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2024-2025学年内蒙古通辽市奈曼旗九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（　　）
A. 甲醛 B. 甲烷
C. 水 D. 乙酸
2.“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行
3.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
4.下列事件中，是必然事件的是（　　）
A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪．
5.将抛物线y=3（x-2）2+1，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（　　）
A. y=3（x+1）2+3 B. y=3（x-5）2+3 C. y=3（x-5）2-1 D. y=3（x+1）2-1
6.如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论错误的是（　　）
A.
B. =
C. AC=BD
D. AD=BD
7.某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x,则依据题意可列方程（　　）
A. 137（1-x）2=368 B. 137（1+x）2=368
C. 180（1-x）2=461 D. 180（1+x）2=461
8.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　）
A. 3 B. C. D.
9.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC处，此时点D刚好落在AB边上，且DE⊥AC，若∠B=70°，则∠E的度数为（　　）
A. 50°
B. 40°
C. 55°
D. 45°
10.如图，抛物线（a≠0）与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x=-1；③当-3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a-b（m为任意实数），其中正确的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，共15分。
11.如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是（-3，2），为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点A′，则点A′的坐标是 .
12.小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为6m2的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如表（石子不会落在矩形外和各区域边缘）：
投石子的总次数 50次 150次 300次 600次
石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次
石子落在空白区域内的频率
依此估计空白部分的面积可能是 m2.
13.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t= ______s,最高h= ______m.
14.关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为______.
15.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，BD的长为18cm,扇面（阴影部分）的面积为216πcm2，则竹条AB的长为______cm.
16.如图，将二次函数y=x2-1位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）.当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x-3=0；
（2）（x-1）2=3（x-1）.
18.(本小题8分)
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上.
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；
（3）求出点C旋转到C2所经过的路线长.

19.(本小题8分)
春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀.中秋节前，某校举行“传经典 庆佳节“系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）.
（1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
（2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率.
20.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB=60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长
21.(本小题8分)
某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价x元.
（1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含x的式子表示）
（2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由.
22.(本小题8分)
请阅读下列材料，完成相应任务.
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆.下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）.
已知：如图①，C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB=∠ADB.
求证：A，B，C，D四点共圆.
证明：作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内.
如图②，若点D在⊙O外，设AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB=∠AEB（依据1）
又∠AEB=∠ADB+∠DBE，（依据2）
所以∠ACB=∠ADB+∠DBE.
所以∠ACB＞∠ADB.
这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立.
如图③，若点D在⊙O内，
…
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即A，B，C，D四点共圆.
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
依据1：______；依据2：______.
（2）请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分.
（3）如图④，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，∠ABC=90°，∠CAD=16°，AD=BD，则∠ADB的大小为______.
23.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B（-4，0）两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D（2，3）.
（1）求抛物线的解析式并求出点A和点C的坐标；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形BMCA面积的最大值；并直接写出M点的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】（3，-2）
12.【答案】4
13.【答案】2 20
14.【答案】24或25
15.【答案】27
16.【答案】-1≤x≤0或x≥1
17.【答案】解：（1）x2+2x-3=0，
（x+3）（x-1）=0，
x+3=0或x-1=0，
∴x1=-3，x2=1；
（2）（x-1）2=3（x-1），
（x-1）2-3（x-1）=0，
（x-1）（x-1-3）=0，
x-1=0或x-4=0，
x1=1或x2=4．
18.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，A2B2C2即为所求．点B2（1，4），C2（-1，5）．
（3）根据图形可知，点C旋转到C2所经过的路线是半径为AC，圆心角是90°的扇形，
∵AC==2，
∴=π，
∴点C旋转到C2所经过的路线长为π．
19.【答案】（1）；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种，
∴甲和乙选到不同活动项目的概率为=．
20.【答案】（1）证明：如图，连接CO，则ＣＯ为的一条过点C的半径，
，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴CO∥AD，
，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAB=30°，，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴AC=ABsin60°=6×=3．
21.【答案】每件商品的售价是（60+x）元，销售量是（300-10x）件；
当售价定为63元或67元时，利润为6210元
22.【答案】同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图②，若点D在⊙O外，设AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB=∠AEB，（同弧所对的圆周角相等）
又∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠ACB=∠ADB+∠DBE，
∴∠ACB＞∠ADB，
这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立；
如图③，若点D在⊙O内，延长AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠AEB+∠DBE，
∴∠ADB=∠ACB+∠DBE，
∴∠ACB＜∠ADB，
这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在圆内不成立；
32°
23.【答案】；A（1，0）；C（0，-2）；
四边形BMCA面积的最大值为9，此时点M的坐标为（-2，-3）
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