .
点在圆上， ，则
，化简得 ,
故点的轨迹方程为，轨迹是以 为圆
心，半径为6的圆.
解：设,，由题得 ，
即 ，
则则
14.（15分）［2025·四川宜宾高二期中］ 已知圆
，点是直线 上的一个动点，过点
作圆的切线，，切点分别为， .
（1）当四边形的面积为时，求点 的坐标.
解：由题可知，圆的圆心为,半径为.设 ，
因为是圆的一条切线，所以 ，
则四边形的面积为，于是 ，
所以 ，解得
或 ，所以点的坐标为或 .
（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆 是否过定
点？若是，求出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
14.（15分）［2025·四川宜宾高二期中］ 已知圆
，点是直线 上的一个动点，过点
作圆的切线，，切点分别为， .
解：设，因为 ，所以经过，，三点的圆以
为直径，其方程为 ，
即 .
由解得或
所以圆过定点， .
快速核答案（练习册）
一、单项选择题
1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A
二、多项选择题
7.BD 8.CD
三、填空题
9.1 10.或0 11.
四、解答题
12.（1）>
13.（1）（2）点的轨迹方程为，
轨迹是以为圆心，半径为6的圆
14.（1）>或（2）圆过定点，

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