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(共64张PPT)
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
探究点一 双曲线的定义
探究点二 双曲线的标准方程
探究点三 双曲线定义的应用
探究点四 双曲线的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.
2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线
定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中
特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.
知识点一 双曲线的定义
定义:平面内到两个定点, 的距离之差的________等于常数
（小于的正数）的点的轨迹叫作双曲线，两个定点, 叫作双
曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的______.
绝对值
焦距
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
图形 ____________________________ _____________________________
标准方程 _ ______________________ _ ______________________
焦点坐标 _____________ ____________
_____________
,
,
两种双曲线 ， 的相同点是:它们
的形状、大小都相同,都有,, ;不同点是:两种双
曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知两定点,,满足条件的动点
的轨迹是双曲线.( )
×
（2）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
（3）“方程表示双曲线”的充要条件是“与 异号”.( )
√
2.在双曲线的定义中,若去掉条件 ,则点的轨迹是怎样的
解:①当等于时,动点的轨迹是以, 为端点的两条方向相反
的射线（包括端点）.
②当大于 时,点的轨迹不存在.
③当等于零时,点的轨迹为线段 的垂直平分线.
探究点一 双曲线的定义
例1 动点的坐标 满足关系式
，则点 的轨迹是( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线的一支
[解析] 设,，则 .由已知可得，
，所以点 的轨迹是双曲线的左支.故选D.
√
变式 平面内动点到两定点,的距离之差为 ，若动
点的轨迹是双曲线，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由双曲线的定义可得，，且 ，
解得 .故选D.
√
［素养小结］
判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
探究点二 双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）,经过点 ;
解:当双曲线的焦点在 轴上时,
设双曲线的标准方程为,把点 的坐标代入,得
,不符合题意;
当双曲线的焦点在 轴上时,设双曲线的标准方程为
,把点的坐标代入,得 .
所以所求双曲线的标准方程为 .
（2）经过点, ；
解:设双曲线的方程为 ,因为双曲线经过点
, ,
所以解得 所以所求双曲线的标准方程为
.
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（3）与双曲线有相同的焦点且过点 .
解:依题意,设所求双曲线的标准方程为 .
因为两双曲线有相同的焦点,所以 .
因为点在双曲线上,所以 .
由①②可得 ,
故所求双曲线的标准方程为 .
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
［素养小结］
双曲线标准方程的两种求法:
（1）定义法:根据双曲线的定义得到相应的,,,再写出双曲线的标
准方程.
（2）待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为
或,然后根据条件
求出待定的系数,代入方程即可.
特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双
曲线方程为,注意标明条件.
探究点三 双曲线定义的应用
例3（1）已知双曲线的两个焦点分别为， ，双曲
线上有一点，若，则 ( )
A.9 B.1 C.1或9 D.11或9
[解析] 根据双曲线的定义可得 ，
，即，
因为 ，
所以或，且，所以 .故选A.
√
（2）已知双曲线,,分别是双曲线的左、右焦点，点
在双曲线上且 ,则 的面积是_____.
[解析] 双曲线，则, ,有.
在 中，由余弦定理得
,即
,
因此,解得 ，
所以的面积为 .
变式（1）已知双曲线上一点到左焦点 的距离为10，
则的中点到坐标原点 的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
[解析] 设双曲线的右焦点为，连接，，易知是
的中位线，，
，，
，或，
或 ，故选A.
√
（2）已知，分别是双曲线 的左、右焦点，过
的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，若 为等边
三角形，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 为等边三角形， ，
， ，且 ，
由余弦定理可得,则 ，
， .故选B.
√
（3）已知双曲线的方程为，点， 分别是其左、右焦
点，是圆上的一点，点 在双曲线的右支上，则
的最小值是_________.
[解析] 由题意可得，，即，则， 的坐标
分别为，，由双曲线的定义，得 .
设圆的圆心为，易知圆的半径为2，连接，,, ,则
，所以，当且仅当,,, 四点共线,在线段上时取等号，则的最小值为 .
［素养小结］
双曲线定义的两种应用
（1）求双曲线上一点到一焦点的距离时，若已知该点的横、纵
坐标，则根据两点间的距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点
的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要
的验证（负数应该舍去，且所求距离应该不小于）.
（2）双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点与其两个焦点，连接而成的焦点三角形
中，令，， ，因为 ，所以有
①定义： ；
②余弦公式： ；
③面积公式： .
一般地，在 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.
探究点四 双曲线的实际应用
例4 （多选题）［2025·安徽黄山一中高二质检］ 已知, 两监测点
间的距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比 监测点迟2秒，
设声速为340米/秒，下列说法正确的是( )
A.爆炸点在以, 为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以, 为焦点的双曲线的一支上
C.若监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），
则爆炸点到监测点的距离为 米
D.若监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），
则爆炸点到 监测点的距离为680米
√
√
[解析] 依题意，,两监测点间的距离为800米，且 监测点听到爆
炸声的时间比监测点迟2秒，设爆炸点为 ，则
，所以爆炸点在以, 为焦点的双
曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；
若监测点的声强是 监测点的4倍，则，即，
结合 可得，所以C选项错误，D选项正确.
故选 .
变式 ［2025·江苏锡山中学高二调研］ 地震预警是指在破坏性地震
发生以后，可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，
以减小相关预警区域的灾害损失.根据和 提出的双台子
台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收
到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震
台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台
站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到 站与震中
到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台 站的距离至
少为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设震中为，依题意有，所以点 的
轨迹是以,为焦点的双曲线靠近 的一支，
因为，当且仅当,, 三点共线时，取等号，所以
,所以，所以震中到地震台 站的距离至少
为 .故选A.
［素养小结］
利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方
法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足
双曲线的定义.
检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在，判断是双曲线的一支
还是两支.
1.在学习双曲线的定义、轨迹、标准方程以及后面的几何性质中，都
需要时刻类比前面椭圆的相关知识.
2.双曲线的定义
（1）定义中距离的差要加绝对值,否则方程只表示双曲线的一支.设
,分别为双曲线的左、右焦点,若,则点 在右支
上;若,则点 在左支上.
（2）双曲线定义的双向运用
①若,则动点 的轨迹为双曲线.
②若动点在双曲线上,则 .
3.对双曲线标准方程的理解
（1）标准方程中的两个参数和 是双曲线的定形条件,确定了其值,方
程也随之确定,并且有,注意与椭圆中 相区别.
（2）焦点, 的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方
程的类型,若的系数为正,则焦点在轴上,若 的系数为正,则焦点在
轴上.
（3）双曲线的标准方程可统一表示为 .
4.求双曲线标准方程的常用方法是待定系数法和轨迹方程法，用待定
系数法求双曲线方程的一般步骤:（1）依题意设方程为
或 或
;（2）根据条件,建立关于,或, 的方程;
（3）解方程求出,或,, 得到双曲线的方程.
1.与椭圆 有公共焦点的双曲线方程为
，与椭圆 有
公共焦点的双曲线方程为 .
2.与双曲线 有公共焦点的双曲线方程为
，与双曲线
有公共焦点的双曲线方程为 .
例 求与双曲线有公共焦点，且过点 的双曲线的
标准方程.
解：方法一：依题意，设所求双曲线的方程为
，
由已知得 ，
又所求双曲线过点，所以 .
由可得 故所求双曲线的标准方程为 .
方法二：依题意，设所求双曲线的方程为
，
将代入，可得 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
练习册
1.双曲线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 由,可得焦点在轴上，, ,
,故双曲线的焦点坐标是 .故选C.
√
2.若双曲线的左、右焦点分别为，，点 在双曲线
上，且，则 ( )
A.11 B.8 C.1或11 D.2或8
[解析] 由双曲线标准方程得 ,由双曲线定义得
，即，解得 （舍去）或
，故选A.
√
3.［2025·江苏丹阳中学高二月考］已知方程
表示焦点在轴上的双曲线，则 的取值范
围为( )
A. B.
C. D.或
[解析] 由题意得解得即 .故选A.
√
4.［2025·江苏徐州高二期中］以椭圆 长轴的两个端点为
焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 椭圆长轴的两个端点为， ，焦点为
,,所以双曲线的焦点为,,顶点为 ,，
则双曲线的焦点在轴上，且， ，所以
，所以双曲线的方程为 .故选C.
√
5.设，分别是双曲线的左、右焦点，过
作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则
的面积为( )
A. B.4 C. D.3
[解析] 设，为正三角形，， ，
又由双曲线得， 根据双曲线定义得
，，即正三角形 的边长为4，故
的面积为 .故选A.
√
6.（多选题）［2025·湖南湘潭一中高二月考］ 设， 为实数，已
知椭圆与双曲线 有相同的焦点，且椭圆与双
曲线在第一象限的交点为 ，则下列说法正确的是
( )
A. B.
C. D.左焦点为
√
√
√
[解析] 根据题意可知，,,且
可得故A错误，B，C正确；
，所以左焦点为，故D正确.
故选 .
7.［2025·江苏徐州一中高二月考］已知动圆过点 ，且与圆
外切，则动圆的圆心 的轨迹方程为
_____________________.
[解析] 定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆
的半径为，则有，因为圆与圆 外切，
所以，即，所以点 的轨
迹是以，为焦点的双曲线的左支，
则， ，，所以动圆的圆心 的轨迹
方程为，即 .
8.若，分别是双曲线的左、右焦点，点 在该双曲
线上，且是等腰三角形，则 的周长是____.
16
[解析] 双曲线的标准方程为，所以,, ，
因为是等腰三角形，不妨设 在双曲线的右支上，则
，所以，所以 的周长为
.
9.（13分）分别求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点为，，且过点 ；
解:由已知得，且双曲线的焦点在轴上.因为点 在双曲
线上，所以
，
则， ，
所以双曲线的标准方程是 .
（2）经过点, ,且焦点在坐标轴上；
解:设双曲线的方程为,.因为点, 在双曲线上,
所以解得
故双曲线的标准方程为 .
9.（13分）分别求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（3）与双曲线有相同的焦点，且过点 .
解:设双曲线的方程为 ，
因为双曲线过点 ，
所以，解得或 （舍去），
所以双曲线的标准方程为 .
9.（13分）分别求满足下列条件的双曲线的标准方程.
10.（13分）［2025·浙江绍兴上虞中学高二期中］ 曲线
且 .
（1）若曲线表示双曲线，求 的取值范围；
解:表示双曲线，则 ，
解得，故的取值范围是 .
（2）若，点在曲线上，且点在第一象限， ,
，，求点 的横坐标.
解:由，得曲线 为双曲线，
设，,，则 ，
因为 ，所以
，可得 ，
故点的横坐标为 .
11.［2025·广东梅州中学高二质检］从某个角度观察篮球（如图①），
可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮形状为圆
，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，在图②中，
若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆 的周长八等分，
，则双曲线的方程为( )
①
②
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，设双曲线方程为 ，因为
，所以，显然圆 的半径为3，
又因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，所以双曲线
与圆 在第一象限内的交点为，于是，
解得 ，所以双曲线的方程为 .故选A.
12.［2025·江苏如东中学高二质检］事实上，很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问
题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题，结合
上述观点，可得方程 的解是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 可得
，即
，表示点 到定
点和的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知,点 在以和为焦点,实轴长
的双曲线的右支上，所以，
所以双曲线方程为，令 可得，
因为，所以 ，
即方程的解是 ，故选C.
13.［2025·河北廊坊一中高二质检］已知 为双曲线
上异于两个顶点， 的任意一点，
直线，的斜率分别为， ，写出满足焦距小于8且
的 的一个标准方程：_________________________.
（答案不唯一）
[解析] 设，，则 ，
，所以 取
，，则 ，所以满足条件的双曲线的一个标准方程
是 （答案不唯一）.
14.［2025·江苏常州中学高二质检］已知双曲线 的左、右
焦点分别为，，为双曲线右支上一点，点的坐标为 ，
则 的最小值为_________.
[解析] 由双曲线方程知，， ，
则，，如图，连接, ,
由双曲线定义知 ，
（当且仅当在线段 上时取等号），又
， .
15.［2025·江苏金陵中学高二调研］费马原理是几何光学中的一条重
要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点
为双曲线，为焦点上一点，点处的切线平分 .已知双
曲线，为坐标原点，是双曲线在点 处的
切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则 ___.
2
[解析] 如图，连接并延长，交于点 ，
连接,因为点是 的平分线上的一点，
且，所以点为 的中点，所以
，
，
所以 .
16.（15分）如图，某野生保护区监测中心设置在点 处，正西、正
东、正北处分别有1个监测点，，，且 ，
一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收
到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早
注：信号每秒传播 .
（1）求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
解：设观察员可能出现的位置为点 ，由题
意，得 ，
故点 的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为 ，则
， ，
所以，故点 的轨迹方程为
.
（2）若点信号失灵，现立即以 为圆心进行“圆形”
红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径 至少是
多少？
解：设点轨迹上一点为 ，则
，
又，所以 ，
所以 ，
当且仅当时，取得最小值，故扫描半径 至少是
.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 绝对值 焦距
知识点二 ,
,
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ 2.略
课中探究 例1 D 变式 D
例2 （1）（2）（3）
例3 （1）A （2） 变式 （1）A （2）B （3）
例4 BD 变式 A
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.A 4.C 5.A 6.BCD 7. 8.16
9.（1）（2）（3）
10.（1）（2）
11.A 12.C 13.（答案不唯一） 14. 15.2
16.（1）（2）3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
【课前预习】
知识点一
1.绝对值　焦距
知识点二
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
(-c,0),(c,0)　(0,-c),(0,c)
c2=a2+b2
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.解:①当2a等于F1F2时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
②当2a大于F1F2时,点的轨迹不存在.
③当2a等于零时,点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
【课中探究】
探究点一
例1　D　[解析] 设A(3,0),B(-3,0),则AB=6.由已知可得,0变式　D　[解析] 由双曲线的定义可得,|m|<4,且m≠0,解得m∈(-4,0)∪(0,4).故选D.
探究点二
例2　解:(1)当双曲线的焦点在x轴上时,
设双曲线的标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=9.
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为双曲线经过点(3,0),(-6,-3),
所以解得所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)依题意,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为两双曲线有相同的焦点,所以a2+b2=c2=4+2=6①.
因为点P(2,1)在双曲线-=1(a>0,b>0)上,所以-=1②.
由①②可得a2=b2=3,
故所求双曲线的标准方程为-=1.
探究点三
例3　(1)A　(2)3　[解析] (1)根据双曲线的定义可得|PF1-PF2|=2a=4,c2=a2+b2=4+12=16,即c=4,因为PF1=5(2)双曲线-=1,则a=2,c=,有|MF1-MF2|=2a=4.在△F1MF2中,由余弦定理得F1=M+M-2MF1·MF2cos∠F1MF2,即F1=(MF1-MF2)2+2MF1·MF2(1-cos 120°),因此(2)2=42+2MF1·MF2,解得MF1·MF2=12,所以△F1MF2的面积为MF1·MF2sin 120°=3.
变式　(1)A　(2)B　(3)5+4
[解析] (1)设双曲线的右焦点为F2,连接MF2,ON,易知ON是△MF1F2的中位线,∴ON=MF2,∵|MF1-MF2|=4,MF1=10>c+a=+2,∴MF2>c-a=-2,MF2=14或MF2=6,∴ON=7或ON=3,故选A.
(2)∵△ABF2为等边三角形,∴AB=AF2=BF2,∴AF1=BF1-BF2=2a=4,AF2=AF1+2a=8,且∠F1AF2=120°,由余弦定理可得4c2=F1=A+A-2AF1·AF2×=16+64+32=112,则c2=28,∴b2=c2-a2=24,∴b=2.故选B.
(3)由题意可得,c2=9+16=25,即c=5,则F1,F2的坐标分别为(-5,0),(5,0),由双曲线的定义,得MF1-MF2=2a=6.设圆的圆心为C(0,5),易知圆的半径为2,连接CA,CM,MF2,CF2,则CM+MF2≥CF2,所以MF1+MA=MF2+2a+MA≥MF2+CM+2a-CA≥CF2+6-2=5+4,当且仅当C,A,M,F2四点共线(A,M在线段CF2上)时取等号,则MF1+MA的最小值为5+4.
探究点四
例4　BD　[解析] 依题意,A,B两监测点间的距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设爆炸点为C,则CA-CB=340×2=680<800,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上,所以A选项错误,B选项正确;若B监测点的声强是A监测点的4倍,则=4,即CA=2CB,结合CA-CB=680可得CB=680,所以C选项错误,D选项正确.故选BD.
变式　A　[解析] 设震中为P,依题意有PB-PA=63.2.1　双曲线的标准方程
1.C　[解析] 由-=1,可得焦点在x轴上,a=4,b=3,∴c==5,故双曲线-=1的焦点坐标是(±5,0).故选C.
2.A　[解析] 由双曲线标准方程得a=3,由双曲线定义得|PF1-PF2|=2a=6,即|PF2-5|=6,解得PF2=-1(舍去)或PF2=11,故选A.
3.A　[解析] 由题意得解得即-14.C　[解析] 椭圆+=1长轴的两个端点为(5,0),(-5,0),焦点为(4,0),(-4,0),所以双曲线的焦点为(5,0),(-5,0),顶点为(4,0),(-4,0),则双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为-=1.故选C.
5.A　[解析] 设AF2=t,∵△ABF1为正三角形,∴AF1=2t,F1F2=t,又由双曲线C:x2-=1得a=1,∴根据双曲线定义得AF1-AF2=t=2,∴AF1=4,即正三角形ABF1的边长为4,故△ABF1的面积为×42×sin 60°=4.故选A.
6.BCD　[解析] 根据题意可知00,yP>0,且可得故A错误,B,C正确;c==,所以左焦点为(-,0),故D正确.故选BCD.
7.x2-y2=2(x≤-)　[解析] 定圆M的圆心为M(2,0),与N(-2,0)关于原点对称,设动圆P的半径为r,则有PN=r,因为圆P与圆M:(x-2)2+y2=8外切,所以PM=2+r,即PM-PN=28.16　[解析] 双曲线的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,F1F2=6,因为△PF1F2是等腰三角形,不妨设P在双曲线的右支上,则PF1=F1F2=6,所以PF2=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16.
9.解:(1)由已知得c=6,且双曲线的焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8,
则a=4,b2=c2-a2=62-42=20,
所以双曲线的标准方程是-=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.因为点M,N在双曲线上,所以解得
故双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为-=1(-4<λ<16),
因为双曲线过点(3,2),
所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
所以双曲线的标准方程为-=1.
10.解:(1)C:-=1表示双曲线,则(3+m)(1-m)>0,解得-3(2)由m=0,得曲线C:-y2=1为双曲线,
设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1,
因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,可得s=,
故点P的横坐标为.
11.A　[解析] 依题意,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为BC=2,所以a=1,显然圆O的半径为3,又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,所以双曲线与圆O在第一象限内的交点为,于是-=1,解得b2=,所以双曲线的方程为x2-=1.故选A.
12.C　[解析] 由-=4可得-=4,即-=4,表示点(x,1)到定点(-3,0)和(3,0)的距离之差等于4,由双曲线的定义可知,点(x,1)在以(-3,0)和(3,0)为焦点,实轴长2a=4的双曲线的右支上,所以b2=c2-a2=5,所以双曲线方程为-=1,令y=1可得x=±,因为x>0,所以x=,即方程-=4的解是x=,故选C.
13.-=1(答案不唯一)　[解析] 设P(x0,y0),A1(-a,0),则A2(a,0),k1k2=·===,所以取b2=7,c2=9,则a2=2,所以满足条件的双曲线的一个标准方程是-=1(答案不唯一).
14.5+2　[解析] 由双曲线方程知a=,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),如图,连接PF2,QF2,由双曲线定义知PF1-PF2=2a=2,∴PQ+PF1=PQ+PF2+2≥QF2+2(当且仅当P在线段QF2上时取等号),又QF2==5,∴(PQ+PF1)min=5+2.
15.2　[解析] 如图,连接PF2并延长PF2,交F1M于点N,连接PF1,因为点M是∠F1PF2的平分线上的一点,且F1M⊥MP,所以点M为F1N的中点,所以PN=PF1,又点O为F1F2的中点,且PF1-PF2=2a=4,所以OM=F2N=(PN-PF2)=(PN-PF1+4)=2.
16.解:(1)设观察员可能出现的位置为点P(x,y),由题意,得PB-PA=×V0=40故点P的轨迹为双曲线的左支,
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则2a=40,2c=60,
所以b2=c2-a2=500,故点P的轨迹方程为-=1(x≤-20).
(2)设点P轨迹上一点为M(x,y)(x≤-20),则MC==,
又-=1,所以x2=y2+400,
所以MC==≥20,
当且仅当y=时,MC取得最小值20,故扫描半径r至少是20 km.3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
【学习目标】
　　1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.
　　2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.
　　3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.
◆ 知识点一　双曲线的定义
定义:平面内到两个定点F1,F2的距离之差的　　　　等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线,两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的　　　　.
◆ 知识点二　双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
(续表)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 　　　 　　　 　　　 　　　
焦点坐标 　　　　　 　　　　　
a,b,c的关系 　　　
两种双曲线 -=1,-=1 (a>0,b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>0,b>0,c2=a2+b2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|PF1-PF2|=7的动点P的轨迹是双曲线.(　 )
(2)双曲线x2-=1的焦点在y轴上. (　 )
(3)“方程+=1表示双曲线”的充要条件是“m与n异号”. (　 )
2.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a◆ 探究点一　双曲线的定义
例1 动点P的坐标(x,y)满足关系式-=4,则点P的轨迹是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线的一支
变式 平面内动点P到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差为m,若动点P的轨迹是双曲线,则m的取值范围是 (　 )
A.(-4,+∞)
B.(4,+∞)
C.(-4,4)
D.(-4,0)∪(0,4)
[素养小结]
判断点的轨迹是否为双曲线时,要根据双曲线的定义成立的充要条件.
◆ 探究点二　双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=4,经过点A;
(2)经过点(3,0),(-6,-3);
(3)与双曲线-=1有相同的焦点且过点P(2,1).
[素养小结]
双曲线标准方程的两种求法:
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.
特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1,注意标明条件mn<0.
◆ 探究点三　双曲线定义的应用
例3 (1)已知双曲线C:-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若PF1=5,则PF2= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.9 B.1
C.1或9 D.11或9
(2)已知双曲线-=1,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点M在双曲线上且∠F1MF2=120°,则△F1MF2的面积是　　　　.
变式 (1)已知双曲线-=1上一点M到左焦点F1的距离为10,则MF1的中点N到坐标原点O的距离为 (　 )
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
(2)已知F1,F2分别是双曲线-=1(b>0)的左、右焦点,过F1的直线与双曲线的左、右支分别交于A,B两点,若△ABF2为等边三角形,则b= (　 )
A. B.2
C.4 D.4
(3)已知双曲线的方程为-=1,点F1,F2分别是其左、右焦点,A是圆x2+(y-5)2=4上的一点,点M在双曲线的右支上,则MF1+MA的最小值是　　　　.
[素养小结]
双曲线定义的两种应用
(1)求双曲线上一点P到一焦点F1的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点F2的距离,则根据|PF1-PF2|=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).
(2)双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的焦点三角形PF1F2中,令PF1=r1,PF2=r2,∠F1PF2=θ,因为F1F2=2c,所以有
①定义:|r1-r2|=2a;
②余弦公式:4c2=+-2r1r2cos θ;
③面积公式:=r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.
◆ 探究点四　双曲线的实际应用
例4 (多选题)[2025·安徽黄山一中高二质检] 已知A,B两监测点间的距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设声速为340米/秒,下列说法正确的是 (　 )
A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上
C.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为米
D.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为680米
变式 [2025·江苏锡山中学高二调研] 地震预警是指在破坏性地震发生以后,可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为 (　 )
A.8 km B.6 km
C.4 km D.2 km
[素养小结]
利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.
检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在,判断是双曲线的一支还是两支.3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
1.双曲线-=1的焦点坐标是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(±,0) B.(0,±)
C.(±5,0) D.(0,±5)
2.若双曲线E:-=1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF1=5,则PF2= (　 )
A.11 B.8
C.1或11 D.2或8
3.[2025·江苏丹阳中学高二月考] 已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 (　 )
A.-11
C.k<-1 D.k>1或k<-1
4.[2025·江苏徐州高二期中] 以椭圆+=1长轴的两个端点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
5.设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,若△ABF1为正三角形,则△ABF1的面积为 (　 )
A.4 B.4
C.3 D.3
6.(多选题)[2025·湖南湘潭一中高二月考] 设m,n为实数,已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,则下列说法正确的是 (　 )
A.yP= B.n=2 C.m=1 D.左焦点为(-,0)
7.[2025·江苏徐州一中高二月考] 已知动圆P过点N(-2,0),且与圆M:(x-2)2+y2=8外切,则动圆P的圆心P(x,y)的轨迹方程为　　　　　　　　.
8.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长是　　　　.
9.(13分)分别求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点为(0,-6),(0,6),且过点A(-5,6);
(2)经过点M,N,且焦点在坐标轴上;
(3)与双曲线-=1有相同的焦点,且过点(3,2).
10.(13分)[2025·浙江绍兴上虞中学高二期中] 曲线C:-=1(m≠-3且m≠1).
(1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围;
(2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标.
11.[2025·广东梅州中学高二质检] 从某个角度观察篮球(如图①),可以得到一个对称的平面图形,如图②所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分,在图②中,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,AB=BC=CD=2,则双曲线的方程为 (　 )
① ②
A.x2-=1 B.2x2-y2=1
C.x2-=1 D.x2-=1
12.[2025·江苏如东中学高二质检] 事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题,结合上述观点,可得方程-=4的解是(　 )
A. B.
C. D.
13.[2025·河北廊坊一中高二质检] 已知P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上异于两个顶点A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,写出满足焦距小于8且314.[2025·江苏常州中学高二质检] 已知双曲线-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则PQ+PF1的最小值为　　　　.
15.[2025·江苏金陵中学高二调研] 费马原理是几何光学中的一条重要原理,在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如,点P为双曲线(F1,F2为焦点)上一点,点P处的切线平分∠F1PF2.已知双曲线C:-=1,O为坐标原点,l是双曲线C在点P处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则OM=　　　　.
16.(15分)如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处分别有1个监测点A,B,C,且OA=OB=OC=30 km,一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注:信号每秒传播V0 km).
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)若C点信号失灵,现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证有救援希望,扫描半径r至少是多少

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