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本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1　(1)-5　(2)-
[解析] (1)由直线的倾斜角为135°,得斜率k=tan 135°=-1,即=-1,解得m=-5.
(2)设直线l,l'的倾斜角分别为α,β,则tan α=2,因为直线l绕点A按逆时针方向旋转60°得到直线l',所以β=α+60°,所以直线l'的斜率k=tan(α+60°)===-.
变式　(1)C　(2)4　[解析] (1)根据倾斜角的定义,并结合图形知,所求直线的倾斜角为180°-α.
(2)依题意知直线AC的斜率存在,则m≠-1.由kAC=3kBC,得=3·,解得m=4.
题型二
例2　解:(1)由点斜式,得直线方程为y-3=(x-5),即x-y-5+3=0.
(2)由题可得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.
(3)由两点式,得直线方程为=,即2x+y-3=0.
(4)由截距式,得直线方程为+=1,即x+3y+3=0.
变式　解:因为kl==2,所以直线的点斜式方程为y-1=2(x-2),斜截式方程为y=2x-3,一般式方程为2x-y-3=0,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为-3.
题型三
例3　(1)C　(2)D　[解析] (1)若直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行,则m2=4,可得m=±2.当m=2时,直线l1:2x+4y-6=0,直线l2:x+2y-3=0,此时两直线重合,不符合题意.所以“直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行”等价于“m=-2”.所以“m=-2”是“直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行”的充要条件.故选C.
(2)由两直线垂直得m·2+4×(-5)=0,解得m=10,所以直线l1的方程为10x+4y-2=0,又因为两直线的交点为(1,p),所以解得所以m+n-p=10-12+2=0,故选D.
例4　解:(1)方法一:∵l的方程可化为y=-x+3,∴l的斜率为-.
∵l'与l平行,∴l'的斜率为-.
又∵l'过点(-1,3),∴直线l'的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.
方法二:由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).将点(-1,3)的坐标代入上式得m=-9.
∴直线l'的方程为3x+4y-9=0.
(2)由题意可设所求直线方程为3x+4y+b=0.
令x=0,得y=-,即A;令y=0,得x=-,即B.
又∵△AOB的周长为10,即OA+OB+AB=10,∴++=10,解得b=±10,故所求直线方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0.
变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)当b=-2a时,两直线重合,当b≠-2a时,两直线平行,所以两直线的位置关系为重合或平行.故选D.
(2)因为l1⊥l2,所以a·1+(-2)·(a-1)=0,解得a=2,故选D.
题型四
例5　(1)3x+4y-11=0或x=1　(2)x-y+2=0　[解析] (1)由解得所以l1,l2的交点为(1,2).显然,直线x=1满足条件;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,依题意有=1,解得k=-,则此时直线l的方程为3x+4y-11=0,综上,所求直线方程为3x+4y-11=0或x=1.
(2)∵直线l1不过原点且与l2平行,∴可设直线l1的方程为x-y+a=0(a≠0且a≠),∴l1与l2之间的距离d==1,解得a=2或a=0(舍),∴直线l1的一般式方程为x-y+2=0.
变式　(1)B　(2)　[解析] (1)表示P(x0,y0)到原点的距离,易知点P(x0,y0)到原点距离的最小值为=2,则的最小值为2,故选B.
(2)l2:6x-8y+9=0,即3x-4y+=0,则平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:6x-8y+9=0之间的距离为=.
(3)解:(i)当m=1时,直线l的方程为x+3y+7=0,
所以点H(3,4)到直线l的距离d===.
(ii)当m=-3时,直线l的方程为x-y-1=0,
设点A关于直线l的对称点A'(x,y),
则解得即A'(5,0),
所以PA+PB=PA'+PB≥A'B==,
故PA+PB的最小值为.本章总结提升
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 题型一　斜率与倾斜角
[类型总述] (1)直线的斜率;(2)直线的倾斜角;(3)直线的倾斜角与斜率的关系.
例1 (1)若过点A(4,m),B(2,-3)的直线的倾斜角是135°,则m=　　　　.
(2)已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A按逆时针旋方向旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.
变式 (1)已知直线l的倾斜角为α,则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为 (　 )
A.α B.90°-α
C.180°-α D.90°+α
(2)设A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为　　　　.
◆ 题型二　直线方程
[类型总述] (1)直线方程的几种形式;(2)求直线方程.
例2 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式:
(1)斜率是,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1.
变式 已知直线l经过点A(2,1),B(3,3),求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程,并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距.
◆ 题型三　直线的平行与垂直
[类型总述] (1)两直线平行与垂直的条件;(2)由两直线平行与垂直求参数的值.
例3 (1)“m=-2”是“直线l1:mx+4y-6=0与直线l2:x+my-3=0平行”的 (　 )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)已知直线l1:mx+4y-2=0与直线l2:2x-5y+n=0互相垂直,且两直线的交点为(1,p),则m+n-p等于 (　 )
A.24 B.20
C.4 D.0
例4 (1)求过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0平行的直线l'的方程;
(2)求与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的△AOB(其中O为坐标原点,A在y轴上,B在x轴上)的周长为10的直线方程.
变式 (1)直线3x+2y+a=0与直线6x+4y-b=0的位置关系是 (　 )
A.相交但不垂直 B.平行
C.垂直 D.平行或重合
(2)已知直线l1:ax-2y+1=0与直线l2:x+(a-1)y-1=0垂直,则实数a的值为 (　 )
A.1 B.
C.- D.2
◆ 题型四　平面上的距离问题
[类型总述] (1)点点距离;(2)点线距离;(3)线线距离;(4)与距离有关的最值问题.
例5 (1)直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到l的距离为1,则直线l的方程为　　　　　　　　　.
(2)已知不过原点的直线l1与直线l2:x-y+=0平行,且直线l1与l2的距离为1,则直线l1的一般式方程为　　　　　　.
变式 (1)已知点P(x0,y0)在直线3x-4y-10=0上,则的最小值为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:6x-8y+9=0之间的距离为　　　　.
(3)[2025·石家庄一中高二期中] 已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(i)当m=1时,求点H(3,4)到直线l的距离;
(ii)当m=-3时,P为直线l上一动点,若A(1,4),B(3,5),求PA+PB的最小值.(共25张PPT)
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题型一 斜率与倾斜角
题型二 直线方程
题型三 直线的平行与垂直
题型四 平面上的距离问题
答案核查
题型一 斜率与倾斜角
［类型总述］（1）直线的斜率;（2）直线的倾斜角;（3）直线的倾
斜角与斜率的关系.
例1（1）若过点，的直线的倾斜角是 ，则
____．
[解析] 由直线的倾斜角为 ，得斜率 ，即
，解得 ．
（2）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点 按逆时针旋方
向旋转 得到直线，则直线 的斜率为_ _______．
[解析] 设直线，的倾斜角分别为 ， ，则 ，因为直线
绕点按逆时针方向旋转 得到直线，所以 ，
所以直线的斜率 ．
变式（1）已知直线的倾斜角为 ，则与关于 轴对称的直线的倾
斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据倾斜角的定义，并结合图形知，
所求直线的倾斜角为 ．
√
（2）设，，，若直线 的斜率等
于直线的斜率的3倍，则实数 的值为___．
4
[解析] 依题意知直线的斜率存在，则．
由 ，得，解得 ．
题型二 直线方程
［类型总述］（1）直线方程的几种形式;（2）求直线方程.
例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
（1）斜率是，且经过点 ；
解：由点斜式，得直线方程为 ，
即 ．
（2）斜率为4，在轴上的截距为 ；
解：由题可得直线方程为，即 ．
（3）经过， 两点；
解：由两点式，得直线方程为，即 ．
（4）在轴、轴上的截距分别为， ．
解：由截距式，得直线方程为，即 ．
例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
变式 已知直线经过点，，求直线 的点斜式、斜截式
和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、 轴上的截距．
解：因为，所以直线的点斜式方程为 ，
斜截式方程为，一般式方程为，直线在
轴上的截距为，在轴上的截距为 ．
题型三 直线的平行与垂直
［类型总述］（1）两直线平行与垂直的条件;（2）由两直线平行与
垂直求参数的值.
例3（1）“”是“直线 与直线
平行”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 若直线与直线 平行，
则，可得.
当时，直线 ，直线 ，
此时两直线重合，不符合题意.
所以“直线与直线 平行”等价于
“”.
所以“”是“直线 与直线
平行”的充要条件.故选C.
（2）已知直线与直线 互相垂
直，且两直线的交点为，则 等于( )
A.24 B.20 C.4 D.0
[解析] 由两直线垂直得，解得 ，所以直
线的方程为，
又因为两直线的交点为 ，所以解得
所以 ，故选D.
√
例4（1）求过点，且与直线平行的直线
的方程；
解：方法一：的方程可化为，的斜率为 .
与平行，的斜率为 .
又过点， 直线的方程为 ，即
.
方法二：由与平行，可设 的方程为
．将点的坐标代入上式得 .
直线的方程为 .
（2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的
（其中为坐标原点，在轴上，在 轴上）的周长为10的直线方程．
解：由题意可设所求直线方程为 .
令，得，即；令，得 ，即
.
又的周长为10，即 ，
，解得 ，故所求直
线方程为或 .
变式（1）直线与直线 的位置关系是
( )
A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.平行或重合
[解析] 当时，两直线重合，当 时，两直线平行，
所以两直线的位置关系为重合或平行.故选D.
√
（2）已知直线与直线 垂
直，则实数 的值为( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 因为，所以，解得 ，故选D.
√
题型四 平面上的距离问题
［类型总述］（1）点点距离;（2）点线距离；（3）线线距离；（4）
与距离有关的最值问题.
例5（1）直线过直线与直线 的
交点，且点到的距离为1，则直线 的方程为_______________
_________．
或
[解析] 由解得所以，的交点为 .显
然，直线满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线 的方程为，
即，依题意有 ，解得，
则此时直线的方程为 ，
综上，所求直线方程为或 ．
（2）已知不过原点的直线与直线 平行，且直线
与的距离为1，则直线 的一般式方程为________________．
[解析] 直线不过原点且与平行， 可设直线 的方程为
且，
与之间的距离 ，
解得或（舍），
直线 的一般式方程为
变式（1）已知点在直线上，则
的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 表示到原点的距离，易知点 到原
点距离的最小值为，则 的最小值为2，故选B.
√
（2）平行直线与 之间的距离
为___．
[解析] ，即 ,则平行直线
与之间的距离为 .
（3）［2025·石家庄一中高二期中］已知直线 的方程为
.
（i）当时，求点到直线 的距离；
解：当时，直线的方程为 ，
所以点到直线的距离 .
（ii）当时，为直线上一动点，若， ，求
的最小值.
解：当时，直线的方程为 ，
设点关于直线的对称点 ，
则解得即 ，
所以 ，
故的最小值为 .
快速核答案
例1 （1） （2） 变式 （1）C （2）4
例2 （1）（2） （3）
（4）
变式 直线的点斜式方程为，斜截式方程为，
一般式方程为，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为．
例3 （1）C （2）D
例4 （1） （2）或
变式 （1）D （2）D
例5 （1）或 （2）
变式 （1）B （2） （3）（i） （ii）

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