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2024-2025学年河南省南阳市镇平县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≠7 B. x=7 C. x≥7 D. x≤7
2.关于x的一元二次方程x2-2x=-1的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3.如图，一架飞机A在地面目标B的正上方1000米处，飞行员测得另一地面目标C的俯角为30°，则B，C之间的距离为（　　）
A.
B. 1000
C.
D. 2000
4.将抛物线y=2x2+1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A. y=2（x-2）2-2 B. y=2（x+2）2+2 C. y=2（x-2）2+2 D. y=2（x+2）2-2
5.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A=40°，则∠BCO的度数为（　　）
A. 60°
B. 50°
C. 45°
D. 40°
6.若关于x的方程（x-2）2=-b是由x2+ax-b=0配方后得到的，则a、b的值分别为（　　）
A. 4，2 B. -4，-4 C. -4，-2 D. -4，2
7.如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A、B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（　　）米
A. 0.68 B. 0.69 C. 0.86 D. 0.96
8.如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标是（-1，4），则下列说法正确的是（　　）
A. 2a+b=0
B. y最大值=-1
C. a+b+c=0
D. 4a-2b+c＜0
10.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到AB中点时，PO的长为（　　）
A. 2 B. C. D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2=2x的根为______．
12.如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面0.8米.台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡.斜坡的坡度i=1：10，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是 米.
13.圆周率π是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是______.
14.一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.现测得当水面宽AB=2m时，涵洞顶点与水面的距离为2m.这时，离开水面1.5m处，涵洞ED的宽度是 .
15.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=6，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，折痕交AB边于点T，交AD边于点S，P为A′T的中点，连接BP，则线段BP长度的取值范围是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：×-（1-）0-；
（2）.
17.(本小题9分)
二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”.王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义.
（1）2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______；
（2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称.请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率.
18.(本小题9分)
已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
（2）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
①函数y＜0时，x的取值范围是______；
②方程的根是______；
③试写出此函数的一条性质；
④已知点A（-1，y1），，C（4，y3）都在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______（用“＜”连接）.
19.(本小题9分)
数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，某小组把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），进行了如图所示的实践活动：
由所测数据，画出示意图（图4），量得眼睛到地面的距离AB=1.6m,所站位置到旗杆底部的距离BC=16.8m.
（1）根据图3中测角仪的读数可知仰角α的度数为______.
（2）根据已测数据，求旗杆CD的高度.
（精确到0.1m,参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
20.(本小题9分)
如图，锐角△ABC内接于⊙O，AB=AC，射线BE经过圆心O并交⊙O于点D，连接AD、CD，BC与AD的延长线交于点F.
（1）求证：DF平分∠CDE.
（2）①比较大小：∠ABD______∠F（填“＞，═，＜”）.
②若，⊙O的半径为，则DF的长为______.
（3）若∠ACD=30°，CD=1，则AB的长为______.
21.(本小题9分)
某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度3m,水柱B落地点到水池中心的水平距离为3m,以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）点C、点D的坐标分别为______、______；
（2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
（3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m的地方，通过计算说明身高1.85m的王师傅是否会被淋湿？
22.(本小题10分)
如图，华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题：
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，找出图中所有的相似三角形，并说明理由.
（1）动手实践：王老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图，现请你利用尺规作图在图2中作AB边上的高CD（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）观察思考：你发现图中存在______对相似三角形.
（3）深入探究：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，写出下列三个结论：
①AC2=AD AB，②BC2=BD AB，③CD2=______.
请补全③，并按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明.
23.(本小题10分)
综合与实践
【问题背景】
我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：
用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.
怎样围才能使花圃的面积最大？
【尝试探究】
（1）如图，设围成的矩形花圃为ABCD.我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的.请补充完整如下表格：
Ab的长（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC的长（m） 18 16 ______ 12 ______ ______ 6 4 2
面积（m2） 18 32 ______ 48 ______ ______ 42 32 18
【观察发现】
（2）设AB的长为x,矩形的面积为y,我们发现：y是x的函数.
①请写出y与x的函数关系式为：______（整理成一般形式）；
②自变量x的取值范围是：______；
【问题解决】
（3）请将y与x的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值；
【拓展探究】
（4）用总长为a米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.当与墙垂直的一边长度为______时，围成的花圃的面积最大，最大面积为______.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】x1=0，x2=2
12.【答案】8
13.【答案】
14.【答案】1m
15.【答案】
16.【答案】；
2
17.【答案】．
．
18.【答案】①1＜x＜3；②x1=1，x2=3；③当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；④y2＜y3＜y1
19.【答案】35°；
旗杆的高度CD约为13.4m
20.【答案】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∠EDF=∠ADB，
∴∠EDF=∠ABC．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°．
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-∠BAD-∠BCD=180°．
∵∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠FDC=∠ABC，
∴∠EDF=∠FDC，
∴DF平分∠CDE；
①=；
②6；

21.【答案】（3，0），（1，3）；
；
王师傅不会被淋湿，理由：
当x=2时，，
2.25＞1.85．
答：王师傅不会被淋湿
22.【答案】AB边上的高CD，如图2即为所求；
3；
∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD BD．
∵△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD AB，
∵△CDB∽△ACB，
∴，
∴BC2=BD BA；
故答案为：AD BD
23.【答案】14，10，8，42，50，48； ①y=-2x2+20x；②0＜x＜10； y=-2（x-5）2+50，最大值为50；
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