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(共61张PPT)
2.3 圆与圆的位置关系
探究点一 两圆位置关系的判断及应用
探究点二 两圆公共弦问题
探究点三 两圆相切的有关问题
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课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
知识点 圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括:外离、______、______、______和内含.
2.两圆的位置关系的判断:
外切
相交
内切
（1）代数法:已知圆
,
圆,圆和圆
的方程联立方程组
我们有如下结论：
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不
同的解
两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共 点 两个圆有两个公
共点
外离 内含 外切 内切 相交
（2）几何法:第一步，计算两圆的半径, ,第二步，计算两圆的圆
心距,第三步，根据与, 之间的关系，判断两圆的位置关系.
（3）判断标准:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 __________________________________________ _________________________________ _______________________________ _____________________ ___________________
公共 点个 数 0 1 2 1 0
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
的 值 _______ _______
与 , 的 关系 ___________ _________ _________ _______ _______
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两圆的方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交.( )
√
（2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( )
×
（3）若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立.( )
×
（4）若两圆有公共点，则 .( )
√
2.（1）在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公
切线条数分别为多少？
解:当两圆外离时，有四条公切线；当两圆外切时，有三条公切线；
当两圆相交时，有两条公切线；当两圆内切时，只有一条公切线；
当两圆内含时，无公切线.
（2）根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个公
共点，能否准确得出两圆的位置关系？
解:不能.已知两圆只有一个公共点只能得出两圆内切或外切.
探究点一 两圆位置关系的判断及应用
例1 （多选题）圆与圆 的
位置关系可能为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
[解析] 由圆,可得圆心为,半径 .
由圆,可得圆心为,半径 ,
则圆心距为,
又,,所以圆 与圆的位置关系可能
为相交、外切、外离.故选 .
√
√
√
变式 已知圆 ,圆
.
（1）当取何值时,圆和圆 外切
解:将两圆的方程化为标准方程,得圆 ,圆
,
则圆心,半径,圆心,半径 .
若两圆外切,则 ,即
,解得 .
（2）当取何值时,圆和圆 内切
解： 若两圆内切,则 ,即
,解得 .
变式 已知圆 ,圆
.
［素养小结］
判断两圆的位置关系，主要是利用圆心距与半径的和或差的绝对值
的大小关系列出关系式，分析求解.
探究点二 两圆公共弦问题
例2（1）已知圆和交于 ,
两点,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由和相减得弦 所在直
线的方程为,点到直线的距离 ,所
以 .故选B.
√
（2）已知圆 与圆
相交所得的公共弦的长为 ,
则圆的半径 ( )
A.1 B. C.或1 D.
√
[解析] 由与 相减得公
共弦所在直线的方程为.
圆 的方程可化为,可得圆的圆心为
,半径,
则圆心到直线 的距离,
则,可得 ,故 .
故选D.
变式 已知圆的圆心为，若圆与圆 的公共弦
所在直线过点，则圆 的方程为______________________.
[解析] 设圆的半径为，，则圆 的方程为
，即 ，两圆的方
程相减，得公共弦所在的直线的方程为 .
因为该直线过点，所以，
则圆 的方程为 .
［素养小结］
解决两圆公共弦问题的方法如下:
（1）当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;
（2）在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利
用勾股定理可求弦长;
（3）根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线
的方程.
探究点三 两圆相切的有关问题
例3（1）已知半径为的圆与圆 外切于点
，则圆 的方程为_______________________.
[解析] 由题意知，圆的圆心为，半径 ，
设所求圆的圆心为.
因为圆与圆 外切于点，所以,,三点共线，
且，所以 解得或
当，时，圆与圆外切于点 ，不符合
题意；
当，时，圆与圆 外切于点，
符合题意.
所以，故圆 的方程为 .
（2）已知圆 与圆
，若圆与圆 有且仅有一个公共点，
则实数 ________.
34或14
[解析] 设圆，的半径分别为，.
圆 的方程可化为，
圆 的方程可化为.
由两圆相切得， 或.
因为，所以 或，
可得或或 （舍去）.
因此，，或，解得或 .
变式 写出一个半径为1，且与圆 和圆
均外切的圆的方程：____________________
_______________________________.
（或，填一个即可）
[解析] 设所求圆的圆心为 ，则由外切关系可得
化简得解得 或
故满足条件的圆的圆心为或 ，故所求圆的方程为
或 （填一个即可）.
［素养小结］
解两圆相切问题时必须准确把握是内切还是外切，若只是已知相切，
则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.然后将两圆相切转化为两圆
的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和
（外切时）来处理.
拓展 （多选题）已知圆 ，圆
，则下列是圆与圆 公切线的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意知，圆心, 关于
原点对称，在同一平面直角坐标系内画出两圆，如
图所示，显然，圆心距 ，则两
圆外离，共有4条公切线，又两圆心到 轴的距离都 等于其半径，
所以 轴是其中一条公切线，故A正确.
√
√
√
利用对称性可知，其中一条公切线 过原点，设
其方程为，又到公切线 的距离为1，
所以，解得或；当 时，
公切线为轴，当时，公切线方程为 ，
即 ，故B正确.
由对称性可知，公切线,与直线平行，易知 ，所以直线的方程为，可设, 的方程分别为，
,由两平行线间距离公式可得，可得，即公切线, 的方程分别为， ，整理可得
两公切线方程为 和
，故C正确，D错误.
故选 .
1.已知圆 ，圆
，两圆方程相减得到
，有以下几种情况：
（1）若两圆相交，则得到的方程为两圆的公共弦所在直线的方程.
（2） 若两圆相切，则得到的方程为两圆的公切线的方程.
（3）若两圆相离且半径相等，则得到的方程为两圆的对称轴的方程.
2.两圆的公切线
定义：与两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，包括外公切线和
内公切线；
公切线的条数如表所示：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 _______________________ _____________________ __________________ __________________ __________________
公切 线条数 4条 3条 2条 1条 无公
切线
1.圆系方程
（1）过直线与圆 的交点
的圆系方程是
；
（2）以 为圆心的同心圆系方程是
；
（3）与圆 同心的圆系方程是
；
（4）过同一定点 的圆系方程是
.
例1 求过圆与圆 的交点，
且圆心在直线 上的圆的方程.
解:设所求圆的方程为
，
即 ，
则圆心坐标为 ，
因为圆心在直线 上，
所以，解得 ，
故所求圆的方程为 .
2.发现隐圆是关键，常见策略如下：
（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐圆；
（2）动点与两定点，连线的夹角为 或
确定隐圆；
（3），是两个定点，动点满足 为定值确定隐圆；
（4），是两个定点，动点满足（ 为常数）确定隐圆；
（5），是两个定点，动点满足且 确定隐圆.
例2 已知圆，点，点 ，
，若圆上存在点，使得 ，求 的取值范围.
解:由 ，可得点在以线段 为直径的圆上，其方程为
，
且与圆 有公共点.
可求得两圆的圆心距为5，所以，解得 .
练习册
1.圆与圆 的位置关系为
( )
A.相交 B.内切 C.内含 D.外离
[解析] 由题意得,圆的半径为3,圆 的半径为1,
因为,所以圆与圆 的位置关系为内含.故选C.
√
2.若圆与圆有公共点，则 满
足的条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
两圆圆心之间的距离为.
两圆有公共点，， ，
则， ，故选C.
√
3.已知圆 和圆
,则这两个圆的公切线的条数为
( )
A.1或3 B.4 C.0 D.2
[解析] 由题可知圆的标准方程为,圆 的标
准方程为 ,所以两圆的圆心距
,两圆半径之和为 ,
因为 ,所以两圆相离,故这两个圆的公切线有4条.故选B.
√
4.［2025·江苏宿迁一中高二期中］已知圆
与圆 内切，
则实数 的值为( )
A. B.2 C.或2 D.1或
[解析] 由题可知圆的圆心为，半径，圆 的圆心
为，半径，
因为圆与圆 内切，
所以,解得或 .
故选C.
√
5.已知圆 与圆
的公共弦所在直线与直线
垂直,则实数 的值为( )
A.2 B. C.8 D.
√
[解析] 圆与圆的方程相减得,即圆与圆 的公
共弦所在直线的方程为.
由直线 与直线垂直,得,解得.
当 时,圆,即圆
，
故圆的圆心为,半径,而圆 的圆心为
,半径,则 ,
因为,所以圆与圆相交,符合题意,所以 的值为2.
故选A.
6.（多选题）已知圆 与圆
,则下列说法正确的是
( )
A.圆的圆心恒在直线 上
B.若圆经过圆的圆心,则圆的半径为
C.当时,圆与圆 有4条公切线
D.当时,圆与圆的公共弦长为
√
√
[解析] 由 ,得
,所以圆 的圆心为
,恒在直线上,故A错误;
因为圆的圆心 在圆上,所以
,解得 ,所以此时圆的半径为,故B正确;
当 时,圆,圆心为,半径为1,此
时圆与圆 的圆心距,所以圆
与圆 外离,圆与圆有4条公切线,故C正确;
当 时,圆 ,又圆 ,
所以易知两圆相交,公共弦所在直线的方程为,则圆 的圆
心到公共弦所在直线的距离为,所以圆与圆 的公共弦长为
,故D错误.
故选 .
7.已知点,分别在圆 与圆
上,则, 间的距离的最小值是____.
[解析] 由，得 ,其
圆心坐标为,半径为.
由 ，得,
其圆心坐标为,半径为 .
因为两圆的圆心距为,所以两圆外离,所以, 间的距离
的最小值是 .
8.若圆与圆 的交点为
,,则线段 的垂直平分线的一般式方程是_____________.
[解析] 由题意知,为两圆的交点,则线段 必是两圆的公共弦,由公
共弦的性质可知,线段 的垂直平分线必是两圆圆心所在的直线.
由可得圆心,由 可得圆
心,所以直线的斜率为,所以直线 的方程
为,即,故线段 的垂直平分线的一般式方
程是 .
9.（13分）已知圆的方程为，圆 的圆心
为.若圆与圆外切，求圆 的方程.
解:由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，圆 的圆心为
.
则两圆的圆心距为，
因为圆与圆 外切，
所以圆的半径为4，所以圆的方程为 .
10.（13分）已知圆 ，圆
.
（1）求圆与圆 的公共弦长；
解:将两圆的方程作差得
，化简得
，即两圆公共弦所在直线的方程为 .
可得圆的圆心到直线的距离 ，
则公共弦长为 .
（2）求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程.
解:方法一：设过两圆的交点的圆为
, ，
则, .
由圆心在直线上，得 ，解得
，
故所求圆的方程为 ，即
.
方法二：由（1）得两圆公共弦所在直线方程为 ，将其代入
方程中,化简可得 ,解得.
当时，；当时， .
设所求圆的圆心坐标为 ，
则，且 ，
解得，，所以 .
所以过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程为
.
11.［2025·江苏泰州实验中学高二月考］已知圆 的方程为
，圆的方程为 ，其
中, ，则这两个圆的位置关系不可能为( )
A.外离 B.外切 C.内含 D.内切
[解析] 由题可得圆的圆心为，半径；圆 的圆心为
，半径.
则 ，所以两圆不可能内含.故选C.
√
12.（多选题）［2025·江苏通州第一中学高二期中］ 已知圆
,圆 ，则
下列说法正确的有( )
A.若在圆内，则
B.当时，圆与圆 共有两条公切线
C.若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在直线过定点
D.存在，使得圆与圆公共弦所在直线的斜率为
√
√
[解析] 因为圆 ,
圆 ，
所以圆 ，
圆，则圆的圆心为 ，
圆的半径，圆的圆心为，圆 的半径
，则.
由在圆 内,可得，解得,A错误；
当 时，，，， ，所以
，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；
将圆的方程与圆 的方程相减，得
，即
，令 解得
所以公共弦所在直线恒过定点，C正确；
当 时，圆与圆的圆心所在直线的斜率为,则圆与 公
共弦所在直线的斜率为，显然,故D错误.
故选 .
13.［2025·浙江湖州一中高二月考］已知圆 与圆
相交于，两点，则四边形 的面积为
_____.
[解析] 根据条件易知，，所以 .
把代入中，得，把 代入
中，得，于是，
因为 ，所以四边形的面积为
.
14.［2025·江苏海安中学高二质检］已知直线 是圆
的切线，并且点到直线 的距离是2，
这样的直线 有___条.
4
[解析] 由题意得，圆的圆心为，半径.因为点 到
直线的距离是2，所以直线是以为圆心， 为半径的圆的
切线，
又直线是圆的切线，
所以直线 是圆与圆 的公切线.
因为 ，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线 有4条.
15.（多选题）如图所示，该曲线是由4个圆： ，
，， 的一部分
所构成，则下列说法正确的是( )
A.曲线围成的封闭图形的面积为
B.若圆与曲线 有8个交点，则
C.与的公切线方程为
D.曲线上的点到直线 的距离
的最小值为4
√
√
√
[解析] 曲线 围成的封闭图形可分割为一个边长为2
的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积
为 ，故A正确.
当 时，交点为，，，；当时，交点为， ，
，；当或时，没有交点；当 时，交点
个数为8，故B错误.
设与的公切线方程为 ，
由直线和圆相切，可得，可得 ，则其公切线方程
为，即 ，故C正确.
同理可得，的公切线方程为 ，
则平行直线与
间的距离，故D正确.
故选 .
16.（15分）求圆和圆 的公切线
方程.
解:如图，由图易知为公切线 的方程.设切
点,则由可知, ，
所以，
又,所以过点 的公切线的斜率为，
所以过点的公切线的方程为 ,即 .
由可得,设公切线 的方程为
,即 ,
由,解得,所以公切线 的方程为
.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.外切 相交 内切
2.
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√ 2.略
课中探究 例1 BCD
变式 （1） （2）
例2 （1）B （2）D 变式
例3 （1） （2）34或14
变式 （或，填一个即可）
拓展 ABC
快速核答案（练习册）
1.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.BC 7. 8.
9.
10.（1）（2）
11.C 12.BC 13. 14.4
15.ACD
16. 2.3　圆与圆的位置关系
【课前预习】
知识点
1.外切　相交　内切
2.(3)Δ=0　Δ>0　d>r1+r2
|r1-r2|诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.解:(1)当两圆外离时,有四条公切线;当两圆外切时,有三条公切线;当两圆相交时,有两条公切线;当两圆内切时,只有一条公切线;当两圆内含时,无公切线.
(2)不能.已知两圆只有一个公共点只能得出两圆内切或外切.
【课中探究】
探究点一
例1　BCD　[解析] 由圆O:x2+y2=1,可得圆心为O(0,0),半径r1=1.由圆M:(x-a)2+(y-2)2=4,可得圆心为M(a,2),半径r2=2,则圆心距为OM=,又r2-r1=2-1=1,≥2>1,所以圆O与圆M的位置关系可能为相交、外切、外离.故选BCD.
变式　解:将两圆的方程化为标准方程,得圆C1:(x-1)2+(y-3)2=9,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m,
则圆心C1(1,3),半径r1=3,圆心C2(5,6),半径r2=(m<61).
(1)若两圆外切,则C1C2=r1+r2,即=3+,解得m=57.
(2)若两圆内切,则C1C2=|r1-r2|,即=|3-|,解得m=-3.
探究点二
例2　(1)B　(2)D　[解析] (1)由x2+(y-2)2=5和(x+2)2+y2=5相减得弦AB所在直线的方程为x+y=0,点(0,2)到直线x+y=0的距离d==,所以AB=2×=2.故选B.
(2)由x2+y2=1与x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相减得公共弦所在直线的方程为2x-2y-1-F=0.圆O2的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2-F,可得圆O2的圆心为O2(1,-1),半径r=,则圆心O2到直线2x-2y-1-F=0的距离d==,则+=r2=2-F,可得F=-3,故r=.故选D.
变式　(x-2)2+(y-1)2=4　[解析] 设圆C的半径为r,r>0,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,两圆的方程相减,得公共弦所在的直线的方程为x+2y-5+r2=0.因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
探究点三
例3　(1)(x-3)2+(y+6)2=20　(2)34或14　[解析] (1)由题意知,圆O:x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=,设所求圆M的圆心为M(a,b).因为圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,-2),所以M,P,O三点共线,且OM=3,所以解得或
当a=-3,b=6时,圆M与圆x2+y2=5外切于点(-1,2),不符合题意;当a=3,b=-6时,圆M与圆O:x2+y2=5外切于点(1,-2),符合题意.所以M(3,-6),故圆M的方程为(x-3)2+(y+6)2=20.
(2)设圆C1,C2的半径分别为r1,r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.由两圆相切得,C1C2=r1+r2或C1C2=|r1-r2|.因为C1C2==5,所以r2+1=5或|1-r2|=5,可得r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).因此,50-a=16,或50-a=36,解得a=34或a=14.
变式　(x-2)2+y2=1(或x2+(y-2)2=1,填一个即可)　[解析] 设所求圆的圆心为(a,b),则由外切关系可得化简得解得 或故满足条件的圆的圆心为(0,2)或(2,0),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=1或x2+(y-2)2=1(填一个即可).
拓展　ABC　[解析] 根据题意知,圆心C1(2,1),C2(-2,-1)关于原点对称,在同一平面直角坐标系内画出两圆,如图所示,显然,圆心距C1C2=2>1+1,则两圆外离,共有4条公切线,又两圆心到x轴的距离都等于其半径,所以x轴是其中一条公切线,故A正确.利用对称性可知,其中一条公切线l1过原点,设其方程为y=kx,又C1(2,1)到公切线l1的距离为1,所以=1,解得k=0或k=;当k=0时,公切线为x轴,当k=时,公切线方程为y=x,即4x-3y=0,故B正确.由对称性可知,公切线l2,l3与直线C1C2平行,易知==,所以直线C1C2的方程为y=x,可设l2,l3的方程分别为y=x+c,y=x-c(c>0),由两平行线间距离公式可得=1,可得c=,即公切线l2,l3的方程分别为y=x+,y=x-,整理可得两公切线方程为x-2y+=0和x-2y-=0,故C正确,D错误.故选ABC.2.3　圆与圆的位置关系
1.C　[解析] 由题意得OM=,圆M的半径为3,圆O的半径为1,因为3-1=2>,所以圆O与圆M的位置关系为内含.故选C.
2.C　[解析] 由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为=.∵两圆有公共点,∴|r-1|≤≤r+1,∴ -1≤r≤ +1,则-1≤r-≤1,∴|r-|≤1,故选C.
3.B　[解析] 由题可知圆C1的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆C2的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=,所以两圆的圆心距d==,两圆半径之和为3+=,因为<,所以两圆相离,故这两个圆的公切线有4条.故选B.
4.C　[解析] 由题可知圆C1的圆心为C1(a,-2),半径r1=5,圆C2的圆心为C2(-1,-a),半径r2=2,因为圆C1与圆C2内切,所以C1C2==|r1-r2|=3,解得a=-1或a=2.故选C.
5.A　[解析] 圆C1与圆C2的方程相减得mx+4y-7=0,即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为mx+4y-7=0.由直线mx+4y-7=0与直线l垂直,得2m-4=0,解得m=2.当m=2时,圆C2:x2+y2+2x+4y-11=0,即圆C2:(x+1)2+(y+2)2=16,故圆C2的圆心为C2(-1,-2),半径r2=4,而圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,则C1C2==,因为r2-r1<6.BC　[解析] 由x2+y2-2mx+4my+4m2-2m-1=0,得(x-m)2+(y+2m)2=(m+1)2(m≠-1),所以圆C2的圆心为(m,-2m),恒在直线2x+y=0上,故A错误;因为圆C1的圆心(-1,1)在圆C2上,所以(-1-m)2+(1+2m)2=(m+1)2,解得m=-,所以此时圆C2的半径为|m+1|=,故B正确;当m=-2时,圆C2:(x+2)2+(y-4)2=1,圆心为(-2,4),半径为1,此时圆C1与圆C2的圆心距d==>2,所以圆C1与圆C2外离,圆C1与圆C2有4条公切线,故C正确;当m=0时,圆C2:x2+y2-1=0,又圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,所以易知两圆相交,公共弦所在直线的方程为x-y+1=0,则圆C2的圆心到公共弦所在直线的距离为=,所以圆C1与圆C2的公共弦长为2×=,故D错误.故选BC.
7.　[解析] 由x2+y2+2x-4y+3=0,得(x+1)2+(y-2)2=2,其圆心坐标为(-1,2),半径为.由x2+y2-4x+2y+3=0,得(x-2)2+(y+1)2=2,其圆心坐标为(2,-1),半径为.因为两圆的圆心距为3>+,所以两圆外离,所以P,Q间的距离的最小值是3--=.
8.x+y-1=0　[解析] 由题意知A,B为两圆的交点,则线段AB必是两圆的公共弦,由公共弦的性质可知,线段AB的垂直平分线必是两圆圆心所在的直线.由(x-1)2+y2=1可得圆心C1(1,0),由(x+1)2+(y-2)2=9可得圆心C2(-1,2),所以直线C1C2的斜率为=-1,所以直线C1C2的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0,故线段AB的垂直平分线的一般式方程是x+y-1=0.
9.解:由题可知,圆O1的圆心坐标为(-2,3),半径为1,圆O2的圆心为O2(1,7).
则两圆的圆心距为=5,因为圆O2与圆O1外切,
所以圆O2的半径为4,所以圆O2的方程为(x-1)2+(y-7)2=16.
10.解:(1)将两圆的方程作差得(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,化简得x-y-1=0,即两圆公共弦所在直线的方程为x-y-1=0.
可得圆C1的圆心(0,1)到直线x-y-1=0的距离d==,
则公共弦长为2=2.
(2)方法一:设过两圆的交点的圆为(x2+y2-4x+2y)+λ(x2+y2-2y-4)=0,λ≠-1,
则x2+y2-x+y-=0,λ≠-1.
由圆心在直线2x+4y=1上,得-=1,解得λ=,
故所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0,即+=.
方法二:由(1)得两圆公共弦所在直线方程为y=x-1,将其代入方程x2+y2-4x+2y=0中,化简可得2x2-4x-1=0,解得x=.当x=时,y=;当x=时,y=-.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),
则+=+,且2a+4b=1,
解得a=,b=-,所以r2=+=.
所以过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为+=.
11.C　[解析] 由题可得圆O1的圆心为O1(a,b),半径r1=2;圆O2的圆心为O2(0,b-1),半径r2=1.则O1O2=≥1=r1-r2,所以两圆不可能内含.故选C.
12.BC　[解析] 因为圆O1:x2+y2-2mx+2y=0,圆O2:x2+y2-2x-4my+1=0,所以圆O1:(x-m)2+(y+1)2=m2+1,圆O2:(x-1)2+(y-2m)2=4m2,则圆O1的圆心为O1(m,-1),圆O1的半径r1=,圆O2的圆心为O2(1,2m),圆O2的半径r2=2|m|,则m≠0.由(1,-1)在圆O1内,可得12+(-1)2-2m-2<0,解得m>0,A错误;当m=1时,O1(1,-1),r1=,O2(1,2),r2=2,所以O1O2=3∈(2-,2+),所以两圆相交,共两条公切线,B正确;将圆O1的方程与圆O2的方程相减,得(-2m+2)x+(2+4m)y-1=0,即m(-2x+4y)+(2x+2y-1)=0,令解得所以公共弦所在直线恒过定点,C正确;当m≠1时,圆O1与圆O2的圆心所在直线的斜率为,则圆O1与O2公共弦所在直线的斜率为,显然≠,故D错误.故选BC.
13.4　[解析] 根据条件易知O1(0,0),O2(-3,0),所以O1O2=3.把x2+y2=4代入x2+6x+y2=0中,得x=-,把x=-代入x2+y2=4中,得y=±,于是AB=,因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为AB·O1O2=×3×=4.
14.4　[解析] 由题意得,圆C的圆心为C(2,1),半径r1=1.因为点B(3,4)到直线l的距离是2,所以直线l是以B(3,4)为圆心,r2=2为半径的圆的切线,又直线l是圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的切线,所以直线l是圆C与圆B的公切线.因为BC==>3=r1+r2,所以两圆外离,所以两圆的公切线有4条,即满足条件的直线l有4条.
15.ACD　[解析] 曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆,所以其面积为2×2+2×π×12=4+2π,故A正确.当r=时,交点为B,D,F,H;当r=2时,交点为A,C,E,G;当02时,没有交点;当2),由直线和圆相切,可得=1,可得t=1+,则其公切线方程为y=-x+1+,即x+y--1=0,故C正确.同理可得,的公切线方程为x+y+1+=0,则平行直线x+y+1+=0与x+y+5+1=0间的距离d==4,故D正确.故选ACD.
16.解:如图,由图易知x=-1为公切线CD的方程.设切点B(cos θ,sin θ),则由A(3,4)可知cos θ=,sin θ=,所以B,又kOA=,所以过点B的公切线的斜率为-,所以过点B的公切线的方程为y-=-,即3x+4y-5=0.
由可得C,设公切线CE的方程为y+=k(x+1),即3kx-3y+3k-4=0,
由=1,解得k=,所以公切线CE的方程为7x-24y-25=0.2.3　圆与圆的位置关系
【学习目标】
　　1.了解圆与圆的位置关系.
　　2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
　　3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
◆ 知识点　圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括:外离、　　　　、　　　　、　　　　和内含.
2.两圆的位置关系的判断:
(1)代数法:已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),圆C1和圆C2的方程联立方程组
我们有如下结论:
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解
两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点
外离 内含 外切 内切 相交
(2)几何法:第一步,计算两圆的半径r1,r2,第二步,计算两圆的圆心距d,第三步,根据d与r1,r2之间的关系,判断两圆的位置关系.
(3)判断标准:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 　　　 　　　 Δ=0 Δ<0
d与r1,r2的 关系 　　　 d=r1+r2 　　　 　　　 　　　 d<|r1-r2|
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两圆的方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交. (　 )
(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. (　 )
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. (　 )
(4) 若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. (　 )
2.(1)在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下,两圆的公切线条数分别为多少
(2)根据代数法确定两个圆的位置关系时,若已知两圆只有一个公共点,能否准确得出两圆的位置关系
◆ 探究点一　两圆位置关系的判断及应用
例1 (多选题)圆O:x2+y2=1与圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的位置关系可能为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
变式 已知圆C1:x2+y2-2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)当m取何值时,圆C1和圆C2外切
(2)当m取何值时,圆C1和圆C2内切
[素养小结]
判断两圆的位置关系,主要是利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,分析求解.
◆ 探究点二　两圆公共弦问题
例2 (1)已知圆C1:x2+(y-2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A,B两点,则AB= (　 )
A. B.2 C. D.2
(2)已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得的公共弦的长为,则圆O2的半径r= (　 )
A.1 B.
C.或1 D.
变式 已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),则圆C的方程为　　　　　　　　.
[素养小结]
解决两圆公共弦问题的方法如下:
(1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长;
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
◆ 探究点三　两圆相切的有关问题
例3 (1)已知半径为2的圆M与圆O:x2+y2=5外切于点P(1,-2),则圆M的方程为　　　　　　　　.
(2)已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a=　　　　.
变式 写出一个半径为1,且与圆x2+y2=1和圆(x-2)2+(y-2)2=1均外切的圆的方程:　　　　　　　　.
[素养小结]
解两圆相切问题时必须准确把握是内切还是外切,若只是已知相切,则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.然后将两圆相切转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)来处理.
拓展 (多选题)已知圆C1:(x-2)2+(y-1)2=1,圆C2:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列是圆C1与圆C2公切线的方程为 (　 )
A.y=0 B.4x-3y=0
C.x-2y+=0 D.x+2y-=02.3　圆与圆的位置关系
1.圆O:x2+y2=1与圆M:(x+1)2+(y-1)2=9的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.相交 B.内切
C.内含 D.外离
2.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是 (　 )
A.r<+1
B.r>+1
C.|r-|≤1
D.|r-|<1
3.已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0和圆C2:4x2+4y2-16x-16y+31=0,则这两个圆的公切线的条数为 (　 )
A.1或3 B.4
C.0 D.2
4.[2025·江苏宿迁一中高二期中] 已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=25与圆C2:(x+1)2+(y+a)2=4内切,则实数a的值为 (　 )
A.-2 B.2
C.-1或2 D.1或-2
5.已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+mx+4y-11=0(m∈R)的公共弦所在直线与直线l:2x-y+1=0垂直,则实数m的值为 (　 )
A.2 B.-2
C.8 D.-8
6.(多选题)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2:x2+y2-2mx+4my+4m2-2m-1=0,则下列说法正确的是 (　 )
A.圆C2的圆心恒在直线x+2y=0上
B.若圆C2经过圆C1的圆心,则圆C2的半径为
C.当m=-2时,圆C1与圆C2有4条公切线
D.当m=0时,圆C1与圆C2的公共弦长为
7.已知点P,Q分别在圆x2+y2+2x-4y+3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0上,则P,Q间的距离的最小值是　　　　.
8.若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:(x+1)2+(y-2)2=9的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的一般式方程是　　　　　　.
9.(13分)已知圆O1的方程为(x+2)2+(y-3)2=1,圆O2的圆心为O2(1,7).若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程.
10.(13分)已知圆C1:x2+(y-1)2=5,圆C2:x2+y2-4x+2y=0.
(1)求圆C1与圆C2的公共弦长;
(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.
11.[2025·江苏泰州实验中学高二月考] 已知圆O1的方程为(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2的方程为x2+(y-b+1)2=1,其中a,b∈R,则这两个圆的位置关系不可能为 (　 )
A.外离 B.外切
C.内含 D.内切
12.(多选题)[2025·江苏通州第一中学高二期中] 已知圆O1:x2+y2-2mx+2y=0,圆O2:x2+y2-2x-4my+1=0,则下列说法正确的有(　 )
A.若(1,-1)在圆O1内, 则m≥0
B.当m=1时, 圆O1与圆O2共有两条公切线
C.若圆O1与圆O2存在公共弦, 则公共弦所在直线过定点
D.存在m∈R, 使得圆O1与圆O2公共弦所在直线的斜率为
13.[2025·浙江湖州一中高二月考] 已知圆O1:x2+y2=4与圆O2:x2+6x+y2=0相交于A,B两点,则四边形AO1BO2的面积为　　　　.
14.[2025·江苏海安中学高二质检] 已知直线l是圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的切线,并且点B(3,4)到直线l的距离是2,这样的直线l有　　　　条.
15.(多选题)如图所示,该曲线W是由4个圆:(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=1,x2+(y+1)2=1,x2+(y-1)2=1的一部分所构成,则下列说法正确的是 (　 )
A.曲线W围成的封闭图形的面积为4+2π
B.若圆x2+y2=r2(r>0)与曲线W有8个交点,则≤r≤2
C.与的公切线方程为x+y-1-=0
D.曲线W上的点到直线x+y+5+1=0的距离的最小值为4
16.(15分)求圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16的公切线方程.

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