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2024-2025学年甘肃省武威市凉州区长城中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（　　）
A. 2，2，4 B. 2，3，6 C. 2，4，5 D. 2，4，6
2.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，若∠1+∠2=110°，则∠A度数为（　　）
A. 35°
B. 55°
C. 70°
D. 110°
3.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，当△ABP与△PQC全等时，v的值为（　　）
A. 2.4 B. 2.4或2 C. 2.4或2.5 D. 2或2.5
4.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD=3，则PE的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AB=9，AC=10，BC=8，则△BCD的周长是（　　）
A. 13.5
B. 17
C. 18
D. 19
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 70°
7.设2a=3，2b=6，2c=12.现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c=2b；②a+b=2c-3；③b+c=2a+1；④b2-ac=1.其中，正确的关系式有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.下列运算正确的是（　　）
A. （a+b）2=a2+b2 B. 2a3 3a2=6a6 C. a4÷a3=a D. a8÷a2=a4
9.若分式有意义，则x的值是（　　）
A. x=-1 B. x＞-1 C. x＜-1 D. x≠-1
10.甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（　　）
A. -= B. =- C. -20= D. =-20
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图所示，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 .
12.一个多边形的每个内角都是150°，这个多边形是 边形.
13.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是BC边中点，设AD=x,则x的取值范围是 .
14.如图，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F.若点F是DE的中点，AD=8，△AEF的面积为10，则点B、E之间的距离为 .
15.△ABC中，∠ABC是锐角，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过A作AE⊥AD交BD的延长线于点E.当△ABC是直角三角形，且△ADE与△ABC中有一个锐角相等时，∠ABC的度数是 .
16.若m、n满足3m-n-2=0，则8m÷2n= ______.
17.因式分解：（x+y）2-（x+y）= ______.
18.当a=2，b=-3时，= .
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（-3，2），（-4，-2），（-1，-3）.若△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′.请在图中作出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标.
20.(本小题6分)
分解因式：（Ⅰ）a2+6ab+9b2；
（Ⅱ）（2x+y）2-（x+2y）2.
21.(本小题8分)
解分式方程
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线.
（Ⅰ）求∠CAB的大小；
（Ⅱ）求∠AEB的大小.
23.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.
（1）求证：BE=FC；
（2）若AB=15，AF=9，求FC的长.
24.(本小题6分)
如图，∠C=∠E，AC=AE，点D在BC边上，∠1=∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．
25.(本小题6分)
如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E.求证：.
26.(本小题6分)
先化简，再求值：（2a-b）2-（b-a）（b+a）+a（2b-5a），其中a=，b=2.
27.(本小题8分)
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天.
（Ⅰ）这项工程的规定时间是多少天？
（Ⅱ）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成.则该工程施工需要多少天？
28.(本小题10分)
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AC边上（不与点A，C重合），连接BD，过D作DE⊥BD，且DE=BD，连接BE交AC的延长线于点F.
（1）如图1，若BD平分∠ABC，求证：DF=2CD；
（2）如图2，在（1）的条件下，过D作DG⊥AC交AB于G，过E作EH⊥GD交GD的延长线于H，求证：BG+DH=BC；
（3）如图3，连接AE，M是AE的中点，连接DM，求∠ADM的度数.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】26
12.【答案】十二
13.【答案】1＜x＜7
14.【答案】10
15.【答案】45°或30°
16.【答案】4
17.【答案】（x+y）（x+y-1）
18.【答案】-18
19.【答案】如图所示，△A′B′C′即为所求．
A′（3，2），B′（4，-2），C′（1，-3）．
20.【答案】解：（Ⅰ）a2+6ab+9b2=（a+3b）2；
（Ⅱ）（2x+y）2-（x+2y）2
=（2x+y+x+2y）（2x+y-x-2y）
=（3x+3y）（x-y）
=3（x+y）（x-y）．
21.【答案】解：（I），
方程两边同乘最简公分母（x-2），得1=x-1-3（x-2），
去括号，得1=x-1-3x+6，
移项、合并同类项，得-2x=-4，
将系数化为1，得x=2，
检验，把x=2代入x-2=0，则x=2是分式方程的增根，
所以分式方程无解；
（II），
方程两边同乘最简公分母（1+x）（1-x），得1-x2-x（1-x）=2x,
去括号，得1-x2-x+x2=2x,
移项、合并同类项，得3x=1，
解得：，
检验，把代入（1+x）（1-x）≠0，
所以是分式方程的解．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵∠BCD=30°，∠ACB=80°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=80°-30°=50°，∠CBD=90°-∠BCD=90°-30°=60°，
∴∠CAB=90°-∠ACD=90°-50°=40°；
（Ⅱ）∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB=∠CAB=×40°=20°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=180°-20°-60°=100°．
23.【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在△BED和△FCD中，
，
∴△BED≌△FCD（HL），
∴BE=FC．
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AC．
∵AF=9，
∴AE=AC=AF+FC=9+FC．
∵AB=15，
∴BE=AB-AE=15-9-FC=6-FC．
根据（1）得BE=FC，
∴FC=6-FC，
解得FC=3．
24.【答案】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，
即∠ADE+∠2=∠1+∠B，
而∠1=∠2，
∴∠ADE=∠B，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
25.【答案】见解析．
26.【答案】解：原式=4a2-4ab+b2-b2+a2+2ab-5a2
=-2ab.
当a=，b=2时，原式=-2×=-2．
27.【答案】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意得：（+）×15+=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）由（1）可知，3x=90，
设该工程施工需要m天，
由题意得：（+）m=1，
解得：m=22.5，
答：该工程施工需要22.5天．
28.【答案】∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠BDF=∠A+∠ABD=45°+22.5°=67.5°．
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
又∵BD=DE，
∴∠DBE=45°，
在△BDF中，∠BDF+∠DBF+∠BFD=180°，
∴∠BFD=180°-∠BDF-∠DBF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BD=BF，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥DF，
∴C为DF中点，
∴DF=2CD；
∵，∠ACB=90°，
∴∠BDC=90°-22.5°=67.5°．
∵∠BDE=90°，
∴∠EDF=22.5°，
∵DG⊥AC，
∴∠EDH=90°，
∴∠HDE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BDC=∠EDH，
∵EH⊥DG，
∴∠H=90°，
∴∠H=∠DCB，
在△HDE和△CDB中，
，
∴△HDE≌△CDB（AAS），
∴HD=CD．
∵∠GDC=90°，∠BDC=67.5°，
∴∠BDG=22.5°，
∴∠BDG=∠DBG，
∴BG=DG．
∵∠A=45°，∠ADG=90°，
∴∠AGD=45°，
∴∠A=∠AGD，
∴AD=DG，
∴AD=BG，
∴BG+DH=AD+CD=AC，
∵BC=AC．
∴BG+DH=BC；
∠ ADM=135°
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