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滚动习题(五) [范围2.4~2.7]
1.B　[解析] 由焦点坐标知焦点在y轴上,所以m<0,则该双曲线的标准方程为-=1.由a2+b2=c2可得-m-3m=4,所以m=-1.故选B.
2.B　[解析] 由焦点坐标可知=3,由抛物线定义可知|PF|=2+=5.故选B.
3.D　[解析] 对于A,用-y替换方程中的y,得x2-xy+2y2=4,方程发生变化,即曲线关于x轴不对称,故A错误;对于B,用-x替换方程中的x,得x2-xy+2y2=4,方程发生变化,即曲线不关于y轴对称,故B错误;对于C,用x替换y,y替换x,得2x2+xy+y2=4,方程发生变化,即曲线不关于直线y=x对称,故C错误;对于D,用-x替换x,-y替换y得x2+xy+2y2=4,方程没有发生变化,因此曲线关于原点对称,故D正确.故选D.
4.B　[解析] 椭圆C:+=1的长轴长2a=14,焦距2c=2=10,则|PF1|+|PF2|=2a=14,由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=100,可得|PF1||PF2|=48.设△PF1F2的内切圆的半径为r,由=(2a+2c)r=|PF1||PF2|,得(14+10)r=48,解得r=2.故选B.
5.D　[解析] 由抛物线方程得F(1,0),准线l的方程为x=-1,点P是l上一点,设P(-1,t),Q(x0,y0),则=(-2,t),=(x0-1,y0).因为=4,所以-2=4(x0-1),解得x0=,又Q是直线PF与C的一个交点,所以|FQ|=x0+1=.故选D.
6.D　[解析] 因为△ABF1的周长为4a,|AF1|=|AF2|=a,5|AB|=4|F1B|,所以|AB|=a,|F1B|=a,|BF2|=.又cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,所以+=0,得2c2=a2,则=,所以椭圆C的离心率为.故选D.
7.ABD　[解析] 由椭圆方程知a=5,b=3,c=4,则|PF2|∈[a-c,a+c]=[1,9],故A正确;cos∠F1PF2===-1,因为|PF1||PF2|≤=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时等号成立,所以cos∠F1PF2≥-,故B正确;+==≥,故C错误;若∠F1PF2=60°,则cos∠F1PF2=-1=,可得|PF1||PF2|=12,所以△F1PF2的面积为|PF1||PF2|sin 60°=3,故D正确.故选ABD.
8.BC　[解析] 取a=b=1,则曲线C:x2+y2=2x+y,即(x-1)2+=,此时曲线C是一个圆,故A错误.取a=b=0,则曲线C的方程为x=0,是一条直线,故B正确.当a=0且b(b+1)≠0时,曲线C的方程为y2=x,曲线C为抛物线,则曲线C的准线方程是x=-,故C正确.当a≠0,b=0时,曲线C的方程为ax2=x+ay,即y=x2-x=-,则曲线C关于直线x=对称,故D错误.故选BC.
9.16　[解析] 由题得c=,由椭圆的方程为+=1,可得a2=9+c2=16,则a=4,所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=16.
10.+1　[解析] 因为△PF1Q为正三角形,且OQ⊥F1P,P,Q关于x轴对称,所以|OQ|=|OP|=|OF1|=c,且∠PF1O=30°,所以|PF1|=2c·cos 30°=c.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|===c,
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a,则c-c=2a,所以双曲线C的离心率e===+1.
11.　[解析] 设P(x,y),由抛物线的方程为x2=4y,得焦点F(0,1),准线l:y=-1,点E(0,-1)为准线与y轴的交点,过点P作PQ⊥l于点Q,则|PQ|=|PF|=y+1,|PE|==,则====≤=,当且仅当y=,即y=1时取等号,所以的最大值为.
12.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
由e=,得=①,由点P(3,-)在双曲线上,得-=1②,
由a2+b2=c2,结合①②,得a2=1,b2=,∴双曲线的方程为x2-=1.
若双曲线的焦点在y轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
∴=,-=1,a2+b2=c2,解得b2=-(不合题意).
故所求双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
由题意知,|F1F2|=2c,e==2,由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c,
由余弦定理,得(2c)2=+-2·|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|(1-cos∠F1PF2),∴4c2=c2+|PF1|·|PF2|,又=·|PF1|·|PF2|·sin 60°=12,
∴|PF1|·|PF2|=48,∴3c2=48,∴a2=4,b2=12.故所求双曲线的标准方程为-=1.
13.解:(1)因为椭圆E的焦点为A(0,-1),B(0,1),在y轴上,所以椭圆E的方程可设为+=1(a>b>0).
依题意得a=2,c=1,则b==,所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)设M(x0,y0),显然y0≠±2,由(1)知+=1,即=3-,
由P(0,t),H(0,2),得=(-x0,t-y0),=(-x0,2-y0),由MP⊥MH,得·=0,
则+(t-y0)(2-y0)=0,即3-+(t-y0)(2-y0)=0,整理得t(2-y0)=-+2y0-3,
又y0≠2,所以t=y0-,又-214.解:(1)证明:由抛物线y2=2px(p>0),可得其焦点坐标为,
由题意可设直线AB的方程为x=my+,
由消去x得y2-2pmy-p2=0,
因为直线与抛物线有A,B两个交点,所以y1y2=-p2,
因为=2px1,=2px2,所以=4p2x1x2,所以x1x2===.
(2)若方程+=1表示双曲线,则(9-m)(4-m)<0,解得4若该方程表示焦点在x轴上的双曲线,则双曲线的半焦距c==,
若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,则双曲线的半焦距c==,不存在,
所以该方程表示的双曲线有共同的焦点,并且焦点在x轴上.
(3)根据题意,设A(a,0)(a>0),B(0,0),P(x,y).
由=λ,得|PA|=λ|PB|,
即(x-a)2+y2=λ2(x2+y2),即(1-λ2)x2+(1-λ2)y2-2ax+a2=0①,
则点P的轨迹方程为(1-λ2)x2+(1-λ2)y2-2ax+a2=0.
当λ=1时,轨迹方程为-2ax+a2=0,即x=,此时轨迹方程表示线段AB的垂直平分线;
当λ≠1时,①式可化为x2+y2-+=0,
即+y2=,此时轨迹方程表示圆.滚动习题(五) [范围2.4~2.7]
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知双曲线-=1的一个焦点坐标是(0,2),则实数m的值是 (　 )
A.1 B.-1
C.- D.
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(3,0),P(2,t)是抛物线C上一点,则|PF|= (　 )
A.4 B.5
C.6 D.7
3.[2024·上海大同中学高二期中] 关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线,下列说法正确的是 (　 )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点中心对称
4.[2025·江苏南京高二期末] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,PF1⊥PF2,则△PF1F2的内切圆的半径为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.5
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|FQ|= (　 )
A.4 B. C.2 D.
6.[2025·广西南宁高二期中] 已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B,若5|AB|=4|F1B|,则椭圆C的离心率为 (　 )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A,B分别为椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有 (　 )
A.|PF2|∈[1,9]
B.cos∠F1PF2的最小值为-
C.+的最小值为
D.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为3
8.[2025·山西晋城高二期末] 已知曲线C:ax2+by2=(b+1)x+ay(a,b∈R),则 (　 )
A.曲线C不可能是一个圆
B.曲线C可能为一条直线
C.当a=0且b(b+1)≠0时,曲线C的准线方程为x=-
D.当a≠0,b=0时,曲线C关于直线x=-对称
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知焦点为F1,F2的椭圆的方程为+=1(a>3),且|F1F2|=2,过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为　　　　.
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,O为坐标原点,若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q,使得△PF1Q为正三角形,且OQ⊥F1P,则双曲线C的离心率为　　　　.
11.[2025·山东济南高二期中] 已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P为该抛物线上的动点,点E(0,-1),则的最大值为　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-),离心率e=;
(2)F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,=12,且离心率为2.
13.(15分)已知椭圆E的中心在坐标原点O,两个焦点分别为A(0,-1),B(0,1),一个顶点为H(0,2).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)对于y轴上的点P(0,t),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,求实数t的取值范围.
14.(15分)[2025·甘肃酒泉高二期末] (1)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=-p2,x1x2=.
(2)若方程+=1表示双曲线,求m的取值范围,并说明该方程表示的双曲线有共同的焦点.
(3)求到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0)的点P的轨迹方程,并指出轨迹方程表示什么曲线.(共29张PPT)
滚动习题（五）
范围
一、单项选择题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.已知双曲线的一个焦点坐标是，则实数 的值是( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由焦点坐标知焦点在轴上，所以 ，则该双曲线的标准
方程为.
由可得 ，所以 .故选B.
2.已知抛物线的焦点为,是抛物线 上
一点，则 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由焦点坐标可知，由抛物线定义可知 .
故选B.
√
3.［2024·上海大同中学高二期中］关于方程 所表
示的曲线，下列说法正确的是( )
A.关于轴对称 B.关于 轴对称
C.关于直线 对称 D.关于原点中心对称
√
[解析] 对于A，用替换方程中的，得 ，方程
发生变化，即曲线关于轴不对称，故A错误；
对于B，用 替换方程中的，得，方程发生变化，
即曲线不关于 轴对称，故B错误；
对于C，用替换，替换，得 ，方程发生变化，
即曲线不关于直线 对称，故C错误；
对于D，用替换,替换得 ，方程没有发生变
化，因此曲线关于原点对称，故D正确.故选D.
4.［2025·江苏南京高二期末］已知椭圆 的左、右焦点
分别为，，点在上，，则 的内切圆的半径
为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
√
[解析] 椭圆的长轴长 ，焦距
，则，
由 ，得，可得.
设 的内切圆的半径为，由
，得，解得 .故选B.
5.已知抛物线的焦点为，准线为,是上一点， 是直线
与的一个交点，若，则 ( )
A.4 B. C.2 D.
[解析] 由抛物线方程得，准线的方程为，点是 上一
点，设,，则, .
因为，所以，解得，
又是直线与 的一个交点，所以 .故选D.
√
6.［2025·广西南宁高二期中］已知椭圆的左、右焦点分别为, ，
过上顶点作直线交椭圆于另一点，若 ，则椭圆
的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为的周长为， ，
，所以,， .
又，所以 ，得
，则，所以椭圆的离心率为 .故选D.
√
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.已知椭圆,,分别为椭圆的左、右焦点，, 分别为
椭圆的左、右顶点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有
( )
A.
B.的最小值为
C.的最小值为
D.若 ，则的面积为
√
√
√
[解析] 由椭圆方程知,, ，则
，故A正确；
,因为，当且仅当 时等号成立，所以 ，故B正确；
，故C错误；
若 ，则，可得
，所以的面积为，故D正确.
故选 .
8.［2025·山西晋城高二期末］已知曲线
，则( )
A.曲线 不可能是一个圆
B.曲线 可能为一条直线
C.当且时，曲线的准线方程为
D.当,时，曲线关于直线 对称
√
√
[解析] 取，则曲线 ，即
，此时曲线是一个圆，故A错误.
取 ，则曲线的方程为，是一条直线，故B正确.
当 且时，曲线的方程为，曲线 为抛物
线，则曲线的准线方程是，故C正确.
当,时，曲线 的方程为，即
，则曲线 关于直线对称，故D错误.故选 .
三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知焦点为,的椭圆的方程为 ,且
，过椭圆左焦点的直线交椭圆于,两点，则
的周长为____.
16
[解析] 由题得，由椭圆的方程为 ，可得
，则，
所以 的周长为
.
10.已知双曲线的左焦点为, 为坐标原
点，若在的右支上存在关于轴对称的两点,，使得 为正
三角形，且，则双曲线 的离心率为_______.
[解析] 因为为正三角形，且，,关于 轴对称，
所以，且 ，所以
.
在中，由余弦定理得 ，
由双曲线定义得，则，所以双曲线 的离心率 .
11.［2025·山东济南高二期中］已知抛物线的焦点为，点
为该抛物线上的动点，点，则 的最大值为____.
[解析] 设，由抛物线的方程为，得焦点 ，准线
，点为准线与轴的交点，过点作于点 ，
则， ，
则 ，当且仅当，即时取等号,所以的最大值为 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.（13分）根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
（1）过点，离心率 ；
解：若双曲线的焦点在 轴上，
则设双曲线的方程为 .
由，得 ，
由点在双曲线上，得 ，
由，结合①②，得，， 双曲线的方程为
.
若双曲线的焦点在 轴上，则设双曲线的方程为
.
，， ，
解得 （不合题意）.
故所求双曲线的标准方程为 .
12.（13分）根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
（2），分别是双曲线的左、右焦点， 是双曲线上一点，且
， ，且离心率为2.
解：设双曲线的标准方程为 ，
由题意知，， ，
由双曲线的定义，得 ，
由余弦定理，得
，
，
又 ，
，，， .
故所求双曲线的标准方程为 .
13.（15分）已知椭圆的中心在坐标原点 ，两个焦点分别为
，，一个顶点为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：因为椭圆的焦点为，，在轴上，所以椭圆 的
方程可设为 .
依题意得，，则 ，
所以椭圆的标准方程为 .
13.（15分）已知椭圆的中心在坐标原点 ，两个焦点分别为
，，一个顶点为 .
（2）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得 ，
求实数 的取值范围.
解：设，显然，
由（1）知 ，即 ，
由,，得, ,
由，得 ，
则，即 ，整
理得 ,
又，所以 ，
又，所以 ，
故实数的取值范围为 .
14.（15分）［2025·甘肃酒泉高二期末］
（1）已知过抛物线的焦点 的直线交抛物线于
,两点，求证：, .
证明：由抛物线，可得其焦点坐标为 ，
由题意可设直线的方程为 ，
由消去得 ，
因为直线与抛物线有，两个交点，所以 ，
因为,，所以 ，所以
.
（2）若方程表示双曲线，求 的取值范围，并说明该
方程表示的双曲线有共同的焦点.
解：若方程表示双曲线，则 ，解
得，所以的取值范围为 .
若该方程表示焦点在 轴上的双曲线，则双曲线的半焦距
，
若该方程表示焦点在 轴上的双曲线，则双曲线的半焦距
，不存在，
所以该方程表示的双曲线有共同的焦点，并且焦点在 轴上.
（3）求到两个定点，的距离之比为定值的点 的轨迹方
程，并指出轨迹方程表示什么曲线.
解：根据题意，设,， .
由 ，得 ,
即 ，即
，
则点的轨迹方程为 .
当时，轨迹方程为，即 ，此时轨迹方程表
示线段 的垂直平分线；
当时，①式可化为 ，
即 ，此时轨迹方程表示圆.
快速核答案
一、1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D
二、7.ABD 8.BC
三、9.16 10. 11.
四、12.（1）（2）
13.（1）（2）
14.（1）证明略（2）的取值范围为，说明略（3）当时，轨迹方程
为，即，此时轨迹方程表示线段的垂直平分线；
当时，①式可化为，即，
此时轨迹方程表示圆.

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