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2024-2025学年江西省赣州市石城县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 打开电视机正在播放新闻联播 B. 任意一个一元二次方程都有实数根
C. 买一注彩票中500万 D. 一个三角形的三个内角和是180°
3.如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，若∠ADB=40°，则∠BAC等于（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
4.如果将抛物线y=（x+1）2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式为（　　）
A. （x+2）2+2 B. （x-2）2+2 C. （x+1）2+2 D. （x-2）2+1
5.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作AB⊥x轴，取AB中点C，点D在y轴上，连接AD、CD，△ACD的面积为2，则k的值是（　　）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
6.正方形ABCD中，将AB沿AE折叠，使得点B在AC上为点F，折痕为AE，连接EF、GF，给出下列结论：（1）∠BAE=22.5°；（2）；（3）S△ABG=S△AOG；（4）四边形BEFG为菱形；（5）若S△AOG=1，则正方形ABCD的面积为.其中正确的结论是（　　）
A. （1）（4） B. （1）（2）（5）
C. （1）（3）（4） D. （1）（4）（5）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知点A（-3，4）与点A′（m,n）关于原点对称，则m+n= .
8.若一个圆内接正多边形的中心角是45°，则这个正多边形是 .
9.在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有a个白球，这些球除颜色外完全相同.若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为 .
10.已知关于x的一元二次方程x2-4x-1=0的两个实数根分别为x1和x2，则的值为 .
11.如图，正三角形OMN，点，将三角形沿x轴的正方向翻转2025次，点M以此落在点M1，M2，M3，…M2025的位置，则点M2025的坐标为 .
12.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接AP、DP，当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的长为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解方程：x2-3x=0；
（2）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△DEC，连接BE、DE，求∠BED的度数.
14.(本小题6分)
如图，点A在x轴上，OA=2，点B（-2，-8），求经过点A、O、B的抛物线的解析式.
15.(本小题6分)
春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可.春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼.小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别.
（1）王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是______；
（2）用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率.
16.(本小题6分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，AD为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在图1中作出圆心.
（2）在图2中，画出CE，使得CE⊥AD.
17.(本小题6分)
老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量.如图是县城某小区的一块闲置空地，长32m,宽20m的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为570m2，求小路的宽.
18.(本小题8分)
如图，一次函数和反比例函数的图象交于点A（a,1）与点B.
（1）求a的值与反比例函数关系式y2；
（2）连接OA、OB，求S△AOB；
（3）若y1＜y2，请结合图象直接写出x的取值范围.
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-（2k-3）x+k2-2=0有实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值.
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，点F在⊙O上，AD⊥CD，CD与⊙O于点F，且点F是弧BE的中点.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=5，，求⊙O的半径.
21.(本小题9分)
春联一般是用对仗工整、简洁精致的文字描绘美好形象，贴春联是人们对新年的美好愿望.春节临近，某商店发现商机，已知一种春联的成本价每副8元，市场调查发现，春节期间，该种春联每天的销售量y（副）与销售单价x（元）（8≤x≤20）.当售价为10元时，一天能卖30副，每涨价1元，少卖1副.设这种春联每天的销售利润为w元.
（1）写出销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）求销售利润w与x的函数关系式；
（3）该种春联的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题9分)
如图1是一种装饰物件的摆动装置，QR在地面上，支架PQR是底边为QR的等腰直角三角形，摆动臂PN可绕点P旋转，摆动臂MN可绕点N旋转，PN=30cm,MN=10cm.
（1）在旋转过程中.
①当P、N、M三点在同一直线上时，PM的长为______；
②当P、N、M三点是同一个直角三角形的三个顶点时，求PM的长.
（2）若摆动臂PN由三角形PQR外顺时针旋转90°到三角形内，点N的位置由△PQR外的点N转到其内的点N′处，连接NN′，如图2，此时∠PN′R=135°，RN′=60cm,求QN′的长.
23.(本小题12分)
如图（1），在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E在边AB上，且BE=2AE.点P是BD上一个动点，以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG；设PD=x,正方形PEFG的面积为y,y是关于x的函数图象是抛物线如图（2）所示.
（1）AB的长为______，自变量x的取值范围是______；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当正方形PEFG的面积为6时，试判断点F是否落在BD上？并说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】-1
8.【答案】正八边形
9.【答案】4
10.【答案】5
11.【答案】
12.【答案】6或或
13.【答案】x1=0，x2=3；
15°
14.【答案】y=-x2+2x．
15.【答案】；

16.【答案】如图1，点O即为所求圆心；
如图2，CE即为所求．

17.【答案】小路的宽为1米．
18.【答案】；
S△AOB=3；
-4＜x＜0或x＞2
19.【答案】；
k=1
20.【答案】连接OF，
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA（等边对等角），
∵点F为弧BE的中点，
∴，
∴∠BAF=∠DAF（等弧所对的圆周角相等），
∴∠DAF=∠OFA．
∴OF∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OF⊥CD，即OF为⊙O的切线；
2.5
21.【答案】y=-x+40（8≤x≤20）；
w=-x2+48x-320（8≤x≤20）；
当销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润为240元
22.【答案】①40cm或20cm；②或；

23.【答案】；
y=（x-6）2+3；
当时，点F在BD上；当时，点F不在BD上，见解析
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