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(共51张PPT)
1.3 两条直线的平行与垂直
探究点一 两条直线平行的判定
探究点二 两条直线垂直的判定
探究点三 利用一般式解决直线的平行和
垂直问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件.
2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
3.运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何
问题.
知识点一 两条直线平行
类型 斜率不存在
前提条件
对应关系
图示 ______________________________________ ______________________________________
知识点二 两条直线垂直
类型 斜率不存在
前提条件
图示 ______________________________________ __________________________
对应关系
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“直线与平行”是“直线与 的斜率相等”的充要条件.( )
×
（2）“直线,的斜率之积为”是“直线, 互相垂直”的充要条件.
( )
×
（3）如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等.( )
√
（4）已知直线的倾斜角为 ,直线的倾斜角为 ,若 ,则
.( )
×
2.成立的前提条件是什么 成立
的前提条件是什么
解： 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存
在；与不重合．
成立的前提条件是两条直线的斜率都存在．
探究点一 两条直线平行的判定
例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合：
（1）经过点,,经过点, ;
解：由题意知，直线的斜率,直线 的斜率
，所以 ,
又，，所以,,, 四点不共线,
所以 .
（2）的倾斜角为 ,经过点, ;
解：由题意知，直线的斜率为,直线 的斜率为
,
所以或与 重合.
（3）平行于轴,经过点, ;
解：由题意知，的斜率不存在,且不与轴重合, 的斜率不存在,且
与轴重合,所以 .
例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合：
（4）， .
解：的斜率,的斜率,根据且与
在轴上的截距不相等，可知与 平行.
例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合：
［素养小结］
利用两条直线的斜率判断两条直线是否平行的方法如下:
探究点二 两条直线垂直的判定
例2 根据下列条件,判断直线与 是否垂直:
（1）的倾斜角为,经过, 两点;
解：因为的倾斜角为,所以的斜率为 .
因为经过, 两点,
所以的斜率为 .
因为,所以 .
（2）的斜率为,经过, 两点;
解：因为经过,两点,所以的斜率为 .
因为的斜率为,且,所以与 不垂直.
（3）的斜率为,的倾斜角为 , 为锐角,且 ;
解：记的斜率为,则 ，
因为,所以,解得或 .
因为 为锐角,所以 .
因为的斜率为,且,所以 .
例2 根据下列条件,判断直线与 是否垂直:
（4）， .
解：的斜率,的斜率 ,
因为，所以与 垂直．
例2 根据下列条件,判断直线与 是否垂直:
变式 在平面直角坐标系中,四边形的四个顶点为 ,
,,,其中且 .试判断四边形
的形状并证明.
解：四边形为矩形.证明如下:由斜率公式,得 ,
,
,,, ,
,,, ,四边形为平行四边形.
又, .
又,与不垂直, 四边形 为矩形.
［素养小结］
判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线的斜率都存在
（所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在）的
前提下，只需看它们的斜率之积是否等于即可，但应注意有一条
直线与轴垂直，另一条直线与轴平行（或重合）时，两直线也垂直.
探究点三 利用一般式解决直线的平行和垂直问题
例3 求证:
（1）若直线,直线 ，且
，则，且当斜率存在时， ，
当斜率不存在时, .
证明:对于直线,直线 .
①当, ,即两直线斜率都存在时，可得
， .
若，则且，即 且
.
②当,时，直线的斜率不存在，因为 ，所以
,所以两条直线的斜率都不存在.
所以,且 .
综上，当时， .
当斜率存在时,,当斜率不存在时, .
（2）若直线,直线 ，且
，则 .
证明： 对于直线,直线 .
①当,,即两直线斜率都存在时，可得 和
.
因为，所以，即 .
例3 求证:
②当,时，直线 的斜率不存在，
因为，所以且,即直线 斜率为0,所以
.
当,时，直线的斜率不存在，因为，所以
且,即直线斜率为0,所以.因此当 时，
.
变式 已知直线， ，
求实数 的值，使得：
（1）， 相交；
解：当，相交时， ．
当，即时，解得 或
．
所以当，且时，和 相交．
（2） ；
解：当时，，解得 ．
所以当时， ．
（3） .
解：因为当时，不平行于 ，
所以，所以，且，解得 ．
变式 已知直线， ，
求实数 的值，使得：
［素养小结］
利用一般式解决直线的平行和垂直问题时,要对参数进行分类讨论,关
注直线斜率是否存在、斜率是否为零等特殊情况.
1.对于直线,直线 ，若
，则 .当两直线的斜率存在时，
.当两直线的斜率不存在时, .
2.对于直线,直线 ，若
，则 .
1.平行直线系方程
与直线（其中,不全为0）平行的直线系 的方
程是, 是参变量.
例1 证明上面的结论.
证明：由题意知，直线，其中， 不全为0，且
直线 ，
当时，，可得直线的斜率，所以直线 的
斜率 , 所以直线的方程可写为 ；
当时，，直线的方程可化为，则直线 的方程为
，即 .
综上所述，与直线平行的直线系 的方程是
.
2.垂直直线系方程
若直线，其中，不全为0，且直线 ，则直
线的方程总可以写成 ．
例2 证明上面的结论.
证明：当,时，直线的方程可化为 ，可得直
线的斜率 ，
所以直线的斜率，所以直线 的方程可写为
；
当,时，直线的方程为，则直线的方程为 ，
即 ；
当,时，直线的方程为，则直线 的方程为
，即.
综上所述，当时，直线 的方程总可以写为 .
练习册
1.若直线的斜率为2,,则直线 的斜率为( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为直线的斜率为2,,所以直线的斜率为 ,故选A.
√
2.过点和点的直线与 轴的位置关系是( )
A.平行 B.重合 C.垂直 D.以上都不对
[解析] 点和点的纵坐标都等于2， 直线 的方程
为，则， 直线与 轴平行．故选A.
√
3.已知直线，，若 ，
则 的值为( )
A. B.2 C.3 D.4
[解析] 因为， ，所以
，
又，所以 ，所以，解得 ，
故选A.
√
4.［2025·江苏如东中学高二月考］已知直线 ，
，则“”是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 由，可得，解得，
所以“ ”是“ ”的必要且不充分条件.故选B.
√
5.过点且与直线平行的直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设直线的方程为，因为直线 过点
，所以，解得，所以直线 的方程为
.故选D.
√
6.［2025·江苏徐州一中高二月考］过点 且垂直于直线
的直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可得直线的斜率为，则直线 的斜率为
，因为直线过点，所以直线的方程为 ，
即 ．故选A.
√
7.若直线和直线 重合，则实
数 的值为____.
[解析] 由，得，
两条直线重合，解得 .
8.在中，,,,则边上的高 所在的直线方
程为________________.
[解析] 由已知可得，则边上的高 所在直线的斜
率，则直线的方程为 ，即
.
9.（13分）已知直线与直线 平行，且与坐标轴围成的三
角形的面积为6，求直线 的方程．
解:因为直线与直线平行，所以设直线 的方程为
.
对于，令，可得，即直线与 轴
的交点为，令，可得，即直线与 轴的交点
为 ，
故直线与坐标轴围成的三角形的面积 ，
解得，故直线的方程为 或
．
10.（13分）在平行四边形中，，， ．
（1）求点 的坐标；
解:设点的坐标为，因为四边形 为平行四边形，所以
， ，
所以解得
所以 ．
（2）试判定平行四边形 是否为菱形.
解:连接，，因为， ，
所以，所以，所以平行四边形 为菱形．
10.（13分）在平行四边形中，，， ．
11.已知平行四边形的顶点，边 所在直线的方程是
，对角线的交点为，则边 所在直线的方程为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，由边所在直线的方程是 ，
可设直线的方程为且 .
又对角线的交点为，所以，关于点对称，
即点为线段 的中点，所以.
由点在直线上，可得 ，
解得，所以直线的方程为 ．故选A.
12.已知点是直线 外一点,则方程
表示( )
A.过点且与垂直的直线 B.过点且与 平行的直线
C.不过点且与垂直的直线 D.不过点且与 平行的直线
[解析] 方程 可化简为
,所以直线 必过
点.
方程 所表示的直线的斜率与
的斜率相同，因此方程表示过点且与 平行的直线.
√
13.（多选题）［2025·江苏苏州中学高二期中］ 已知直线
， ，则( )
A.当变化时，的倾斜角不变 B.当 变化时， 过定点
C.与可能平行 D.与 不可能垂直
√
√
[解析] 对于A，当变化时，直线的斜率 ，
所以的倾斜角不变，故A正确；
对于B，直线 恒过定点，故B正确；
对于C，假设与 平行，则， 即，这与
相矛盾，假设不成立，所以与不可能平行，故C不正确；
对于D，假设与 垂直，则，即，
所以与 可能垂直，故D不正确.
故选 .
14.［2025·安徽合肥一中高二质检］已知直线 ，
互相垂直，则 的取值范围
为_ _____.
[解析] 直线 ，
互相垂直，
，.
，，， 的取值范围为 .
15.［2025·江苏常州横林中学高二期中］瑞士数学家欧拉在《三角形
的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心都在同一
条直线上．这条直线被称为欧拉线．在中， ，
，，若直线与 的欧拉
线平行，则实数 的值为( )
A. B. C. 或3 D.3
√
[解析] 由题可知，的重心为,即 .
易知为直角三角形，所以的外心为斜边中点 ,即
,所以的欧拉线方程为,即 .
因为与平行，所以 ,
解得 .故选B.
16.已知集合 与集合
,，若 ，则
实数 的值为_______.
或
[解析] 由，得， .
因为,所以,,所以直线 ,
与,有交点.
因为 ，所以两直线重合，所以，
得 ，解得或 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 知识点二
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.解：成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；与
不重合．成立的前提条件是两条直线的斜率都存在．
课中探究 例1 （1）（2）或与重合（3）（4）与平行
例2 （1）（2）与不垂直（3）（4）与垂直
变式 四边形为矩形
例3 略 变式 （1），且（2）（3）
快速核答案（练习册）
1.A 2.A 3.A 4.B 5.D 6.A 7. 8.
9. 或
10.（1）
（2）平行四边形为菱形
11.A 12.B 13.AB 14.
15.B 16.或1.3　两条直线的平行与垂直
【课前预习】
知识点一
k1=k2
知识点二
k1k2=-1　l1⊥l2
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.解: l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合.l1⊥l2 k1k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由题意知,直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==-,所以k1=k2,
又kAC==-4,kBD==-,所以A,B,C,D四点不共线,所以l1∥l2.
(2)由题意知,直线l1的斜率为tan 60°=,直线l2的斜率为=,
所以l1∥l2或l1与l2重合.
(3)由题意知,l1的斜率不存在,且l1不与y轴重合,l2的斜率不存在,且与y轴重合,所以l1∥l2.
(4)l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=-=-,根据k1=k2且l1与l2在y轴上的截距不相等,可知l1与l2平行.
探究点二
例2　解:(1)因为l1的倾斜角为,所以l1的斜率为tan=-.
因为l2经过M(-4,-),N(5,2)两点,
所以l2的斜率为=.
因为-×=-1,所以l1⊥l2.
(2)因为l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点,所以l2的斜率为=-.因为l1的斜率为-,且-×≠-1,所以l1与l2不垂直.
(3)记l2的斜率为k,则k=tan α,
因为tan 2α=-,所以=-,解得k=3或k=-.
因为α为锐角,所以k=3.
因为l1的斜率为-,且3×=-1,所以l1⊥l2.
(4)l1的斜率k1=,l2的斜率k2=-=-,
因为k1k2=-1,所以l1与l2垂直.
变式　解:四边形OPQR为矩形.证明如下:由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,
kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=,
∴kOP=kQR,kOR=kPQ,
∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR.
又kOQ·kPR≠-1,∴OQ与PR不垂直,
∴四边形OPQR为矩形.
探究点三
例3　证明:(1)对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
①当B1≠0,B2≠0,即两直线斜率都存在时,可得l1:y=-x-,l2:y=-x-.
若l1∥l2,则-=-且-≠-,即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.
②当B1=0,A1≠0时,直线l1的斜率不存在,因为l1∥l2,所以B2=0,所以两条直线的斜率都不存在.
所以A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.
综上,当l1∥l2时,A1B2-A2B1=0.当斜率存在时,B1C2-B2C1≠0,当斜率不存在时, A1C2-A2C1≠0.
(2) 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
①当B1≠0,B2≠0,即两直线斜率都存在时,可得y=-x-和y=-x-.
因为l1⊥l2,所以-·=-1,即A1A2+B1B2=0.
②当B1=0,A1≠0时,直线l1的斜率不存在,
因为l1⊥l2,所以A2=0且B2≠0,即直线l2斜率为0,所以A1A2+B1B2=0.
当B2=0,A2≠0时,直线l2的斜率不存在,因为l1⊥l2,所以A1=0且B1≠0,即直线l1斜率为0,所以A1A2+B1B2=0.因此当l1⊥l2时,A1A2+B1B2=0.
变式　解:(1)当l1,l2相交时,1×3-(m-2)m≠0.
当1×3-(m-2)m=0,即m2-2m-3=0时,解得m=-1或m=3.
所以当m≠-1,且m≠3时,l1和l2相交.
(2)当l1⊥l2时,1×(m-2)+m×3=0,解得m=.
所以当m=时,l1⊥l2.
(3)因为当m=0时,l1不平行于l2,
所以m≠0,所以=,且≠m,解得m=-1.1.3　两条直线的平行与垂直
1.A　[解析] 因为直线l1的斜率为2,l1⊥l2,所以直线l2的斜率为-,故选A.
2.A　[解析] ∵点A(1,2)和点B(-3,2)的纵坐标都等于2,∴直线AB的方程为y=2,则kAB=0,∴直线AB与x轴平行.故选A.
3.A　[解析] 因为l1:mx+2y-4=0,l2:2x+y-8=0,所以=-,=-2.又l1⊥l2,所以·=-1,所以×(-2)=-1,解得m=-1,故选A.
4.B　[解析] 由l1∥l2,可得m2=1,解得m=±1,所以“l1∥l2”是“m=1”的必要且不充分条件.故选B.
5.D　[解析] 设直线l的方程为2x-3y+c=0(c≠4),因为直线l过点(-1,2),所以-2-6+c=0,解得c=8,所以直线l的方程为2x-3y+8=0.故选D.
6.A　[解析] 由题可得直线x-2y+3=0的斜率为,则直线l的斜率为-2,因为直线l过点P(-1,3),所以直线l的方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.故选A.
7.-2　[解析] 由3x+(a-1)y=a-7,得3x+(a-1)y+7-a=0,∵两条直线重合,∴解得a=-2.
8.x+4y-13=0　[解析] 由已知可得kBC==4,则BC边上的高AD所在直线的斜率kAD=-,则直线AD的方程为y-3=-(x-1),即x+4y-13=0.
9.解:因为直线l与直线3x+4y=0平行,所以设直线l的方程为3x+4y+12m=0.
对于3x+4y+12m=0,令x=0,可得y=-3m,即直线l与y轴的交点为(0,-3m),令y=0,可得x=-4m,即直线l与x轴的交点为(-4m,0),
故直线l与坐标轴围成的三角形的面积S=×|-3m|×|-4m|=6,解得m=±1,故直线l的方程为3x+4y+12=0或3x+4y-12=0.
10.解:(1)设点D的坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kAB=kCD,kAD=kBC,
所以解得
所以D(-1,6).
(2)连接AC,BD,因为kAC==1,kBD==-1,
所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,所以平行四边形ABCD为菱形.
11.A　[解析] 由题意知AB∥CD,由边AB所在直线的方程是x-y+1=0,可设直线CD的方程为x-y+m=0且m≠1.又对角线的交点为M(2,2),所以A,C关于点M对称,即点M为线段AC的中点,所以C(4,3).由点C在直线CD:x-y+m=0上,可得4-3+m=0,解得m=-1,所以直线CD的方程为x-y-1=0.故选A.
12.B　[解析] 方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0可化简为A(x-x0)+B(y-y0)=0,所以直线A(x-x0)+B(y-y0)=0必过点P(x0,y0).方程A(x-x0)+B(y-y0)=0所表示的直线的斜率与l:Ax+By+C=0的斜率相同,因此方程表示过点P且与l平行的直线.
13.AB　[解析] 对于A,当m变化时,直线l1:3x+2y-m=0的斜率k=-,所以l1的倾斜角不变,故A正确;对于B,直线l2:xsin α-y+1=0恒过定点(0,1),故B正确;对于C,假设l1与l2平行,则-3=2sin α,即sin α=-,这与sin α∈[-1,1]相矛盾,假设不成立,所以l1与l2不可能平行,故C不正确;对于D,假设l1与l2垂直,则3sin α-2=0,即sin α=∈[-1,1],所以l1与l2可能垂直,故D不正确.故选AB.
14.　[解析] ∵直线l1:ax+y-2=0,l2:(a+3)x-2by+1=0(a>0,b>0)互相垂直,∴a(a+3)-2b=0,∴=.∵a>0,b>0,∴∈,∴的取值范围为.
15.B　[解析] 由题可知,△ABC的重心为,即(1,1).易知△ABC为直角三角形,所以△ABC的外心为斜边中点,即,所以△ABC的欧拉线方程为=,即x+2y-3=0.因为ax+(a2-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,所以=≠,解得a=-1.故选B.
16.-2或　[解析] 由=a+1,得(a+1)x-y=2a-1,x≠2.因为A∩B≠ ,所以A≠ ,B≠ ,所以直线(a+1)x-y=2a-1,x≠2与(a2-1)x-(a-1)y=15,a≠±1有交点.因为=,所以两直线重合,所以=a-1,得2a2-3a-14=0,解得a=-2或a=.1.3　两条直线的平行与垂直
【学习目标】
　　1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件.
　　2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
　　3.运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程,解决相应的几何问题.
◆ 知识点一　两条直线平行
类型 斜率k1,k2存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 　　　 l1∥l2 两条直线的 斜率都不存在
图示
◆ 知识点二　两条直线垂直
类型 斜率k1,k2存在 斜率不存在
前提条件 α1≠90°,α2≠90° α1=90°,α2=0°
图示
对应关系 对于斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,l1⊥l2 　　　 若l1的斜率不存在,l2的斜率为0,则　　　
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的充要条件. (　 )
(2)“直线l1,l2的斜率之积为-1”是“直线l1,l2互相垂直”的充要条件. (　 )
(3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. (　 )
(4)已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. (　 )
2.l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是什么 l1⊥l2 k1k2=-1成立的前提条件是什么
◆ 探究点一　两条直线平行的判定
例1 根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行或重合:
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3);
(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5);
(4)l1:3x+5y-4=0,l2:6x+10y+7=0.
[素养小结]
利用两条直线的斜率判断两条直线是否平行的方法如下:
◆ 探究点二　两条直线垂直的判定
例2 根据下列条件,判断直线l1与l2是否垂直:
(1)l1的倾斜角为,l2经过M(-4,-),N(5,2)两点;
(2)l1的斜率为-,l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点;
(3)l1的斜率为-,l2的倾斜角为α,α为锐角,且tan 2α=-;
(4)l1:5x-11y+2=0,l2:33x+15y-7=0.
变式 在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的四个顶点为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状并证明.
[素养小结]
判断两直线是否垂直的依据:在这两条直线的斜率都存在(所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在)的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行(或重合)时,两直线也垂直.
◆ 探究点三　利用一般式解决直线的平行和垂直问题
例3 求证:(1)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,且l1∥l2,则A1B2-A2B1=0,且当斜率存在时,B1C2-B2C1≠0,当斜率不存在时,A1C2-A2C1≠0.
(2)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,且l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.
变式 已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求实数m的值,使得:
(1)l1,l2相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2.
[素养小结]
利用一般式解决直线的平行和垂直问题时,要对参数进行分类讨论,关注直线斜率是否存在、斜率是否为零等特殊情况.1.3　两条直线的平行与垂直
1.若直线l1的斜率为2,l1⊥l2,则直线l2的斜率为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.2
C. D.-2
2.过点A(1,2)和点B(-3,2)的直线与x轴的位置关系是 (　 )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.以上都不对
3.已知直线l1:mx+2y-4=0,l2:2x+y-8=0,若l1⊥l2,则m的值为(　 )
A.-1 B.2
C.3 D.4
4.[2025·江苏如东中学高二月考] 已知直线l1:x+y+m=0,l2:x+m2y=0,则“l1∥l2”是“m=1”的 (　 )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平行的直线l的方程为 (　 )
A.3x+2y+7=0
B.3x+2y-1=0
C.2x-3y+5=0
D.2x-3y+8=0
6.[2025·江苏徐州一中高二月考] 过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线l的方程为(　 )
A.2x+y-1=0
B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y+7=0
7.若直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7重合,则实数a的值为　　　　.
8.在△ABC中,A(1,3),B(4,1),C(5,5),则BC边上的高AD所在的直线方程为　　　　　　.
9.(13分)已知直线l与直线3x+4y=0平行,且与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程.
10.(13分)在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求点D的坐标;
(2)试判定平行四边形ABCD是否为菱形.
11.已知平行四边形ABCD的顶点A(0,1),边AB所在直线的方程是x-y+1=0,对角线的交点为M(2,2),则边CD所在直线的方程为 (　 )
A.x-y-1=0 B.x-y+2=0
C.x+y-1=0 D.x+y-3=0
12.已知点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示 (　 )
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
13.(多选题)[2025·江苏苏州中学高二期中] 已知直线l1:3x+2y-m=0,l2:xsin α-y+1=0,则 (　 )
A.当m变化时,l1的倾斜角不变
B.当α变化时,l2过定点
C.l1与l2可能平行
D.l1与l2不可能垂直
14.[2025·安徽合肥一中高二质检] 已知直线l1:ax+y-2=0,l2:(a+3)x-2by+1=0(a>0,b>0)互相垂直,则的取值范围为　　　　.
15.[2025·江苏常州横林中学高二期中] 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心都在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.在△ABC中,A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为 (　 )
A.-2 B.-1
C.-1或3 D.3
16.已知集合A=与集合B={(x,y)|(a2-1)x-(a-1)y=15,a≠±1},若A∩B≠ ,则实数a的值为　　　　.

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