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2024-2025学年甘肃省兰州市志成中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于x的一元二次方程的是（　　）
A. 2x=3 B. x2+1=0 C. x2+y=5 D.
2.反比例函数y=-的图象一定经过的点是（　　）
A. （1，10） B. （-2，5） C. （2，5） D. （2，8）
3.若∠A为锐角，且tanA=，则cosA的值为（　　）
A. B. C. D.
4.如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B.若测得AB=16米，DA=3米，CA=4米，则楼高EB为（　　）
A. 10米
B. 12米
C. 15米
D. 20米
5.若函数+mx+1是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A. 0 B. 3 C. 0或3 D. 1或2
6.如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的面积为（　　）
A. 10
B. 24
C. 40
D. 48
7.如图表示一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，它的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，相似比为1：2，下列结论中不正确的是（　　）
A. BC：EF=1：2
B. OA：AD=1：2
C. ∠ACB=∠DFE
D. ∠OAC=∠ODF
9.用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被等分成两个扇形，B转盘被等分成三个扇形.如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（　　）
A. B. C. D.
10.为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价.若设平均每次降价的百分率为x,该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A. y=100（1-x） B. y=100（1+x） C. y=50（1+x）2 D. y=50（1-x）2
11.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 A1B1C1相似的是（　　）
A. B. C. D.
12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形.
其中，正确的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为______．
14.若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围为______.
15.抛物线y=2x2+8x-6的顶点坐标是______.
16.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）.小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，两瓶溶液恰好都变红色的概率是______.
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程：4（x+1）2-8=0.
18.(本小题4分)
解方程：2x2-4x-3=0．
19.(本小题4分)
计算：.
20.(本小题6分)
如图，CD为 ADEC的对角线，延长AD至点B，使得BD=AD，AC=18，BC=12，连接BE，且BE=CE.
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）连接BC，若AC=BC，试判断四边形CDBE的形状，并说明理由.
21.(本小题6分)
如图直线y1=-x+m与双曲线（x＞0）交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）当y2＞y1时，直接写出x的取值范围.
22.(本小题6分)
某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个.
（1）每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？
（2）每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，-2），B（-5，-4），C（-1，-5）.
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2；
（3）①点B1的坐标为______.
②求△A2B2C2的面积.
24.(本小题6分)
如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成.如图，墙长为16m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由.
25.(本小题6分)
2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的.如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线y=ax2+x+c的一部分.以O为坐标原点，建立平面直角坐标系.已知投篮处A到地面的距离AO=2.25m,最高点B的坐标为（2.5，3.5），篮筐中心距离地面的竖直高度是3.05m.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离OC为4m时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由.
26.(本小题7分)
如图，点E是矩形ABCD中AD边上一点，△ABE沿BE折叠为△FBE，点F落在CD上.（1）求证：△CFB∽△DEF；
（2）若，BC=cm,求BF的值.
27.(本小题7分)
自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，已知斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）.（结果保留根号）
（1）求此时甲、乙两市民的距离CD；
（2）求飞机此时距离地面的高度AB.
28.(本小题9分)
类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件______.
（2）问题探究
如图2，已知，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
①四边形ACBD ______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；
②求线段DB的长度.
（3）拓展应用
如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC和BD为四边形的对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系，并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（-2，-14）
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】解：∵a=2，b=-4，c=-3，
∴△=16-4×2×（-3）=40＞0，
则x==．
19.【答案】解：原式=
=1-1+3+1
=4．
20.【答案】（1）证明：在 ADEC中，AD=CE，CE∥AD，
∵BD=AD，BC=12，AC=18，
∴CE=BD，
∴四边形DCEB是平行四边形，
∵BE=CE，
∴平行四边形DCEB是菱形；
（2）解：结论：四边形DBEC是正方形，
理由如下：
由（1）得，DC=EB，DB=CE，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
∵AC=BC，
∵BE=AB，
∴DE=BC，
∴ DCEB是矩形，
又∵ DCEB是菱形，
∴四边形CDBE是正方形．
21.【答案】y1=-x+3，y2=；
；
当y2＞y1时，x的取值范围是1＜x＜2．
22.【答案】当每个陀螺涨价4元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元；
当每个陀螺涨价7元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为338元．
23.【答案】；
；
①（-5，4）；②22
24.【答案】解：（1）根据题意得：x（30-2x）=108，
整理得：x2-15x+54=0，
解得：x1=6，x2=9，
当x=6时，30-2x=30-2×6=18＞16，不符合题意，舍去；
当x=9时，30-2x=30-2×9=12＜16，符合题意．
答：x的值为6；
（2）苗圃园的面积不能达到120m2，理由如下：
假设苗圃园的面积能达到120m2，
根据题意得：x（30-2x）=120，
整理得：x2-15x+60=0，
∵Δ=（-15）2-4×1×60=-15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m2．
25.【答案】； 这次投篮训练能成功，理由见解析．
26.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠CBF+∠CFB=90°，
∵△ABE沿BE折叠为△FBE，
∴∠EFB=∠A=90°，
∴∠DFE+∠CFB=90°，
∴∠DFE=∠CBF，
∴△CFB∽△DEF；
（2）解：由（1）得：△CFB∽△DEF，
∴，
设CF=k,BF=3k（k＞0），
∵BF2-CF2=BC2，，
∴，
∴k1=2，k2=-2（舍去），
∴BF=3k=6cm.
27.【答案】解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵斜坡CF的坡比=1：3，
∴，
∵铅垂高度DG=30米，
∴CG=90米，
∴CD==30（米），
答：甲、乙两市民的距离CD为30米；
（2）∵DG⊥BG，AB⊥BG，
∴四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则AH=AB-BH=（x-30）米，
DH=BG=CG+BC=（x+90）米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
答：飞机距离地面的高度为米．
28.【答案】AB=BC（或BC=CD或CD=AD或AD=AB任写一个即可）；
①是；
②2；
AC=AB．理由见解答过程．
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