资源简介

微突破(一)　直线中的对称问题
例1　　[解析] 由中点坐标公式得a==.
变式　(4,6)　[解析] 设点C(x,y),由中点坐标公式得解得故C(4,6).
例2　C　[解析] 设A(x,y),因为点A与点B关于直线x+y+2=0对称,所以线段AB的中点在直线x+y+2=0上,且直线AB与直线x+y+2=0垂直,则解得即点A的坐标为(-3,-4).故选C.
变式　B　[解析] 因为点O(0,0)关于直线l的对称点为A(-4,2),所以直线l为线段OA的中垂线.由题可知,线段OA的中点为(-2,1),直线OA的斜率为=-,故直线l的斜率为2,故直线l的方程为 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.故选B.
例3　解:方法一:设直线l上任意一点M的坐标为(x,y),则此点关于点(2,-1)的对称点为M1(4-x,-2-y),
因为M1在直线3x-y-4=0上,
所以3(4-x)-(-2-y)-4=0,
即3x-y-10=0,所以直线l的方程为3x-y-10=0.
方法二:在直线3x-y-4=0上取两点A(0,-4),B(1,-1),
则点A(0,-4)关于点(2,-1)的对称点为A1(4,2),点B(1,-1)关于点(2,-1)的对称点为B1(3,-1).
可得直线A1B1的斜率为=3,所以直线A1B1的方程为y-2=3(x-4),即3x-y-10=0,即直线l的方程为3x-y-10=0.
方法三:易知所求直线l与直线3x-y-4=0平行,故可设l的方程为3x-y+C=0(C≠-4).
在直线3x-y-4=0上取一点(0,-4),
因为点(0,-4)关于点(2,-1)的对称点(4,2)在直线3x-y+C=0上,
所以3×4-2+C=0,所以C=-10.
所以直线l的方程为3x-y-10=0.
变式　B　[解析] 设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y),则P(x,y)关于A(1,1)对称的点为(2-x,2-y),因为(2-x,2-y)在直线4x+3y-2=0上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.故选B.
例4　解: 在直线m上任取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.
设M'的坐标为(a,b),
则解得
即M'.
设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3).
又直线m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0.
变式　A　[解析] 由得
则直线l1与直线l的交点为N(2,0).在直线l1:x-2y-2=0上取一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线l:2x-y-4=0的对称点为M(a,b),则解得
即M,故直线l2的斜率k=-,所以直线l2的方程为y=-(x-2),即11x+2y-22=0.故选A.
例5　解:设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),连接OA,如图所示,
由直线OA与l垂直,及线段AO的中点在l上,得解得所以点A的坐标为(4,3).
因为反射光线的反向延长线过A(4,3),且反射光线过P(-4,3),A,P两点纵坐标相等,
所以反射光线所在直线的方程为y=3.
由解得由于反射光线为射线,
故反射光线的方程为y=3.
由光的性质可知,光线从O到P所走过的路程即为AP的长度,
由A(4,3),P(-4,3)知,AP=4-(-4)=8,即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
例6　解:(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则
解得故A'(-2,8).连接A'B,则A'B所在直线方程为x=-2.
∵P为直线l上的一点,∴PA+PB=PA'+PB≥A'B,
当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,此时PA+PB取得最小值,点P是直线A'B与直线l的交点.
由解得
∴所求的点P的坐标为(-2,3).
(2)由题意知,A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,
则|PB-PA|≤AB,当且仅当A,B,P三点共线时等号成立,
此时|PB-PA|取得最大值,点P是直线AB与直线l的交点.
∵A(2,0),B(-2,-4),∴直线AB的方程为y=×(x-2),即y=x-2,
由解得∴所求的点P的坐标为(12,10).
变式　(1)A　[解析] 由题意知,AB所在直线的方程为x+y-4=0.如图,易知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程为CD=2.
(2)解:①设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b),
则kBB'·kl=-1,即×1=-1,
∴a+b-4=0①.
∵线段BB'的中点在直线l上,
∴--1=0,即a-b-6=0②.
由①②得∴点B'的坐标为(5,-1).∴AB'所在直线的方程为=,即2x+y-9=0.
易知|PB-PA|=|PB'-PA|≤AB',当且仅当P,B',A三点共线时,|PB'-PA|取得最大值.
联立直线l与AB'的方程,解得x=,y=,即l与AB'的交点坐标为,故点P的坐标为.
②设点C关于l的对称点为C'(x,y),由题意得解得
则C'的坐标为(1,2),可得AC'所在直线的方程为x+3y-7=0.
易知QA+QC=QA+QC'≥AC',当且仅当Q,A,C'三点共线时,QA+QC'取得最小值.
联立直线AC'与l的方程,解得x=,y=,即AC'与l的交点坐标为.故点Q的坐标为.微突破(一)　直线中的对称问题
1.A　[解析] 设点(3,4)关于直线x+y+1=0对称的点的坐标为(m,n), 则解得所以点(3,4)关于直线x+y+1=0对称的点的坐标为(-5,-4).故选A.
2.D　[解析] 易知点(0,1),(1,3)在直线y=2x+1上,点(0,1),(1,3)关于原点对称的点分别为(0,-1),(-1,-3),则(0,-1),(-1,-3)在所求直线上,所求直线的斜率k==2,则所求直线方程为y=2(x-0)-1=2x-1.故选D.
3.A　[解析] 设直线2x-4y-1=0上一点P(x0,y0)关于直线x+y=0对称的点为P'(x,y),则
解得所以-2y+4x-1=0,则直线2x-4y-1=0关于x+y=0对称的直线方程为4x-2y-1=0.故选A.
4.A　[解析] 设点M(-1,-1)关于直线l的对称点为M'(x0,y0),则
解得即M'(-2,0),所以(HM+HN)min=(HM'+HN)min=NM'==6.故选A.
5.B　[解析] 设点A关于直线l:x-y+2=0的对称点为A1(x1,y1),点A(1,1)关于x轴的对称点为A2(x2,y2),连接A1A2,交l于点B,交x轴于点C,则此时△ABC的周长取得最小值,且最小值为A1A2.∵A1与A(1,1)关于直线l对称,∴解得
∴A1(-1,3).易求得A2(1,-1),∴A1A2=2,即△ABC周长的最小值为2.故选B.
6.　[解析] 根据题意得,A(-1,1)关于x轴的对称点为A'(-1,-1),则点A'在反射光线所在直线上,又反射光线过点B(2,5),所以反射光线所在直线的方程为y=(x-2)+5,即y=2x+1,当y=0时,x=-,即点P的坐标为.
7.(1,0)　[解析] 设点B关于x轴的对称点为B',连接AB',与x轴交于点M,此时AM+BM取得最小值.因为B(2,2)与B'关于x轴对称,所以B'(2,-2),又A(-3,8),所以直线AB'的方程为y+2=(x-2),即y=-2x+2,令y=0,解得x=1,所以M(1,0).
8.x-4y-1=0　[解析] 根据题意,设P,Q,p≠0,q≠0,又线段PQ的中点是(1,0),所以整理得
所以p,q为方程x2-2x-1=0的根,解得x=1±,所以P,Q,或P,Q.由两点式得直线PQ的方程为x-4y-1=0.
9.解:(1)如图,设B(m,0),设点B关于直线x-y+3=0的对称点为B'(a,b),
则解得
易知点A关于x轴的对称点为A'(1,-2),连接A'B,B'A,则根据光学知识知,点C在直线A'B上,且点C在直线B'A上.
直线A'B的方程为y=(x-m).
由得x=.
直线AB'的方程为y-2=(x-1),由
得x=.所以=,
即3m2+8m-3=0,解得m=或-3.
当m=时,符合题意;
当m=-3时,点B在直线x-y+3=0上,不能构成三角形.综上,符合题意的△ABC只有1个.
(2)由(1)得m=,
则直线A'B的方程为3x+y-1=0,即直线BC的方程为3x+y-1=0.微突破(一)　直线中的对称问题
一、点关于点对称问题
求点P(x1,y1)关于点A(x0,y0)的对称点Q(a,b),由得　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 已知点A(3,2)关于点B(2,a)的对称点为C(1,1),则实数a=　　　　.
变式 点A(2,4)关于点B(3,5)的对称点C的坐标为　　　　.
二、点关于直线对称问题
求点P(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(a,b).
①设线段PQ的中点为M,利用中点坐标公式得M,将M的坐标代入直线方程Ax+By+C=0中.
②kPQ·kl=-1.
由①②得解方程组即可求得a,b的值.
例2 已知点A与点B(2,1)关于直线x+y+2=0对称,则点A的坐标为 (　 )
A.(-1,4) B.(4,5)
C.(-3,-4) D.(-4,-3)
变式 若原点O(0,0)与点A(-4,2)关于直线l对称,则直线l的方程是 (　 )
A.x+2y=0 B.2x-y+5=0
C.2x+y+3=0 D.x-2y+4=0
三、直线关于点对称问题
求直线l1关于点P(P不在l1上)对称的直线l2的方程.
方法一:如图,在直线l1上找一点A,求点A关于点P对称的点B,根据l1∥l2,得k1=k2,再由点斜式求解.
方法二:由l1∥l2,设出直线l2的方程,由点P到两直线的距离相等,即d1=d2求参数.
方法三:找直线l2上任意一点(x,y),求该点关于点P的对称点,由对称点在直线l1上可得关于x,y的方程,即直线l2的方程.
例3 求直线3x-y-4=0关于点(2,-1)对称的直线l的方程.
变式 直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 (　 )
A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0
C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0
四、直线关于直线对称问题
1.直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)和l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)相交,求l1关于直线l对称的直线l2.
①如图,求出l1与l的交点P;
②在l1上任意取一点M(非P点),求出M关于直线l的对称点N;
③根据P,N两点求出直线l2.
2.直线l1:A1x+B1y+C1=0(+≠0)和l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行,求l1关于直线l对称的直线l2.
①易知k2=k1;
②如图,在直线l1上任取一点M,求点M关于直线l的对称点N,利用点斜式求直线l2.
例4 已知直线l:2x-3y+1=0, 求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程.
变式 设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0对称,则直线l2的方程是 (　 )
A.11x+2y-22=0 B.11x+y+22=0
C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0
五、对称的运用
1.根据平面几何知识和光学知识可知,入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
2.利用对称性求距离的最值问题.
由平面几何知识(三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差的绝对值最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如A关于直线l的对称点A',得直线A'B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
例5 一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.
例6 已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).
(1)在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小;
(2)在直线l上求一点P,使|PB-PA|的值最大.
变式 (1)如图所示,已知点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB(O为坐标原点)上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是 (　 )
A.2 B.6 C.3 D.2
(2)在直线l:x-y-1=0上求两点P,Q,使得:
①P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大;
②Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.微突破(一)　直线中的对称问题
1.点(3,4)关于直线x+y+1=0对称的点的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-5,-4) B.(5,-4)
C.(-5,4) D.(5,4)
2.直线y=2x+1关于原点对称的直线方程是(　 )
A.y=2x
B.y=-2x-1
C.y=-2x+1
D.y=2x-1
3.直线2x-4y-1=0关于x+y=0对称的直线方程为 (　 )
A.4x-2y-1=0
B.4x-2y+1=0
C.4x+2y+1=0
D.4x+2y-1=0
4.[2025·福建厦门高二期末] 已知点M(-1,-1),N(4,0),H是直线l:x-y+1=0上的动点,则HM+HN的最小值为 (　 )
A.6 B.2
C. D.6
5.[2025·安徽黄山高二期中] 在△ABC中,顶点A(1,1),点B在直线l:x-y+2=0上,点C在x轴上,则△ABC的周长的最小值为 (　 )
A. B.2
C.4 D.
6.一条光线从点A(-1,1)出发射向x轴,经过x轴上的点P反射后经过点B(2,5),则点P的坐标为　　　　.
7.已知点A(-3,8)和B(2,2),在x轴上求一点M,使得AM+BM最小,则点M的坐标为　　　　.
8.[2025·江苏南京一中高二期中] 已知点P,Q在函数y=的图象上,且P,Q关于点(1,0)对称,则直线PQ的方程是　　　　　　.
9.(13分)[2025·江苏盐城高二月考] 已知直线l:x-y+3=0,一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从点B反射到l上的一点C,最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数;
(2)求直线BC的方程.(共45张PPT)
微突破（一） 直线中的对称问题
一、点关于点对称问题
二、点关于直线对称问题
三、直线关于点对称问题
四、直线关于直线对称问题
五、对称的运用
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
一、点关于点对称问题
求点关于点的对称点,由 得
例1 已知点关于点的对称点为，则实数 __.
[解析] 由中点坐标公式得 .
变式 点关于点的对称点 的坐标为______.
[解析] 设点，由中点坐标公式得解得故 .
二、点关于直线对称问题
求点关于直线的对称点 .
①设线段的中点为，利用中点坐标公式得，将
的坐标代入直线方程 中.
.
由①②得解方程组即可求得, 的值.
例2 已知点与点关于直线对称，则点 的坐标
为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，因为点与点关于直线 对称，所以
线段的中点在直线上,且直线 与直线垂直，
则解得即点 的坐标为 .故选C.
√
变式 若原点与点关于直线对称，则直线 的方程是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析]因为点关于直线的对称点为，所以直线为线
段 的中垂线.
由题可知，线段的中点为，直线 的斜率为，
故直线的斜率为2，故直线的方程为 ，
即 .故选B.
三、直线关于点对称问题
求直线关于点不在上对称的直线 的方程.
方法一：如图，在直线上找一点，求点关于点 对
称的点，根据，得 ，再由点斜式求解.
方法二：由，设出直线的方程，由点 到两直线
的距离相等，即 求参数.
方法三：找直线上任意一点，求该点关于点 的对称点，由
对称点在直线上可得关于，的方程，即直线 的方程.
例3 求直线关于点对称的直线 的方程.
解：方法一：设直线上任意一点的坐标为 ，则此点关于点
的对称点为 ，
因为在直线 上，
所以 ，
即，所以直线的方程为 .
方法二：在直线上取两点， ，
则点关于点的对称点为，点 关于点
的对称点为 .
可得直线的斜率为，所以直线 的方程为
，即，即直线 的方程为
.
方法三：易知所求直线与直线平行，故可设 的方程
为 .
在直线上取一点 ，
因为点关于点的对称点在直线 上，
所以，所以 .
所以直线的方程为 .
变式 直线关于点 对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设直线关于点 对称的直线上任意一
点，则关于对称的点为 ，
因为在直线 上，
所以，即 .故选B.
四、直线关于直线对称问题
1.直线 和
相交,求关于直线对称的直线 .
①如图，求出与的交点 ；
②在上任意取一点（非点），求出关于直线的对称点 ；
③根据，两点求出直线 .
2.直线 和
平行,求关于直线对称的直线 .
①易知 ；
②如图，在直线上任取一点，求点关于直线 的对
称点，利用点斜式求直线 .
例4 已知直线,求直线 关于直
线对称的直线 的方程.
解： 在直线上任取一点，则关于直线的对称点
必在直线 上.设的坐标为 ，
则解得 即 .
设直线与直线的交点为，则由得 .
又直线经过点，所以由两点式得直线 的方程为
.
变式 设直线与关于直线 对称，
则直线 的方程是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由得
则直线与直线的交点为.
在直线 上取一点，设点关于直线
的对称点为 ，
则解得 即，
故直线的斜率，所以直线 的方程为
，即 .故选A.
五、对称的运用
1.根据平面几何知识和光学知识可知，入射光线、反射光线上对应的
点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
2.利用对称性求距离的最值问题.
由平面几何知识（三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边
之差的绝对值小于第三边）可知，要解决在直线 上求一点，使这点
到两定点，的距离之差的绝对值最大的问题，若这两点， 位于
直线的同侧，则只需求出直线 的方程，再求它与已知直线的交点，
即得所求点的坐标；若，两点位于直线的异侧，则先求， 两
点中某一点，如关于直线的对称点，得直线 的方程，再求其
与直线的交点即可.对于在直线上求一点，使到平面上两点，
的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
例5 一束光线从原点出发，经过直线 反射后通
过点，求反射光线的方程及光线从点到达 点所走过的路程.
解：设原点关于直线的对称点的坐标为 ，
连接 ，如图所示，
由直线与垂直，及线段的中点在 上，得
解得所以点 的坐标为 .
因为反射光线的反向延长线过，且反射光线过，，
两点纵坐标相等，所以反射光线所在直线的方程为 .
由解得 由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为 .
由光的性质可知，光线从到 所走过的路程即为
的长度，
由，知， ，即
光线从经直线反射后到达 点所走过的路程为8.
例6 已知直线和点， .
（1）在直线上求一点，使 的值最小；
解：设点关于直线的对称点为 ，则
解得故.
连接，则所在直线方程为 .
为直线上的一点， ，
当且仅当，，三点共线时等号成立，此时 取得最小值，
点是直线与直线 的交点.
由解得
所求的点的坐标为 .
（2）在直线上求一点，使 的值最大.
解：由题意知，，两点在直线的同侧，是直线 上的一点，
则，当且仅当，， 三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点是直线与直线 的交点.
,， 直线的方程为 ，即
,
由解得 所求的点的坐标为 .
变式（1）如图所示，已知点， ，从点
射出的光线经直线反射后再射到直线
为坐标原点上，最后经直线反射后又回到点 ，
则光线所经过的路程是( )
A. B.6 C. D.
[解析] 由题意知， 所在直线的方程为.
如图，易知点关于直线 的对称点为，
关于轴的对称点为 ，
则光线所经过的路程为 .
√
（2）在直线上求两点， ，使得：
①到与 的距离之差最大；
解：设点关于的对称点的坐标为 ，
则，即 ，
.
线段的中点在直线 上，
，即 .
由①②得 点的坐标为 所在直线的方程为
，即 .
易知，当且仅当，， 三点共线
时， 取得最大值.
联立直线与的方程，解得，，即与 的交点坐标
为，故点的坐标为 .
②到与 的距离之和最小.
解：设点关于的对称点为，由题意得 解得
则的坐标为，可得所在直线的方程为 .
易知，当且仅当，， 三点共线时，
取得最小值.
联立直线与的方程，解得，，即与 的交点坐标为
.故点的坐标为 .
练习册
1.点关于直线 对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设点关于直线对称的点的坐标为 ，
则解得所以点 关于直线
对称的点的坐标为 .故选A.
√
2.直线 关于原点对称的直线方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知点,在直线上，点， 关于原
点对称的点分别为,，
则, 在所求直线上,所求直线的斜率 ，
则所求直线方程为 .故选D.
√
3.直线关于 对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设直线上一点关于直线 对
称的点为，则 解得
所以，则直线 关于
对称的直线方程为 .故选A.
4.［2025·福建厦门高二期末］已知点，， 是直线
上的动点，则 的最小值为( )
A.6 B. C. D.
√
[解析] 设点关于直线的对称点为 ，则
解得即 ，所以
.故选A.
5.［2025·安徽黄山高二期中］在中，顶点，点 在直线
上，点在轴上，则 的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设点关于直线的对称点为 ，点
关于轴的对称点为，连接，交于点，交 轴
于点，则此时的周长取得最小值，且最小值为
与关于直线对称，解得
.
易求得，，即 周长的最小值为 .故选B.
6.一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点 反射后经过
点，则点 的坐标为________.
[解析] 根据题意得，关于轴的对称点为,则点
在反射光线所在直线上，
又反射光线过点 ，所以反射光线所在直线的方程为
，即，
当 时，，即点的坐标为 .
7.已知点和，在轴上求一点，使得 最小，
则点 的坐标为______.
[解析] 设点关于轴的对称点为，连接，与轴交于点 ，此
时取得最小值.
因为与关于 轴对称，所以，
又，所以直线的方程为 ,
即，令，解得，所以 .
8.［2025·江苏南京一中高二期中］已知点，在函数 的图
象上，且，关于点对称，则直线 的方程是_______________.
[解析] 根据题意，设，，, ，又线段
的中点是，所以整理得
所以，为方程的根，解得 ，所以
，，或， .
由两点式得直线的方程为 .
9.（13分）［2025·江苏盐城高二月考］ 已知直线 ，
一束光线从点处射向轴上一点，又从点反射到 上的一点
，最后从点反射回点 .
（1）试判断由此得到的 的个数；
解：如图，设，设点 关于直线
的对称点为 ,
则解得
易知点关于轴的对称点为，连接， ，则根据光学
知识知，点在直线上，且点在直线 上.
直线的方程为 .
由得 .
直线的方程为 ，
由 得.
所以 ，
即，解得或 .
当 时，符合题意；
当时，点在直线 上，不能构
成三角形.
综上，符合题意的 只有1个.
（2）求直线 的方程.
解：由（1）得 ，
则直线的方程为 ，
即直线的方程为 .
快速核答案（导学案）
例1 变式 例2 C 变式 B
例3 变式 B
例4 变式 A
例5 反射光线的方程为.光线从到达点所走过的路程为8.. \
例6 （1）（2）
变式 （1）A （2）① ②
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6. 7. 8.
9.（1）1个 （2）

展开更多......

收起↑