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2024-2025学年甘肃省武威市凉州区洪祥九年制学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知关于x的方程x2+2x+a=0有一个根是-3，则a是（　　）
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
2.若关于x的一元二次方程kx2-8x+4=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＞4 B. k＜4且k≠0 C. k≤4且k≠0 D. k＞4且k≠0
3.抛物线y=（x-1）2-9经变换后得到抛物线y=（x+1）2-9，则下列变换正确的是（　　）
A. 向上平移2个单位长度 B. 向下平移2个单位长度
C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移2个单位长度
4.已知点A（m-1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y=a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A. 当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 B. 当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0
C. 当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 D. 当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0
5.如图，△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F.当α=40°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE=（　　）
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD.若，∠ADC=130°，则∠BDC的度数是（　　）
A. 65°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
7.如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，AB∥CD，若OB=16cm,OC=12cm,则BE+CG等于（　　）
A. 14cm
B. 16cm
C. 18cm
D. 20cm
8.若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为（　　）
A. B. 2 C. D. 1
9.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是（　　）.
A. 2π-4
B. π-4
C. π-2
D.
10.甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”：乙口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“学”、“美”.从这两个口袋中各随机取出1张卡片，取出的2张卡片恰好有“数”、“美”两个字的概率是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0的常数项为0，则m的值是 .
12.若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则=______
13.已知关于x的二次函数y=（x-1）2-2，则函数值y的最小值是 .
14.如图，二次函数y1=x2+bx+c与一次函数为y2=mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+（b-m）x+c＜n的解集为 .
15.如图，在△ABC中，∠BAC=134°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，∠BAD的度数为 .
16.如图，⊙O的半径为5，C是⊙O上一点，直线l⊥OC交⊙O于A，B两点，垂足为H，已知AB=8.若将直线l沿OC所在的直线平移后恰与⊙O相切，则平移的距离为 .
17.如图，正五边形ABCDE，F为CD的中点，连结AF，与对角线BD交于点G，则∠AGD度数为______.
18.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和5个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是 .
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上.
（1）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（2）画出与△AOB关于原点O对称的△A2OB2.
20.(本小题6分)
解方程：
（1）x2+2x-5=0；
（2）（2x-5）2-（x+4）2=0.
21.(本小题6分)
超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
22.(本小题8分)
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为A（-1，0），另一交点为B，与y轴的交点坐标为C（0，3）.
（1）求出b,c的值；
（2）求出顶点D的坐标以及S△BCD面积.
23.(本小题8分)
如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD，AF.
（1）求∠CAF度数；
（2）求证：△ACD≌△ECD；
（3）判断AD和BC的位置关系，并说明理由.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交边AC、BC于点D、E，连接BD，过点B的直线与过点C的直线互相垂直，垂足为点F，BD=BF.
（1）判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=10，BD=6，求BE的长.
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=20°，点O在斜边AB上运动.以点O为圆心，OB为半径的圆与边AC相切.
（1）求证：BD平分∠ABC.
（2）求∠ADE的度数.
26.(本小题8分)
不透明的布袋中有标有数字2，-1，-3，6的四个小球，除数字外其余全部相同，先从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为a,不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为b.
（1）请你用列表法或树状图法写出（a,b）所有可能的结果；
（2）求所选出的a,b能使坐标点（a,b）落在第二象限的概率.
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接BD、DC.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当CD∥AB时，求点D坐标及四边形COBD的面积；
（3）连接BC，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】-1
12.【答案】-．
13.【答案】-2
14.【答案】1＜x＜4
15.【答案】88°
16.【答案】2或8
17.【答案】126°
18.【答案】
19.【答案】；

20.【答案】解：（1）x2+2x-5=0，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
则x+1=，
所以．
（2）（2x-5）2-（x+4）2=0，
（2x-5+x+4）（2x-5-x-4）=0，
（3x-1）（x-9）=0，
则3x-1=0或x-9=0，
所以．
21.【答案】解：（1）根据题意得：20+6×2=32（件），
答：平均每天销售数量为32件；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40-x）元，平均每天可售出（20+2x）元，依题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
整理得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又要让顾客得到更大实惠，
∴x=20．
答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元．
22.【答案】（1）将A（-1，0）与C（0，3）代入二次函数解析式得：
，
解得：；
（2）由（1）知二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
作DM⊥y轴于M，如图所示：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D（1，4），
令y=0，则-x2+2x+3=0，
即（x-3）（x+1）=0，
可得：x-3=0或x+1=0，
解得：x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∵OC=3，
∴OM=4，
∴S△BCD=S梯形OBDM-S△CDM-S△BOC
=（1+3）×4-×1×1-×3×3
=3．
23.【答案】75°；
∵△ABC和△EFC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠E=60°，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS）；
AD∥BC，理由如下：
∵△ACD≌△ECD，
∴∠DAC=∠E=60°，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC
24.【答案】解：（1）直线BF与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
∵BF⊥CF，
∴∠BDC=∠F=90°，
在Rt△BDC与Rt△BFC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△BFC（HL），
∴∠DCB=∠FBC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CBF=90°，
∴∠ABF=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴直线BF与⊙O相切；
（2）连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴AD===8，
∴CD=2，
∵AB=AC，
∴BE=，
∵∠ABC=∠ACB，∠AEB=∠BDC，
∴△ABE∽△BCD，
∴，
∴，
∴BE=（负值舍去）．
25.【答案】见解答；
35°
26.【答案】解：（1）列表如下：
2 -1 -3 6
2 （2，-1） （2，-3） （2，6）
-1 （-1，2） （-1，-3） （-1，6）
-3 （-3，2） （-3，-1） （-3，6）
6 （6，2） （6，-1） （6，-3）
由表格可知，共有12种等可能的结果．
（2）由表格可知，所选出的a,b能使坐标点（a,b）落在第二象限的结果有：（-1，2），（-1，6），（-3，2），（-3，6），共4种，
∴所选出的a,b能使坐标点（a,b）落在第二象限的概率为．
27.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
即y=ax2-2ax-8a,
∴-8a=6，
解得a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+6；
（2）在y=-x2+x+6中，当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
∵CD∥AB，
∴点D的纵坐标为6，
把y=6代入y=-x2+x+6得，6=-x2+x+6，
解得x1=0，x2=2，
∴D（2，6），
∴CD=2，
∵OC=6，OB=4，
∴四边形COBD的面积=（2+4）×6=18；
（3）过D点作DE∥y轴交BC于E点，如图，
当x=0时，y=-x2+x+6=6，则C（0，6），
设直线BC的解析式为y=px+q,
把B（4，0），C（0，6）分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x+6，
设D（m,-m2+m+6），则E（m,-m+6），
∴DE=-m2+m+6-（-m+6）=-m2+3m,
∴S△BCD= DE×4=2DE=-m2+6m=-（m-2）2+6，
当m=2时，S△BCD有最大值，最大值为6，此时D（2，6）．
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