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阶段素养测评卷(二)
1.C　[解析] 由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),因为=4,所以p=8,故抛物线的方程为y2=16x.故选C.
2.D　[解析] 由双曲线-=1(m>0),得a=2,b=,所以c=,由双曲线的离心率为,得==,解得m=5,所以双曲线的方程为-=1,则其渐近线的方程为y=±x=±x=±x.故选D.
3.D　[解析] 如图,过点E作EF⊥x轴,垂足为F.由题意可得=,=,即=,=,化简得=,所以=1-=,则|EF|=.故选D.
4.C　[解析] 由题意知,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则||=x1+1,||=x2+1,||=x3+1,所以||+||+||=x1+x2+x3+3,因为++=0,所以x1-1+x2-1+x3-1=0,所以x1+x2+x3=3,所以||+||+||=6.故选C.
5.A　[解析] 设椭圆方程为+=1(a>b>0),易知直线AB的斜率为kAB=kFM==.设A(x1,y1),B(x2,y2),则M,所以x1+x2=1,y1+y2=-1.易知两式相减可得=-=-=-1,即=1,可得a2=3b2,又c=2,所以a2-b2=3b2-b2=c2=4,所以b2=2,a2=6,所以椭圆C的方程为+=1.故选A.
6.A　[解析] 因为|OF1|=|OF2|,|OM|=|OF2|,所以∠F1MF2=90°.由=,可设|MF1|=3m(m>0),则|MF2|=2m,所以(3m)2+(2m)2=4c2,可得m=c,所以|MF1|=c,|MF2|=c,又2a=|MF1|-|MF2|=c,所以双曲线C的离心率e==.故选A.
7.B　[解析] 方法一:由题知点F(4,0)在直线x-my-4=0上.设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AF|=x1+4,|BF|=x2+4.由得x2-(16m2+8)x+16=0,由根与系数的关系得x1x2=16,所以|AF|+4|BF|=x1+4+4(x2+4)=x1+4x2+20≥2+20=36,当且仅当x1=4x2时取等号,所以|AF|+4|BF|的最小值为36.故选B.
方法二:由题知点F(4,0)在直线x-my-4=0上,所以+==,所以+=1,所以|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)=4+++16≥20+2=36,当且仅当|AF|=2|BF|时取等号,所以|AF|+4|BF|的最小值为36.故选B.
8.C　[解析] 由题知,a=,b=1.当点A,B分别是长、短轴的一个端点时,OA⊥OB,此时|OA|·|OB|=.当点A,B不是长、短轴的端点时,设lOA:y=kx(k≠0),由得(1+2k2)x2=2,所以=,=,将k换成-,得=,=,所以|OA|2·|OB|2=(+)(+)====2-.因为2k2++5≥2+5=9,当且仅当2k2=,即k2=1时等号成立,所以≤2-<2,所以≤|OA|·|OB|<.综上可知,≤|OA|·|OB|≤,所以|OA|·|OB|的最小值为.故选C.
9.BC　[解析] 当m≠2且m≠5时,方程C为+=1.若=,即m=,则方程C表示圆,故A错误.当m>5时,>0,<0,方程C表示焦点在x轴上的双曲线,故B正确.当m=2时,方程C为y2=,表示两条直线;当m=5时,方程C为x2=,表示两条直线.故C正确.方程C不可能表示抛物线,故D错误.故选BC.
10.BD　[解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,因为直线AB过点F且与x轴垂直,所以点A,B的横坐标均为,不妨设A,B,结合三角形OAB的对称性可知,∠OAD=,所以|AF|2=|OF||DF|,即p2=,可得p=2.四边形OADB的面积为|AB||OD|=×4×5=10.故选BD.
11.CD　[解析] 由题意可知直线AM的方程为y-2=(x-),令y=0,得x=-3,所以a=3,又椭圆C过点M(,2),所以+=1,解得b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.对于A,c=,则椭圆C的离心率为=,故A错误;对于B,设点P的坐标为(x0,y0),则+=1,因为|AP|>,所以(x0+3)2+>15,所以(x0+3)2+6->15,又-3≤x0≤3,所以012.2　[解析] 如图,由题知点P(1,2)在抛物线C:y2=4x上,则过点P(1,2)与抛物线C只有一个交点的直线共有两条,其中一条是与抛物线对称轴平行的直线y=2,另一条是以点P(1,2)为切点的抛物线的切线.
13.(1,]　[解析] 设椭圆的上顶点为A,因为椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2,所以∠F1AF2≥90°,所以∠F1AO≥45°(O为坐标原点),所以椭圆的半焦距c≥2,所以a2≥22+4=8,所以==1+≤2,又e双>1,所以e双∈(1,].
14.　[解析] 因为双曲线C是“优美双曲线”,所以双曲线C的同一支上存在两点A,B,使得△OAB为等边三角形,不妨设A,B均在双曲线C的右支上.由双曲线的对称性可得∠AOx=∠BOx=30°,所以>tan 30°=,所以双曲线C的离心率e=>=,所以双曲线C的离心率的取值范围是.
15.解:(1)设P(x,y),则kPA=(x≠2),kPB=(x≠-2),
由kPA·kPB=-得·=-,整理得+=1(x≠±2).
故点P的轨迹方程为+=1(x≠±2).
(2)由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆,其中a=2,b=,c==1,
故点F(-1,0)为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F'(1,0).
因为+=<1,所以点Q在椭圆内,
由椭圆的定义得|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF'|≤|QF'|+2a=1+4=5,
当P,Q,F'三点共线(F'在线段PQ上)时取等号,所以|PQ|+|PF|的最大值为5.
16.解:(1)易知抛物线C的准线方程为x=-.因为点A(3,y0)在抛物线C上,且|AF|=4,所以|AF|=3+=4,解得p=2,则抛物线C的方程为y2=4x.
(2)若直线l⊥y轴,则直线l与抛物线C有且只有一个交点,不符合题意.
设直线l的方程为x=my+2,设点M(x1,y1),N(x2,y2),
由整理得y2-4my-8=0,则Δ=16m2+32>0,
由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-8.
因为=(x1+1,y1+1)=(my1+3,y1+1),=(x2+1,y2+1)=(my2+3,y2+1),所以·=(my1+3)(my2+3)+(y1+1)(y2+1)=1,
即(m2+1)y1y2+(3m+1)(y1+y2)+9=0,即-8(m2+1)+4m(3m+1)+9=0,
即4m2+4m+1=0,解得m=-,
因此,直线l的方程为x=-y+2,即y=-2x+4.
17.解:(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
当直线l的斜率存在时,设过点(0,1)的直线l的方程为y=kx+1,由得k2x2+(2k-4)x+1=0,因为直线l与抛物线相切,所以Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,与抛物线C相切.故过点(0,1)与抛物线C相切的直线的方程为y=x+1或x=0
(2)证明:直线l不与x轴垂直,则直线l的方程为y=x+1.
由得E(1,2),设F.
由=,得Q为线段EF的中点,则Q,因为QP⊥y轴,且直线QP与抛物线C和直线l分别交于M,N两点,所以
由得N,由得M,
又=,所以M为线段NQ的中点,所以|QM|=|MN|.
18.解:(1)由题意知=,所以a2=2c2,所以b2=c2,
又+=1,所以b2=1,a2=2,故椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)证明:设P(2,t),由(1)知F(1,0).当直线AB的斜率不存在时,其方程为x=1,可设A(1,y),则B(1,-y),所以kPA+kPB=+=2t,kPF==t,所以kPA+kPB=2kPF.
当直线AB的斜率存在时,其方程可设为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=,
所以kPA+kPB=+=t-,
因为+====2,所以+=k=k=k=0,所以kPA+kPB=2t,又因为kPF==t,所以kPA+kPB=2kPF.
综上可知,2kPF=kPA+kPB.
19.解:(1)依题意得,当PQ⊥x轴时,|PQ|取得最小值,不妨设此时P(c,y),
则-=1,解得y=±,所以=6,即b2=3a,由=2,得c=2a.
由可得所以双曲线的方程为x2-=1.
(2)由(1)得F2(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+2,
因为双曲线的渐近线方程为y=±x,且直线PQ与双曲线的右支交于P,Q两点,所以>3,即>3,即0≤m2<.
由得(3m2-1)y2+12my+9=0,所以y1+y2=-,y1y2=,所以=|F1F2||y1-y2|=2=.
设t=,t∈,则==,令y=-3t,t∈,易得y=-3t在上单调递减,所以y=-3t≤-3×1=1,所以≥12.故△F1PQ的面积的最小值为12.阶段素养测评卷(二)
第二章2.4~2.8
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点为(4,0),那么该抛物线的方程为 (　　)
A.y2=-16x B.y2=12x
C.y2=16x D.y2=-12x
2.已知双曲线-=1(m>0)的离心率为,则其渐近线的方程为 (　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
3.[2025·辽宁辽阳高二期末] 已知A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,D为C的上顶点,O为坐标原点,E为C上一点,且位于第二象限,直线AE,BE分别与y轴交于点H,G.若D为线段OH的中点,G为线段OD的中点,则点E到x轴的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知△ABC的顶点均在抛物线C:y2=4x上,F为抛物线C的焦点,若++=0,则||+||+||= (　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
5.[2024·云南玉溪高二期末] 已知椭圆C的中心为坐标原点,一个焦点为F(2,0),过F的直线l与椭圆C交于A,B两点.若线段AB的中点为M,则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M是双曲线右支上一点,|OM|=|OF2|(O为坐标原点),且=,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
7.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,直线x-my-4=0(m∈R)与抛物线C交于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值是 (　　)
A.40 B.36 C.28 D.24
8.已知点A,B为椭圆+y2=1上的两点,且OA⊥OB,其中O为坐标原点,则|OA|·|OB|的最小值为 (　　)
A. B.2 C. D.3
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·河南洛阳高二期中] 已知方程C:(m-2)x2+(5-m)y2=1,则 (　　)
A.当2B.当m>5时,方程C表示焦点在x轴上的双曲线
C.存在m,使得方程C表示两条直线
D.存在m,使得方程C表示抛物线
10.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作直线l与x轴垂直,且交抛物线C于A,B两点,若△OAB的外接圆与x轴的一个交点为D(5,0),则 (　　)
A.p=1
B.p=2
C.四边形OADB的面积为5
D.四边形OADB的面积为10
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,点M(,2)在椭圆C上,且直线AM的斜率为,点P为椭圆C上的动点,则 (　　)
A.椭圆C的离心率为
B.若|AP|>,则点P的横坐标的取值范围是(-1,3)
C.·的取值范围为[3,6]
D.椭圆C上有且只有4个点P,使得△PF1F2是直角三角形
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2025·陕西汉中二中高二期中] 已知抛物线C:y2=4x,若过点P(1,2)的直线与抛物线C只有一个交点,则这样的直线有　　　　条.
13.已知椭圆C:+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2,则双曲线Γ:-=1的离心率的取值范围是　　　　.
14.[2024·广东揭阳高二期末] 若双曲线的同一支上存在两点A,B,使得△OAB(O为坐标原点)为等边三角形,则称双曲线为“优美双曲线”.已知双曲线C是“优美双曲线”,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知动点P与两定点A(2,0),B(-2,0)连线的斜率之积为-,点F(-1,0),点Q(1,1).
(1)求点P的轨迹方程;
(2)求|PQ|+|PF|的最大值.
16.(15分)[2025·重庆高二月考] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,y0)在抛物线C上,且|AF|=4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点T(2,0)的直线l与抛物线C交于M,N两点,若点B(-1,-1)满足·=1,求直线l的方程.
17.(15分)[2025·吉林长春高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2,过点(0,1)的直线l与抛物线C相切,切点为E,点F为抛物线C上的点.
(1)求直线l的方程;
(2)如图,若直线l不与x轴垂直,点P在y轴上,QP⊥y轴,交EF于点Q,且=,若直线QP与抛物线C和直线l分别交于M,N两点,求证:|QM|=|MN|.
18.(17分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,M是椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,P是直线x=2上任意一点,证明:2kPF=kPA+kPB.
19.(17分)已知O为坐标原点,双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点F2的直线与双曲线的右支交于P,Q两点,且|PQ|的最小值为6.
(1)求双曲线的方程;
(2)求△F1PQ的面积的最小值.

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