资源简介

模块素养测评卷
1.D　[解析] 依题意得×=-1,解得a=-4.故选D.
2.B　[解析] 由题意可得该四棱锥的高h====2.故选B.
3.C　[解析] 椭圆x2+my2=1的标准方程为x2+=1.由;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=,b2=1,则04.D　[解析] 由题意知,△PBA∽△PDC,所以==,在平面α内,以AC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y),A(a,0),C(-a,0),则==,整理可得点P的轨迹方程是5x2+5y2+26ax+5a2=0,所以点P的轨迹为圆.故选D.
5.A　[解析] 易知直线AB的方程为y=-x+5.设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P1(a,b),则解得所以P1(5,4).易知点P(1,0)关于y轴的对称点为P2(-1,0),由光的反射规律以及几何关系可知,光线所经过的路程长为|P1P2|==2.故选A.
6.A　[解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则O(1,1,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),设=t,t∈[0,1],所以P(2t,2t,2),所以=(2t-1,2t-1,2),=(-2,0,2),=(0,2,2).设平面B1AD1的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,-1,1),所以sin θ=|cos<,n>|===.令f(t)=6(2t-1)2+12,t∈[0,1],则f(t)min=f=12,f(t)max=f(0)=f(1)=18,所以sin θ∈,所以sin θ的取值范围为.故选A.
7.B　[解析] 由得则A,所以|AB|=|AF2|+|F2B|=+1=.显然当点P在半圆F1:(x+1)2+y2=1(y≥0)上且PF1⊥AB时,△PAB的面积最大.因为点F1(-1,0)到直线AB:3x-4y-3=0的距离d==,所以点P到直线AB的距离h≤d+|PF1|=+1=,所以S△PAB≤××=.故选B.
8.B　[解析] 将x=c代入双曲线的方程,可得y=±b=±,则点A的坐标为.因为|F2Q|>|F2A|,所以>,即3a2>2b2=2(c2-a2),所以e=<①.因为|PF1|+|PQ|>|F1F2|恒成立,所以2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立,当F2,P,Q三点共线且点P在F2,Q之间时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=,所以3c<2a+,所以e=<②.由e>1,结合①②可得e的取值范围是.故选B.
9.ACD　[解析] 由D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),得=(1,-1,-1),=(0,1,-1),=(-1,-1,0).·=0,故A正确;∵cos<,>===-,且<,>∈[0,π],∴与的夹角为,故B错误;设平面PDM的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则n=(2,1,1),故C正确;设点N到平面PDM的距离为d,则d==,故D正确.故选ACD.
10.AC　[解析] 因为AB所在直线的斜率为k(k>0),AB⊥CD,所以kCD=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),易知AB所在直线的方程为y=k,由消去y得k2x2-p(k2+2)x+k2p2=0,所以x1x2=p2,x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+p=,同理可得|CD|==2p(1+k2).对于A,+=+=,故A正确;对于B,若|AF|·|BF|=p2,则=x1x2+(x1+x2)
+p2=p2+=p2+=p2,可得k=,故B错误;对于C,·=x1x2+y1y2=p2+k2=p2+k2=p2+k2p2-=-p2,同理可得·=-p2,所以·=·,故C正确;对于D,因为AB⊥CD,所以S四边形ABCD=|AB||CD|=··2p(1+k2)==2p2≥8p2,当且仅当k2=(k>0),即k=1时,等号成立,故D错误.故选AC.
11.ACD　[解析] 对于A,在正方体中,易知平面ACD1∥平面A1BC1,故动点M在运动的过程中,点M到平面ACD1的距离为定值,所以三棱锥M-ACD1的体积为定值,故A正确.对于B,当点M运动到点B处时,易知A1M不垂直于B1C,所以A1M不垂直于平面DB1C,故B错误.对于C,以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图①所示的空间直角坐标系,则B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以=(0,-2,2),=(-2,0,2),设M(x,y,z),=λ+μ(0≤λ≤1,0≤μ≤1,λ+μ≤1),则=(-2μ,-2λ,2λ+2μ),所以M(2-2μ,2-2λ,2λ+2μ),设动点M到直线CD的距离为d,过点M作MH⊥平面ABCD于点H,过点H作HS⊥CD于点S,连接MS,则MS=d,则d2=(2λ+2μ)2+(2-2μ)2=4(λ2+2μλ+2μ2-2μ+1),当λ=0,μ=时,d2取得最小值,且最小值为2,则动点M到直线CD的距离的最小值为,故C正确.对于D,设点A到平面A1BC1的距离为h,由=,得××(2)2×h=×2×2×2×,解得h=.如图②,取A1B的中点Q,则Q(2,1,1),连接QC1,过点A作AI⊥平面A1BC1,垂足为I,易知点I在C1Q的延长线上.由选项C,可设平面内点I(2-2μ',2-2λ',2λ'+2μ'),因为A(2,0,0),所以=(-2μ',2-2λ',2λ'+2μ'),又=(2,2,2),∥,所以解得所以I,所以QI==.由已知,点M的轨迹是以I为圆心的圆弧,不妨设该圆弧的半径为r,则r==,则==,所以以I为圆心的圆弧所对的圆心角为,故M的轨迹长度为,故D正确.故选ACD.
12.27　[解析] ∵l⊥α,∴u∥n,∴==,即解得∴ab=27.
13.　[解析] 因为PA⊥底面ABCD,AB,AD 底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又∠DAB为直角,所以PA,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,2,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,m),所以=(-1,2,0),因为E为PC的中点,所以E,所以=.设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则令y=1,得n=.易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),记平面BDE与平面BCD所成的角为θ,则cos θ==<,可得m>,所以m的取值范围是.
14.+=1或+=1　[解析] 圆柱的轴截面如图所示.记平面α与上、下乒乓球的切点分别为A,A',平面α与轴截面的两条母线的交点分别为C,C',B,B'分别为两球的球心,O为BB'的中点.在直角三角形ABO中,AB=2,BO==8,所以AO==2,所以椭圆的焦距为2AO=4,因为椭圆的短轴长即为圆柱的底面直径4,所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
15.解:(1)设圆A的半径为R,由圆A与直线l1:x+2y+7=0相切得R==2,所以圆A的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=-2,此时|MN|=2×=2,符合题意.
②当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,设Q是MN的中点,因为|MN|=2,所以|AQ|==1,
即|AQ|==1,解得k=,所以直线l的方程为3x-4y+6=0.
综上所述,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
16.解:(1)当m=1时,曲线C:+y2=1是椭圆,|F1F2|=2c=2=4,因为四边形AF1BF2是矩形,所以AF1⊥AF2,
所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=32,又|AF1|+|AF2|=6,
所以|AF1|·|AF2|===2.
(2)设A(x0,y0),P(x,y),则B(-x0,-y0),
因为A,P在曲线C上,所以+=1,+=1,两式相减得=-,
所以=-,所以k1k2=·==-=,
所以m=-1,所以曲线C的方程为-y2=1,所以|F1F2|=2=2.
17.解:(1)由题可知圆锥的母线长l=,底面半径r=1,
故圆锥SO的表面积为πr2+πrl=(+1)π.
(2)以O为坐标原点,,的方向分别为y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设点B在AC上的射影为H,则AH==,所以OH=,BH=.因为A(0,-1,0),C(0,1,0),B,S(0,0,3),所以=(0,1,3),=,=(0,-1,3).
设平面SAB的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即令z1=-1,则n1=(-6,3,-1).
设平面SBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即令z2=2,则n2=(3,6,2).
所以|cos|===,
所以平面SAB与平面SBC所成角的余弦值为.
18.解:(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由已知可得可得
所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.
(2)①由(1)知P(2,0),因为k1·k2=-1,所以P1P⊥P2P,
则直线P1P2经过圆心C,△PP1P2是直角三角形,且|P1P2|=2.
设|P1P|=c,|P2P|=d,则c2+d2=4,又4=c2+d2≥2cd,所以cd≤2,当且仅当c=d=时取等号,所以的最大值为cd=1.
②由已知得,直线P1P2的斜率一定存在.
设直线P1P2的方程为y=kx+m,P1(x1,y1),P2(x2,y2),
由消去y得(k2+1)x2+2(km-1)x+m2=0,
所以Δ=4(km-1)2-4m2(k2+1)>0,x1+x2=-,x1x2=.
因为k1·k2=·===4,所以(4-k2)x1x2-(km+8)(x1+x2)+16-m2=(4-k2)+(km+8)+16-m2=0,可得3m2+14km+16k2=0,
即(m+2k)(3m+8k)=0,解得m=-2k或m=-k.
当m=-2k时,直线P1P2的方程为y=k(x-2),过定点P(2,0),不符合题意;
当m=-k时,直线P1P2的方程为y=k,过定点.
故当k1·k2=4时,动弦P1P2过定点.
19.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥DC,
因为PD⊥DC,AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,所以DC⊥平面PAD,又PA 平面PAD,所以DC⊥PA.因为BC⊥BA,PB⊥BC,PB∩BA=B,PB,BA 平面PBA,所以BC⊥平面PBA,又PA 平面PBA,所以BC⊥PA,又BC∩DC=C,BC,DC 平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.
(2)由已知可得AD,AB,AP两两垂直,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,连接AC,可得AC=.
因为PA⊥AC,所以PA===1,
所以B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0),
所以=(0,-1,1),=(1,0,-1),=(0,1,0).
设平面BPD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则令x1=1,则m=(1,1,1).
设平面CPD的一个法向量为n=(x2,y2,z2), 则
令x2=1,则n=(1,0,1).因为cos===,
所以平面BPD与平面CPD所成角的余弦值为.
(3)存在满足条件的点E,理由如下:
假设在棱PD上存在一点E满足条件,设=λ=(λ,0,-λ),λ∈[0,1],
则=-=(1,1,-1)-(λ,0,-λ)=(1-λ,1,λ-1).
因为PA⊥平面BCD,所以平面BCD的一个法向量为=(0,0,1),
所以|cos<,>|===sin 30°=,
可得λ=1-,则||=×||=×=-1,所以在棱PD上存在一点E,使直线EC与平面BCD所成的角是30°,此时PE的长为-1.模块素养测评卷
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若直线ax+2y+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直,则实数a的值是 (　　)
A.1 B.-1
C.4 D.-4
2.在四棱锥P-ABCD中,已知平面ABCD的一个法向量为n=(3,12,4),=(-6,2,-8),则该四棱锥的高为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的离心率e∈,则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C.∪ D.∪
4.如图所示,垂直于平面α的线段AB和CD的长分别为15和10,则平面α内满足∠APB=∠CPD的点P的轨迹是 (　　)
A.椭圆 B.双曲线的一支
C.抛物线 D.圆
5.如图,已知A(5,0),B(0,5),从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程长为 (　　)
A.2 B.2
C.2 D.4
6.[2024·重庆南开中学高二期末] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在面对角线B1D1上(含端点),若直线OP与平面B1AD1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
7.如图,曲线C由三部分构成:半圆F1:(x+1)2+y2=1(y≥0),半圆F2:(x-1)2+y2=1(y≥0),半椭圆Γ:+=1(y<0).直线AB:y=(x-1)交C于A,B两点,若动点P在曲线C上,则△PAB的面积的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.4
8.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过点F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限交于点A,已知Q,|F2Q|>|F2A|,点P是双曲线C右支上的动点,且|PF1|+|PQ|>|F1F2|恒成立,则双曲线的离心率e的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知空间中四个点D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),则下列结论正确的是 (　　)
A.·=0
B.与的夹角为
C.平面PDM的一个法向量为n=(2,1,1)
D.点N到平面PDM的距离为
10.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,弦AB所在直线的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列说法正确的是 (　　)
A.+=
B.若|AF|·|BF|=p2,则k=
C.·=·
D.四边形ABCD的面积的最小值为16p2
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M是△A1BC1内部一点(含边界),则下列说法正确的是 (　　)
A.在动点M运动的过程中,三棱锥M-ACD1的体积为定值
B.对于任意M,A1M⊥平面DB1C
C.动点M到直线CD的距离的最小值为
D.满足AM=的M的轨迹长度为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知u=(3,a-b,a+b)(a,b∈R)是直线l的一个方向向量,n=(1,2,4)是平面α的一个法向量.若l⊥α,则ab=　　　　.
13.[2025·黑龙江大庆实验中学高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E为PC的中点,PA=m(m>0),且平面BDE与平面BCD所成的角大于60°,则m的取值范围是　　　　　　.
14.如图,在一个高为20,底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球,下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切,上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计).一个平面α与两个乒乓球均相切,已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,请写出此椭圆的一个标准方程　　　　　　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的直线l与圆A相交于M,N两点,|MN|=2.
(1)求圆A的标准方程;
(2)求直线l的方程.
16.(15分)[2024·安徽利辛一中高二期末] 已知曲线C:+=1(m<8且m≠0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx与曲线C交于A,B两点.
(1)若m=1,且四边形AF1BF2是矩形,求|AF1|·|AF2|的值;
(2)若P是曲线C上与A,B不重合的点,且直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=,求|F1F2|.
17.(15分)如图,已知圆锥SO的高为3,AC为底面直径,且AC=2.
(1)求圆锥SO的表面积;
(2)若B是底面圆周上一点,且AB=,求平面SAB与平面SBC所成角的余弦值.
18.(17分)在平面直角坐标系中,已知圆C经过原点和点A(1,-1),并且圆心在x轴上,圆C与x轴正半轴的交点为P.
(1)求圆C的标准方程.
(2)设P1P2为圆C的动弦,且P1P2不经过点P,记k1,k2分别为弦P1P,P2P的斜率.
①若k1·k2=-1,求△PP1P2面积的最大值.
②若k1·k2=4,请判断动弦P1P2是否过定点 若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PB⊥BC,PD⊥DC,且PC=.
(1)证明:PA⊥平面ABCD.
(2)求平面BPD与平面CPD所成角的余弦值.
(3)在棱PD上是否存在一点E,使直线EC与平面BCD所成的角是30° 若存在,求PE的长;若不存在,请说明理由.

展开更多......

收起↑