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2024-2025学年江西省赣州市龙南市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 瓮中捉鳖
3.下列说法正确的是（　　）
A. 三点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 相等的圆心角所对的弦相等
D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
4.将方程3x2+1=5x化成ax2+bx+c=0的形式，则a,b,c的值分别为（　　）
A. 3，5，1 B. 3，5，-1 C. 3，-5，-1 D. 3，-5，1
5.若，则的值为（　　）
A. B. 5 C. D.
6.如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　）
A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.抛物线y=-2（x+3）2-5的顶点坐标为______．
8.已知⊙O的直径为4cm,点P到圆心O的距离为2cm,则点P与⊙O的位置关系是 .
9.长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是______.
10.如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段AB的黄金分割（AC＞BC），已知AB=10cm,则AC长为 cm.（结果保留根号）
11.如图，AD是⊙O的直径，弦BC与弦CD长度相同，已知∠A=60°，则∠DOC=______．
12.如图所示，点A、B在直线MN上，AB=11cm,⊙A的半径为1cm,⊙B的半径为2cm,⊙A以每秒2cm的速度从A点运动到B点，当点A出发后 秒两圆相切.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.解方程：x2-2x-3=0．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
已知点A（2a+2，3-3b）与点B（2b-4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．
15.(本小题6分)
已知弧AB，请用尺规作出弧AB所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）．
16.(本小题6分)
在如图所示的电路图中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡L1发光的概率.
17.(本小题6分)
如图，点A，B，C，D在⊙O上，=．求证：AC=BD．
18.(本小题8分)
如图，在7×4方格纸中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图.
（1）在图1中△ABC的边AB上确定一点D，连结CD，使△CAD∽△BAC.
（2）在图2中的线段AC上找一个点E，使AC=3AE.
19.(本小题8分)
小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下.
求：
（1）大树到城堡南门的距离；
（2）城堡外圆的半径.
20.(本小题8分)
如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，.
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求△ABF的面积.
21.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若CD=3，AD=5，求⊙O的半径长.
22.(本小题9分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3）和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C.
（1）求m的值以及点D坐标；
（2）P为x轴上的一动点，△CBP的面积为6时，求P点坐标.
23.(本小题12分)
如图（1），在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E在边AB上，且BE=2AE.点P是BD上一个动点，以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG；设PD=x,正方形PEFG的面积为y,y是关于x的函数图象是抛物线如图（2）所示.
（1）AB的长为______，自变量x的取值范围是______；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当正方形PEFG的面积为6时，试判断点F是否落在BD上？并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】（-3，-5）
8.【答案】点P在⊙O上
9.【答案】
10.【答案】5-5
11.【答案】60°
12.【答案】4或5
13.【答案】解：将原方程左边分解因式，得
（x-3）（x+1）=0，
∴x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1．
14.【答案】解：∵点A（2a+2，3-3b）与点B（2b-4，3a+6）关于坐标原点对称，
∴，
解得：．
15.【答案】解：如图，点O为所作．

16.【答案】解：树状图如下，
由上可知：共有6种等可能的情况，其中能让灯泡L1发光的情况有2种，
∴能让灯泡L1发光的概率为．
17.【答案】证明：∵=，
∴+=+，
即=，
∴AC=BD．
18.【答案】解：（1）设一个方格长度为1，根据题意，AC2=，BC2=，AB2=，
得AC2+BC2=AB2，
故∠ACB=90°，
作CD⊥AB于点D，
则点D即为所求．
理由如下：
∠ACB=∠ADC=90°，且∠A=∠A，
故△CAD∽△BAC．
（2）取CN=2，NM=1，
过点N作NE∥AM交AC于点E，
则点E即为所求．理由如下：
∵NE∥AM，
∴，
∵CN=2，NM=1，
∴，
∴，
故AC=3AE．
19.【答案】解：（1）如图，⊙O表示圆形城堡，
由题意知：AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，
∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD=BC=9里，
∵AD=6里，
∴AB=AD+BD=15（里），
∴AC==12，
答：大树到城堡南门的距离为12里；
（2）∵tanA=，
∴，
∴OD=4.5（里）．
∴城堡的外围直径为2OD=9（里）．
答：城堡外圆的半径为9里．
20.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，E是CD的延长线上一点，
∴AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵∠A=∠C，
∴△ABF∽△CEB．
△ABF的面积为8
21.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠4．
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB．
（2）解：如图2，作OE⊥AD于点E，
，
设⊙O的半径为x,
∵AD⊥CD，OE⊥AD，
∴OE∥CD；
由（1），可得AD∥OC，
∴四边形OEDC是矩形，
∴OE=CD=3，AE=AD-DE=5-x,
∴32+（5-x）2=x2，
解得x=3.4，
∴⊙O的半径是3.4．
22.【答案】解：（1）把点A（2，3）代入，得m=6，
联立
得D（-6，-1）；
（2）根据题意得B（0，2），C（-4，0），，
则PC|=6．（6分）
设P点坐标为（a,0），故|a+4|=6，解得a=2或a=-10．
所以P点坐标为（2，0）或（-10，0）．
23.【答案】；
y=（x-6）2+3；
当时，点F在BD上；当时，点F不在BD上，见解析
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