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(共59张PPT)
1.2 直线的方程
1.2.1 直线的点斜式方程
探究点一 直线的点斜式方程
探究点二 直线的斜截式方程
探究点三 点斜式、斜截式方程的简单应用
◆
◆
◆
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课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程.
2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程.
3.能描述点斜式方程的适用范围.
知识点一 直线的点斜式方程
定义：方程__________________叫作直线的点斜式方程，简称点斜式.
提示：（1）点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在.
（2）当直线与轴垂直时，直线方程为；当直线与 轴平行或
重合时，直线方程可写为；特别地，轴的方程是 .
知识点二 直线的斜截式方程
定义：已知直线的斜率为，与轴的交点是，则直线 的方
程为,即，称为直线在 轴上的______.
方程由直线的斜率和它在 轴上的______确定，这个方程也叫作直
线的斜截式方程，简称斜截式.
截距
截距
提示：（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
（2）截距不是距离，在轴轴上的截距是直线与轴轴 交点的
纵（横）坐标，所以截距可以取一切实数.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线恒过定点 .( )
√
（2）若直线过点，且倾斜角为 ，则其方程是 .
( )
×
（3）轴所在直线的方程为 ,该方程可化为点斜式方程.( )
√
（4）所有的直线都有点斜式和斜截式方程.( )
×
2.方程与方程 表示的是同一条直线吗
解： 不是.
因为方程表示的直线不含点 ,方程表示
的直线含点 ，故它们不是同一条直线.
探究点一 直线的点斜式方程
例1 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程：
（1）经过点,且斜率 ;
解：因为直线的斜率,且经过点 ,
所以直线的点斜式方程为 .
（2）经过点，且倾斜角为 ；
解：因为直线的倾斜角为 ，所以斜率为 ，
所以直线的点斜式方程为 .
（3）经过点，且与 轴平行；
解：由题意知，直线的斜率为 ，所以直线的点斜式方程为
，即 .
（4）经过， 两点.
解：因为直线经过，两点，所以直线的斜率为 ，
所以直线的点斜式方程为（或 ）.
例1 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程：
变式 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程：
（1）经过点，且倾斜角为 ；
解：因为直线的倾斜角为 ，所以斜率为 ，
所以直线的点斜式方程为 .
（2）经过点，且与 轴平行；
解：由题意知，直线的斜率为 ，
所以直线的点斜式方程为，即 .
（3）经过点，且与 轴垂直．
解：由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为 ，该
直线没有点斜式方程.
变式 根据下列条件，分别写出直线的点斜式方程：
［素养小结］
利用点斜式求直线方程的方法：
（1）用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和该直线上的
一个点，然后将,，代入即可.注意
在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜率不存在,则直
线方程为；
（2）已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线
的方程.
探究点二 直线的斜截式方程
例2 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程：
（1）斜率为2,在 轴上的截距是5;
解：所求直线的斜截式方程为 .
（2）倾斜角为 ，与 轴的交点的横坐标是2；
解： 直线的倾斜角为 ， 该直线的斜率为 ，
设直线的斜截式方程为 ，由题知点 在该直线上，
，解得 ，故直线的斜截式方程为
.
（3）倾斜角为 ,与 轴的交点到坐标原点的距离为3.
解： 直线的倾斜角为 ,
斜率为 .
直线与 轴的交点到坐标原点的距离为3,
直线在轴上的截距为3或 ,
所求直线的斜截式方程为或 .
例2 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程：
变式 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程：
（1）直线的倾斜角为 ，且在 轴上的截距是2；
解：直线的斜率为,可得直线的斜截式方程为 .
（2）直线过点，且在轴上的截距是 ；
解：由题可知直线过点和， 直线的斜率为 ,
可得直线的斜截式方程为 .
（3）倾斜角是直线的倾斜角的，且过点 .
解：易知直线的倾斜角为 , 所求直线的倾斜角
是直线的倾斜角的 ，
所求直线的倾斜角为 ， 所求直线的斜率为 ,
又直线过点， 直线在轴上的截距是, 所求直线的斜截
式方程为 .
变式 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程：
［素养小结］
直线的斜截式方程的求解策略：
（1）求直线的斜截式方程,首先要求出直线的斜率与它在轴上的
截距，然后将,代入即可.
（2）当斜率或在轴上的截距未知时,可利用待定系数法求解.
探究点三 点斜式、斜截式方程的简单应用
角度1 直线方程与其图象的判断
例3 ［2025·江苏金陵中学高二月考］直线 与直线
在同一平面直角坐标系内的位置关系
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，由得，，而由得， ，矛盾；
对于B，由得，，而由得， ，矛盾；
对于C，由得，，而由得，，矛盾；
对于D，由 得，，而由得， ，符合题意.
故选D.
变式 方程 表示的直线可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ,代入直线方程，可得
,即，所以直线恒过点 ．故选B.
√
角度2 与坐标轴围成的三角形
例4 已知直线的斜率为 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，
则直线 的方程为_____________．
[解析] 设直线的方程为,所以直线与轴、 轴的交点
坐标分别为，.
由题意可得,解得 ,
所以直线的方程为 .
变式 写出一个同时具有下列性质的直线 的斜截式方程：_________
_______________.
①直线经过点；②直线与，轴所围成的三角形的面积为 .
[解析] 由题意知直线的斜率存在，设为，则直线 的方程为
,令，解得，令 ,解得.
所以直线与, 轴所围成的三角形的面积为，
则或，可得 或，
故直线的方程为或 .
［素养小结］
（1）直线方程与其图象的判断一般看两个方面:一看斜率的正负,二
看截距的正负.
（2）在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示在轴、轴上的截
距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截
距并不一定是正数，当截距的符号不确定时，要进行分类讨论.
拓展 已知直线过点，且分别与轴的负半轴、 轴的正半
轴交于点，，为原点，则 面积的最小值为____.
24
[解析] 由题可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为 ,则直线的
方程为，
因为直线分别与轴的负半轴、 轴的正半轴交于点，，所以.
令,则 ,即,令,则,即 ,
所以 ,
其中，当且仅当，即 时，等号成立，
所以,即 面积最小值为24.
1.直线的点斜式方程剖析
经过点 的直线有无数条,可以分为两类:
（1）斜率存在的直线,其方程为 ;
（2）斜率不存在的直线,其方程为 .
2.直线的斜截式方程剖析
（1）直线的斜截式方程其实是点斜式方程在 时的特殊情况.
（2）直线的斜截式方程与一次函数 的解析式的形式一样,
但有区别.当时,不是一次函数;当 时,斜截式方程就是
一次函数的解析式.
（3）截距与距离不一样,截距可以为正数、零或负数,而距离不能为
负数.
直线与坐标轴围成的三角形面积的取值范围问题,要准确找到直线在
, 轴上的截距，再利用函数或不等式求解.
例1 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线 ，分
别与轴正半轴、轴正半轴交于点，，求 面积的最小值及
此时直线 的方程.
解： 点在第一象限，且直线与轴正半轴、 轴正半轴相交，
直线的斜率 ，则直线的方程为， .
令，得；令，得 .
，当且仅当 ，即
时等号成立． 面积的最小值为6．
此时直线的方程为，即 ．
例2 已知直线与轴、轴分别交于点, ,若使
（为坐标原点）的面积为的直线共有四条,求正实数 的
取值范围.
解：由题意知,且直线与轴、 轴的交点分
别是, ,
.
当时, ,
,当且仅当时取等号,
当 时,存在两个满足 .
当时, ,
,当且仅当 时取等号,
当时,不存在满足;
当 时,存在唯一一个满足;
当时,存在两个 满足 .
综上,若使（为坐标原点）的面积为的直线 共有四条,则正
实数的取值范围是 .
练习册
1.［2025·江苏东台一中高二期中］直线的方程是 ，则直
线在 轴上的截距是( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 直线的方程是，当时，，所以直线
在轴上的截距是 .故选D.
√
2.已知直线的倾斜角为 ，且过点，则在 轴上的截距为
( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由题可知直线的斜率为，故直线 的点斜式方程
为，
易知当时，，因此在 轴上的截距为 .故选B.
√
3.已知直线的方程是 ，则( )
A.直线过定点，斜率为
B.直线过定点，斜率为
C.直线过定点 ，斜率为1
D.直线过定点，斜率为
[解析] 由，可得 ，所以直线
过定点，斜率为 ．故选D.
√
4.下列直线中过第一、二、四象限的是( )
A. B. C. D.
[解析] 若直线过第一、二、四象限，则, ，故选C.
√
5.方程 表示的直线可能是图中的( )
A. B. C. D.
√
[解析] 直线的斜率是，在轴上的截距是.
当 时,,则直线 过第一、二、三象限,
四个选项都不符合；
当时,,则直线 过第二、三、四象限,仅有选项B符合．
故选B.
6.（多选题）［2025·江苏连云港高二期中］ 设直线过两点
和 ，则( )
A.的斜率为 B.的倾斜角为
C.在轴上的截距为6 D.在轴上的截距为
√
√
[解析] 由题可知，的斜率，故A错误；
设直线 的倾斜角为 ，则 ，因为，
所以 ，故B正确；
易知直线的点斜式方程为 ，
整理得，令，则，令，则，
故 在轴上的截距为6，在轴上的截距为，故C正确，D错误.
故选 .
7.若直线的斜率为，在轴上的截距为，则 的方程为
______________.
[解析] 由题可知，直线的斜率为，且过点，故直线 的方
程为 ．
8.［2024·江苏苏大附中高二月考］已知直线经过点 ，且倾斜
角为直线的倾斜角的一半，则 的方程为____________．
[解析] 易知直线的斜率为 ，所以该直线的倾斜角
为 ，故直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为.
由直线 过点，得直线的方程为，
即 .
9.（13分）根据下列条件分别写出直线的方程：
（1）斜率为2，在轴上的截距是 ；
解:因为直线的斜率为2，在轴上的截距是 ，
所以直线的方程为 .
（2）过点，且斜率为 ；
解:因为所求直线过点，且斜率为 ，所以所求直线的方
程为，即 .
（3）直线过点， ；
解:因为所求直线过点，，所以 ，
所以所求直线的方程为，即 .
（4）过两点， ，且直线的斜率为12.
解:因为直线的斜率为12，
所以,解得 ,
故,则直线的方程为，即 .
9.（13分）根据下列条件分别写出直线的方程：
10.（13分）已知直线经过点，且其斜率为 ．
（1）若在两坐标轴上的截距之和为零，求 的点斜式方程；
解:由题意知， 的斜率不为0，
因为直线经过点,所以的点斜式方程为 ，
则它在轴、轴上的截距分别为和 ，所以
，解得或 ，
所以的点斜式方程为或 .
（2）若，与轴、轴的交点分别为，，当
（其中为坐标原点）的面积最小时，求 的斜截式方程．
解:由（1）知，，，因为,所以 的
面积，当且仅当 时，等号成立，
所以的斜截式方程为 ．
10.（13分）已知直线经过点，且其斜率为 ．
11.［2025·湖北十堰一中高二月考］直线 与
在同一平面直角坐标系中的位置可能
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，若的位置正确，则，，即 ，
，此时的位置不正确，故A错误；
对于B，若 的位置正确，则，，即，，
此时 的位置不正确，故B错误；
对于C，若的位置正确，则，，即， ，
此时的位置正确，故C正确；
对于D，若 的位置正确，则，，即，，
此时 的位置不正确，故D错误.
故选C.
12.［2025·浙江诸暨中学高二期中］已知直线过点 ，且与坐标
轴交于点，，若的面积为24，其中 为坐标原点，则这样
的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
√
[解析] 由题知，直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线 的方程
为，，所以直线与 轴的交点坐标为
，与轴的交点坐标为，
所以 的面积为,整理得
，所以或
由 ,得,解得 ；
由，得，解得 .
所以满足条件的直线有3条.故选C.
13.（多选题）［2025·江苏南通中学高二期末］ 已知直线 过点
，且与轴和轴围成有一个内角为 的直角三角形，则满足
条件的直线 的方程可以是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意知，直线的倾斜角可以是或或或，所以直线 的
斜率或或 或
，
所以直线的方程可以为 或
或或 .
由，整理得，此时直线过原点，无法与
轴和轴围成直角三角形,舍去.
故选 .
14.［2025·江苏锡山中学高二月考］已知， ，若点
在线段上，则 的最小值为____.
[解析] 由题可知直线的斜率为，所以直线 的方程为
，即.
所以线段 的方程为 ，
所以，
因此， 的最小值为 .
15.［2025·江苏南京一中高二期中］已知， ，
则下列直线的方程不可能是 的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ， 直线在 轴
上的截距不小于2，且当时，该直线在 轴上的截距为2，故D中
直线的方程可能为；
当时， ，故B中直线的方程不可能是；
当时，或 ，故A，C中直线的方程可能为 .
故选B.
16.（15分）若两条相交直线，的倾斜角分别为， ，两直线的
斜率均存在，分别为，，且，， 满足________
（从 ； 两个条件中，任选一个补充在上
面问题中并作答，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
（1）若，的交点坐标为，过点，过点 ，
求出， 满足的关系；
解:依题意知，直线的方程为，直线 的方程为
，
因为过点，所以且 ，
即且 .
又过点，所以且，即 且
.
若选①，则，所以 ，可得
且， .
若选②，则，所以 ，可得
且， .
（2）在（1）的条件下，若直线 向右平移4个单位长度，再向上平
移2个单位长度后与原直线重合，求实数， 的值．
解:将直线 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到
的直线的方程为 ，
即，所以，解得 ，此时
直线的方程为 ，
所以，解得 .
若选①，则，所以，解得 .
若选②，则，所以，解得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 知识点二 截距 截距
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）× 2.不是
课中探究
例1 （1）>（2） （3）
（4）（或）
变式 （1）/m> （2）
（3）直线的方程为，该直线没有点斜式方程
例2 （1） （2）m>（3）或
变式 （1）（2）m>>（3）
例3 D 变式 B
例4 变式 拓展 24
快速核答案（练习册）
1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.BC 7. 8.
9.（1）（2）（3）
（4）
10.（1）或
（2）
11.C 12.C 13.ABC 14. 15.B
16.（1）若选①，且，.
若选②，且，.
（2）. 若选①，.
若选②，.1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
【课前预习】
知识点一
y-y1=k(x-x1)
知识点二
截距　截距
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.解: 不是.因为方程k=表示的直线不含点(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直线含点(-1,2),故它们不是同一条直线.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)因为直线的斜率k=1,且经过点P(2,3),
所以直线的点斜式方程为y-3=x-2.
(2)因为直线的倾斜角为45°,所以斜率为tan 45°=1,
所以直线的点斜式方程为y-5=x-2.
(3)由题意知,直线的斜率为tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y=-1.
(4)因为直线经过A(3,8),B(1,4)两点,所以直线的斜率为=2,
所以直线的点斜式方程为y-8=2(x-3)(或y-4=2(x-1)).
变式　解:(1)因为直线的倾斜角为135°,
所以斜率为tan 135°=-1,所以直线的点斜式方程为y-3=-(x-2).
(2)由题意知,直线的斜率为tan 0°=0,
所以直线的点斜式方程为y-3=0,即y=3.
(3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=-2,该直线没有点斜式方程.
探究点二
例2　解:(1)所求直线的斜截式方程为y=2x+5.
(2)∵直线的倾斜角为150°,∴该直线的斜率为-,
设直线的斜截式方程为y=-x+b,
由题知点(2,0)在该直线上,
∴0=-+b,解得b=,故直线的斜截式方程为y=-x+.
(3)∵直线的倾斜角为60°,
∴斜率为tan 60°=.
∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,
∴直线在y轴上的截距为3或-3,
∴所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3.
变式　解:(1)直线的斜率为tan 45°=1,可得直线的斜截式方程为y=x+2.
(2)由题可知直线过点A(3,1)和(0,-1),∴直线的斜率为=,可得直线的斜截式方程为y=x-1.
(3)易知直线y=-x+1的倾斜角为120°,∵所求直线的倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,
∴所求直线的倾斜角为30°,∴所求直线的斜率为,
又直线过点(0,-5),∴直线在y轴上的截距是-5,∴所求直线的斜截式方程为y=x-5.
探究点三
例3　D　[解析] 对于A,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0,符合题意.故选D.
变式　B　[解析] 因为k+b=0,所以k=-b,代入直线方程,可得y=-bx+b,即y=-b(x-1),所以直线恒过点(1,0).故选B.
例4　y=-x±4　[解析] 设直线l的方程为y=-x+b,所以直线l与y轴、x轴的交点坐标分别为(0,b),.由题意可得×|b|×=6,解得b=±4,所以直线l的方程为y=-x±4.
变式　y=2x-1
[解析] 由题意知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x-1),令x=0,解得y=1-k,令y=0,解得x=1-.所以直线l与x,y轴所围成的三角形的面积为=,则k+=或k+=,可得k=2或k=,故直线l的方程为y=2x-1或y=x+.
拓展　24　[解析] 由题可知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x+3),因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于点A,B,所以k>0.令x=0,则y=3k+4,即B(0,3k+4),令y=0,则x=-3-,即A,所以S△AOB=OA·OB=(3k+4)=,其中9k+≥2=24,当且仅当9k=,即k=时,等号成立,所以S△AOB≥(24+24)=24,即△AOB面积最小值为24.1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
1.D　[解析] 直线l的方程是y=2x-4,当x=0时,y=-4,所以直线l在y轴上的截距是-4.故选D.
2.B　[解析] 由题可知直线l的斜率为tan 60°=,故直线l的点斜式方程为y-=(x-2),易知当x=0时,y=-,因此l在y轴上的截距为-.故选B.
3.D　[解析] 由y+2=-x-1,可得y-(-2)=-[x-(-1)],所以直线过定点(-1,-2),斜率为-1.故选D.
4.C　[解析] 若直线y=kx+b过第一、二、四象限,则k<0,b>0,故选C.
5.B　[解析] 直线y=ax+的斜率是a,在y轴上的截距是.当a>0时,>0,则直线y=ax+过第一、二、三象限,四个选项都不符合;当a<0时,<0,则直线y=ax+过第二、三、四象限,仅有选项B符合.故选B.
6.BC　[解析] 由题可知,l的斜率k==-,故A错误;设直线l的倾斜角为α,则0°≤α<180°,因为tan α=-,所以α=150°,故B正确;易知直线的点斜式方程为y-=-(x-3),整理得y=-x+2,令y=0,则x=6,令x=0,则y=2,故l在x轴上的截距为6,在y轴上的截距为2,故C正确,D错误.故选BC.
7.y=-(x+1)　[解析] 由题可知,直线l的斜率为-,且过点(-1,0),故直线l的方程为y=-(x+1).
8.y=x+1　[解析] 易知直线y=-x-1的斜率为-,所以该直线的倾斜角为120°,故直线l的倾斜角为60°,则直线l的斜率为.由直线l过点A(0,1),得直线l的方程为y-1=(x-0),即y=x+1.
9.解:(1)因为直线的斜率为2,在y轴上的截距是-5,
所以直线的方程为y=2x-5.
(2)因为所求直线过点A(-1,-3),且斜率为-4,所以所求直线的方程为y+3=-4(x+1),即4x+y+7=0.
(3)因为所求直线过点C(1,3),D(2,1),所以kCD==-2,
所以所求直线的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
(4)因为直线的斜率为12,
所以=12,解得m=-2,
故E(2,6),则直线的方程为y-6=12(x-2),即12x-y-18=0.
10.解:(1)由题意知,l的斜率不为0,
因为直线l经过点P(-1,2),所以l的点斜式方程为y-2=k(x+1),
则它在x轴、y轴上的截距分别为-1-和k+2,所以-1-+k+2=0,解得k=-2或k=1,
所以l的点斜式方程为y-2=-2(x+1)或y-2=x+1.
(2)由(1)知,A,B(0,k+2),因为k>0,所以△AOB的面积S=·|k+2|=(k+2)=+2+≥2+2=4,当且仅当k=2时,等号成立,
所以l的斜截式方程为y=2x+4.
11.C　[解析] 对于A,若l1的位置正确,则-a>0,-b<0,即a<0,b>0,此时l2的位置不正确,故A错误;对于B,若l1的位置正确,则-a<0,-b>0,即a>0,b<0,此时l2的位置不正确,故B错误;对于C,若l1的位置正确,则-a>0,-b<0,即a<0,b>0,此时l2的位置正确,故C正确;对于D,若l1的位置正确,则-a>0,-b>0,即a<0,b<0,此时l2的位置不正确,故D错误.故选C.
12.C　[解析] 由题知,直线的斜率存在,且不过原点,所以设直线l的方程为y=k(x-3)+4,k≠,所以直线l与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为(0,-3k+4),所以△OAB的面积为=24,整理得=48,所以24--9k=48或24--9k=-48.由24--9k=48,得9k2+24k+16=(3k+4)2=0,解得k=-;由24--9k=-48,得9k2-72k+16=0,解得k=4±.所以满足条件的直线有3条.故选C.
13.ABC　[解析] 由题意知,直线l的倾斜角可以是或或或,所以直线l的斜率k=tan=或k=tan=或k=tan=-或k=tan=-,所以直线l的方程可以为y-=-(x-1)或y-=-(x-1)或 y-=(x-1)或y-=(x-1).由y-=(x-1),整理得y=x,此时直线l过原点,无法与x轴和y轴围成直角三角形,舍去.故选ABC.
14.-1　[解析] 由题可知直线AB的斜率为=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-4),即y=-2x+9.所以线段AB的方程为y=-2x+9(2≤x≤4),所以2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9∈[-1,7],因此,2x-y的最小值为-1.
15.B　[解析] ∵b=k2-2k+3=(k-1)2+2,∴直线y=kx+b在y轴上的截距不小于2,且当k=1时,该直线在y轴上的截距为2,故D中直线的方程可能为y=kx+b;当k=-1时,b=6,故B中直线的方程不可能是y=kx+b;当b=3时,k=0或k=2,故A,C中直线的方程可能为y=kx+b.故选B.
16.解:(1)依题意知,直线l1的方程为y-1=k1(x-1),直线l2的方程为y-1=k2(x-1),
因为l1过点A(a,2),所以2-1=k1(a-1)且a≠1,
即1=k1(a-1)且a≠1.
又l2过点B(2,b),所以b-1=k2(2-1)且b≠1,即b-1=k2且b≠1.
若选①,则k1+k2=0,所以k1=-k2=1-b,可得1=(1-b)(a-1)且a≠1,b≠1.
若选②,则k1·k2=-1,所以(b-1)×1=k2×k1(a-1),可得b+a=2且a≠1,b≠1.
(2)将直线l1向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的直线的方程为y-1=k1[(x-4)-1]+2,
即y-1=k1x-5k1+2,所以-5k1+2=-k1,解得k1=,此时直线l1的方程为y-1=(x-1),
所以1=(a-1),解得a=3.
若选①,则k2=-,所以b-1=-,解得b=.
若选②,则k2=-2,所以b-1=-2,解得b=-1.1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
【学习目标】
　　1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程.
　　2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程.
　　3.能描述点斜式方程的适用范围.
◆ 知识点一　直线的点斜式方程
定义:方程　　　　　　叫作直线的点斜式方程,简称点斜式.
提示:(1)点斜式方程的应用前提是直线的斜率存在.
(2)当直线与x轴垂直时,直线方程为x=x1;当直线与x轴平行或重合时,直线方程可写为y=y1;特别地,x轴的方程是y=0.
◆ 知识点二　直线的斜截式方程
定义:已知直线l的斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),则直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b,称b为直线l在y轴上的　　　　.方程由直线l的斜率和它在y轴上的
　　　　确定,这个方程也叫作直线的斜截式方程,简称斜截式.
提示:(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
(2)截距不是距离,在y轴(x轴)上的截距是直线与y轴(x轴)交点的纵(横)坐标,所以截距可以取一切实数.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　 )
(2)若直线l过点P(x1,y1),且倾斜角为90°,则其方程是y=y1. (　 )
(3)x轴所在直线的方程为y=0,该方程可化为点斜式方程. (　 )
(4)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. (　 )
2.方程k=与方程y-2=k(x+1)表示的是同一条直线吗
◆ 探究点一　直线的点斜式方程
例1 根据下列条件,分别写出直线的点斜式方程:
(1)经过点P(2,3),且斜率k=1;
(2)经过点(2,5),且倾斜角为45°;
(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;
(4)经过A(3,8),B(1,4)两点.
变式 根据下列条件,分别写出直线的点斜式方程:
(1)经过点P(2,3),且倾斜角为135°;
(2)经过点P(-2,3),且与x轴平行;
(3)经过点P(-2,3),且与x轴垂直.
[素养小结]
利用点斜式求直线方程的方法:
(1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率k和该直线上的一个点P(x0,y0),然后将k,x0,y0代入y-y0=k(x-x0)即可.注意在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜率不存在,则直线方程为x=x0;
(2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程.
◆ 探究点二　直线的斜截式方程
例2 根据下列条件,分别写出直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,与x轴的交点的横坐标是2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
变式 根据下列条件,分别写出直线的斜截式方程:
(1)直线的倾斜角为45°,且在y轴上的截距是2;
(2)直线过点A(3,1),且在y轴上的截距是-1;
(3)倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且过点(0,-5).
[素养小结]
直线的斜截式方程的求解策略:
(1)求直线的斜截式方程,首先要求出直线的斜率k与它在y轴上的截距b,然后将k,b代入y=kx+b即可.
(2)当斜率k或在y轴上的截距b未知时,可利用待定系数法求解.
◆ 探究点三　点斜式、斜截式方程的简单应用
角度1　直线方程与其图象的判断
例3 [2025·江苏金陵中学高二月考] 直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的位置关系为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A B C D
变式 方程y=kx+b(k+b=0,k≠0)表示的直线可能是 (　 )
A B C D
角度2　与坐标轴围成的三角形
例4 已知直线l的斜率为-,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6,则直线l的方程为　　　　　　.
变式 写出一个同时具有下列性质的直线l的斜截式方程:　　　　　　.
①直线l经过点(1,1);②直线l与x,y轴所围成的三角形的面积为.
[素养小结]
(1)直线方程与其图象的判断一般看两个方面:一看斜率的正负,二看截距的正负.
(2)在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示在x轴、y轴上的截距,从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时,要注意截距并不一定是正数,当截距的符号不确定时,要进行分类讨论.
拓展 已知直线l过点M(-3,4),且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于点A,B,O为原点,则△AOB面积的最小值为　　　　. 1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
1.[2025·江苏东台一中高二期中] 直线l的方程是y=2x-4,则直线l在y轴上的截距是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.-2 C.4 D.-4
2.已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2,),则l在y轴上的截距为 (　 )
A.-1 B.-
C.1 D.
3.已知直线的方程是y+2=-x-1,则 (　 )
A.直线过定点(2,-1),斜率为-1
B.直线过定点(1,-2),斜率为-1
C.直线过定点(-2,-1),斜率为1
D.直线过定点(-1,-2),斜率为-1
4.下列直线中过第一、二、四象限的是 (　 )
A.y=2x+1 B.y=x+
C.y=-2x+4 D.y=x-3
5.方程y=ax+(a≠0)表示的直线可能是图中的 (　 )
A B C D
6.(多选题)[2025·江苏连云港高二期中] 设直线l过两点(3,)和(9,-),则 (　 )
A.l的斜率为-
B.l的倾斜角为150°
C.l在x轴上的截距为6
D.l在y轴上的截距为3
7.若直线l的斜率为-,在x轴上的截距为-1,则l的方程为　　　　　　.
8.[2024·江苏苏大附中高二月考] 已知直线l经过点A(0,1),且倾斜角为直线y=-x-1的倾斜角的一半,则l的方程为　　　　　　　.
9.(13分)根据下列条件分别写出直线的方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是-5;
(2)过点A(-1,-3),且斜率为-4;
(3)直线过点C(1,3),D(2,1);
(4)过两点E(-m,6),F(1,3m),且直线的斜率为12.
10.(13分)已知直线l经过点P(-1,2),且其斜率为k.
(1)若l在两坐标轴上的截距之和为零,求l的点斜式方程;
(2)若k>0,l与x轴、y轴的交点分别为A,B,当△AOB(其中O为坐标原点)的面积最小时,求l的斜截式方程.
11.[2025·湖北十堰一中高二月考] 直线l1:y=-ax-b与l2:y=bx+a (ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系中的位置可能是 (　 )
A B C D
12.[2025·浙江诸暨中学高二期中] 已知直线l过点P(3,4),且与坐标轴交于点A,B,若△OAB的面积为24,其中O为坐标原点,则这样的直线有 (　 )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
13.(多选题)[2025·江苏南通中学高二期末] 已知直线l过点P(1,),且与x轴和y轴围成有一个内角为的直角三角形,则满足条件的直线l的方程可以是 (　 )
A.y-=-(x-1)
B.y-=-(x-1)
C.y-=(x-1)
D.y-=(x-1)
14.[2025·江苏锡山中学高二月考] 已知A(2,5),B(4,1),若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最小值为　　　　.
15.[2025·江苏南京一中高二期中] 已知k∈R,b=k2-2k+3,则下列直线的方程不可能是y=kx+b的是 (　 )
A B C D
16.(15分)若两条相交直线l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2,两直线的斜率均存在,分别为k1,k2,且k1·k2≠0,l1,l2满足　　　　(从①θ1+θ2=π;②k1·k2=-1两个条件中,任选一个补充在上面问题中并作答,若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分).
(1)若l1,l2的交点坐标为P(1,1),l1过点A(a,2),l2过点B(2,b),求出a,b满足的关系;
(2)在(1)的条件下,若直线l1向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度后与原直线重合,求实数a,b的值.

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