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滚动习题(一)
1.B　[解析] 设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),因为直线过点A(-1,0)和B(2,3),且斜率存在,所以tan α==1.因为0°≤α<180°,所以α=45°,故选B.
2.D　[解析] 因为l1⊥l2,所以3×4-2a=0,解得a=6.故选D.
3.C　[解析] 当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意,因为直线过点A(1,2),所以直线的斜率为=2,所以直线的方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设直线的方程为+=1(a≠0),因为点A(1,2)在直线上,所以+=1,解得a=-1,所以直线的方程为x-y+1=0.故所求直线的方程为2x-y=0或x-y+1=0.故选C.
4.A　[解析] 由P(1,3),N(5,6),得kPN==,由P(1,3),M(2,-1),得kPM==-4,因为直线l与线段MN相交,所以kPM≤k≤kPN,即-4≤k≤.故选A.
5.C　[解析] 由(4m-1)x-(m-1)y+2m+1=0,可得(4x-y+2)m-x+y+1=0,由解得
所以直线l恒过定点N(-1,-2).当直线MN与直线l垂直时,点M到直线l的距离取得最大值,此时×=-1,解得m=-2.故选C.
6.C　[解析] 设点A(-2,1)关于直线x-3y=0的对称点为D(a,b),则解得则D(-1,-2),所以AC+BC=DC+BC,易知当B,D,C三点共线时,AC+BC取得最小值,最小值为DB==2.故选C.
7.ACD　[解析] 对于A,由y=ax-3a+2,得y=a(x-3)+2,故直线必过定点(3,2),故A正确.对于B,y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B错误.对于C,直线x-y+1=0的斜率为,故该直线的倾斜角θ满足tan θ=,又0°≤θ<180°,所以θ=30°,故C正确.对于D,因为直线x=-2垂直于x轴,所以点(5,-3)到直线x=-2的距离为5-(-2)=7,故D正确.故选ACD.
8.BD　[解析] 由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,整理得m(x+2y-1)-x-y+5=0,由得所以直线恒过定点(9,-4),不可能存在两条互相平行的直线,可能存在两条互相垂直的直线,但不可能有一条直线与另两条直线垂直.故选BD.
9.2x+y-7=0　[解析] ∵直线l与直线2x+y-5=0平行,∴可设直线l的方程为2x+y+c=0(c≠-5),又直线l过点A(2,3),∴4+3+c=0,解得c=-7,∴直线l的方程为2x+y-7=0.
10.　[解析] 因为直线2x-y+3=0与直线ax-y+4=0平行,所以-2+a=0,解得a=2,所以两直线方程分别为2x-y+3=0和2x-y+4=0,所以d==.故a·d=.
11.　2x-y-7=0　[解析] 点M(1,0)到直线l的距离为==.设(x0,y0)为对称直线上任意一点,则点(x0,y0)关于点M的对称点为(2-x0,-y0),因为点(2-x0,-y0)在直线l上,所以-y0=2(2-x0)+3,化简得2x0-y0-7=0,所以所求直线的方程为2x-y-7=0.
12.解:(1)因为直线l1的方程为x+2y-3=0,l1⊥l2,所以直线l2的斜率为2,
又l2在x轴上的截距为,所以直线l2过点,
所以直线l2的方程为y=2,即2x-y-1=0.
由解得故l1与l2的交点为(1,1).
(2)当直线l3过原点时,直线l3的斜率为=1,故l3的方程为y=x.
当直线l3不过原点时,设l3的方程为+=1(a≠0),则=1,解得a=,此时l3的方程为2x+y=3,
即2x+y-3=0.综上所述,l3的方程为y=x或2x+y-3=0.
13.解:(1)显然直线l的斜率存在且不过原点,由题可设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),因为点P(2,1)在直线l上,所以+=1,a>0,b>0,
因为+=1≥2,当且仅当a=4,b=2时取等号,所以ab≥8,所以S△ABO=OA·OB=ab≥×8=4,即△ABO面积的最小值为4.
此时直线l的方程为+=1,
即x+2y-4=0.
(2)由(1)可知+=1(a>0,b>0),且OA+OB=a+b,
所以OA+OB=a+b=(a+b)=3++≥3+2,当且仅当a=2+,b=+1时取等号,此时直线l的方程为x+y-2-=0.
14.解:(1)设直线l的方程为x+2y-4+λ(x-y-1)=0,即(1+λ)x+(2-λ)y-4-λ=0,则点P到直线l的距离d===2,解得λ=-1或,则直线l的方程为y=1或4x+3y-11=0.
(2)设直线l3上任意一点M(x,y)关于直线l2对称的点为N(x',y'),连接MN,则MN⊥l2,线段MN的中点在l2上,且N在l1上.
可得解得
则点N(y+1,x-1).将点N的坐标代入直线l1的方程中,得y+1+2(x-1)-4=0,整理得2x+y-5=0,即直线l3的方程为2x+y-5=0.滚动习题(一)
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.若一条直线过点A(-1,0)和B(2,3),则该直线的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.[2025·深圳期末] 已知直线l1:3x-2y+6=0和直线l2:4x+ay+3=0,若l1⊥l2,则实数a的值为 (　 )
A.-6 B.- C. D.6
3.若过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线的方程为 (　 )
A.x-y+1=0
B.x+y-1=0
C.2x-y=0或x-y+1=0
D.2x-y=0或x+y-3=0
4.已知点M(2,-1),N(5,6),直线l过点P(1,3),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是 (　 )
A.-4≤k≤ B.k≤-4或k≥
C.≤k≤4 D.-≤k≤4
5.当点M(2,-3)到直线l:(4m-1)x-(m-1)y+2m+1=0的距离取得最大值时,m=(　 )
A.2 B. C.-2 D.-4
6.已知A(-2,1),B(1,2),点C为直线x-3y=0上的动点,则AC+BC的最小值为 (　 )
A.2 B.2
C.2 D.2
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.下列说法中正确的有 (　 )
A.直线y=ax-3a+2 (a∈R)必过定点(3,2)
B.直线y=3x-2 在y轴上的截距为2
C.直线x-y+1=0 的倾斜角为30°
D.点(5,-3)到直线x+2=0的距离为7
8.已知m∈R,则关于直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5,下列说法正确的是 (　 )
A.存在两条互相平行的直线
B.都经过一个定点
C.其中某一条直线与另两条直线垂直
D.可能存在两条直线互相垂直
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知直线l过点A(2,3)且平行于直线2x+y-5=0,则直线l的方程为　　　　　　.
10.若两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d,则a·d=　　　　.
11.已知直线l:y=2x+3,则点M(1,0)到直线l的距离等于　　　　;直线l关于点M对称的直线的方程为　　　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知直线l1的方程为x+2y-3=0,l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1和l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.
13.(15分)过点P(2,1)作直线l,分别交x,y轴的正半轴于点A,B.
(1)求△ABO(其中O为坐标原点)面积的最小值及相应的直线l的方程;
(2)当OA+OB取得最小值时,求直线l的方程.
14.(15分)已知直线l1:x+2y-4=0与直线l2:x-y-1=0的交点为A,直线l经过点A,点P(1,-1)到直线l的距离为2,直线l3与直线l1关于直线l2对称.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l3的方程.(共23张PPT)
滚动习题（一）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.若一条直线过点和 ，则该直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线的倾斜角为，因为直线过点
和，且斜率存在，所以.
因为 ，所以 ，故选B.
√
2.［2025·深圳期末］已知直线 和直线
，若，则实数 的值为( )
A. B. C. D.6
[解析] 因为，所以，解得 ．故选D.
√
3.若过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线的方程
为( )
A. B.
C.或 D.或
√
[解析] 当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意,因
为直线过点,所以直线的斜率为 ,所以直线的方程为
,即 ;
当直线不过原点时,设直线的方程为,
因为点在直线上,所以 ,解得,
所以直线的方程为 .
故所求直线的方程为或 .故选C.
4.已知点,，直线过点，且与线段 相交，则
直线的斜率 的取值范围是( )
A. B.或
C. D.
[解析] 由,，得，由, ，得
，
因为直线与线段相交，所以 ，
即 .故选A.
√
5.当点到直线 的距离
取得最大值时， ( )
A.2 B. C. D.
[解析] 由 ，可得
，由解得
所以直线恒过定点.
当直线与直线垂直时，点 到直线的距离取得最大值，
此时，解得 .故选C.
√
6.已知，，点为直线 上的动点，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设点关于直线的对称点为 ，则
解得则 ，
所以，易知当，，三点共线时， 取得
最小值，最小值为 ．故选C.
√
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.下列说法中正确的有( )
A.直线必过定点
B.直线在 轴上的截距为2
C.直线的倾斜角为
D.点到直线 的距离为7
√
√
√
[解析] 对于A,由,得 ,故直线必过定
点，故A正确.
对于B，在轴上的截距为 ，故B错误.
对于C,直线的斜率为,故该直线的倾斜角 满足
,又 ,所以 ，故C正确.
对于D，因为直线垂直于轴,所以点到直线 的距
离为，故D正确.
故选 .
8.已知,则关于直线 ，下列说法
正确的是( )
A.存在两条互相平行的直线
B.都经过一个定点
C.其中某一条直线与另两条直线垂直
D.可能存在两条直线互相垂直
√
√
[解析] 由 ,整理得
，由得
所以直线恒过定点 ，
不可能存在两条互相平行的直线，可能存在两条互相垂直的直线，
但不可能有一条直线与另两条直线垂直．故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知直线过点且平行于直线,则直线 的方程
为______________.
[解析] 直线与直线平行， 可设直线 的方程为
，
又直线过点， ，解得，
直线的方程为 ．
10.若两条平行直线和间的距离为 ，
则 ____.
[解析] 因为直线与直线 平行，所以
，解得，
所以两直线方程分别为 和，
所以.故 .
11.已知直线，则点到直线 的距离等于____；直
线关于点 对称的直线的方程为______________．
[解析] 点到直线的距离为.
设 为对称直线上任意一点，则点关于点的对称点为
，
因为点在直线上，所以 ，化简得
，所以所求直线的方程为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知直线的方程为，在 轴上的截距
为，且 ．
（1）求直线和 的交点坐标；
解:因为直线的方程为，，所以直线 的斜率为2，
又在轴上的截距为，所以直线过点 ，
所以直线的方程为，即 .
由解得故与的交点为 .
（2）已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在 轴上的
截距的2倍，求 的方程．
解:当直线过原点时，直线的斜率为,故的方程为 .
当直线不过原点时，设的方程为，则 ，
解得，此时的方程为 ，即.
综上所述，的方程为或 .
13.（15分）过点作直线，分别交,轴的正半轴于点, ．
（1）求（其中为坐标原点）面积的最小值及相应的直线 的
方程；
解:显然直线的斜率存在且不过原点，由题可设直线 的方程为
，因为点在直线上，所以 ，
, ,
因为，当且仅当,时取等号，所以 ，
所以，即 面积的最小值
为4.
此时直线的方程为 ，
即 .
（2）当取得最小值时，求直线 的方程.
解:由（1）可知，且 ，
所以 ，当
且仅当,时取等号，此时直线 的方程为
.
13.（15分）过点作直线，分别交,轴的正半轴于点, ．
14.（15分）已知直线与直线 的
交点为，直线经过点，点到直线的距离为2，直线 与
直线关于直线 对称.
（1）求直线 的方程；
解:设直线的方程为 ，即
，则点到直线 的距离
，解得或，则直线 的方
程为或 .
（2）求直线 的方程.
解:设直线上任意一点关于直线对称的点为 ，连接
，则，线段的中点在上，且在 上.
可得解得 则点.
将点的坐标代入直线 的方程中，得，
整理得，即直线 的方程为 .
快速核答案
1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C
7.ACD 8.BD
9. 10. 11.
12.（1）（2）或
13.（1）面积的最小值为4.直线的方程为.
（2）
14.（1）或
（2）

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