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(共56张PPT)
4.2 等差数列
4.2.3 等差数列的前 项和
第1课时 等差数列的前 项和
探究点一 等差数列前项和的基本计算
探究点二 等差数列的前项和的性质
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能推导等差数列的前 项和公式,能说出“倒序相加法”的特点、
适用条件及操作步骤.
2.能说明等差数列前 项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决
一些简单问题.
知识点一 倒序相加法
如果一个数列 中,与首末项等“距离”的两项之和等于首末两项之
和,那么求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,这样就得到
了一个常数列的和,进而求得数列的前 项和,这一求和方法称为
____________.
倒序相加法
知识点二 等差数列的前 项和公式
1.等差数列的前 项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差 与项数
求和公式 _ _______ _ _____________
2.两个公式的关系:把代入 ,就可以得
到 .
知识点三 等差数列的前 项和的性质
等差数列的前项和 的常用性质
性质1 等差数列中依次项之和,,, 组成公
差为 的等差数列
性质2 若等差数列的项数为，则 ,
, ;
若等差数列的项数为 ，则
是数列的中间项 ，
,
性质3 为等差数列 为等差数列
性质4 若,都为等差数列，,分别为它们的前 项和，
则
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知等差数列的公差为,则当时,等差数列 的前
项的和 .( )
√
（2）等差数列的前项和公式是关于正整数 的二次函数.( )
×
（3）等差数列的前 项和公式的常数项为0.( )
√
（4）设等差数列的前项和为,则与 不可能相等.( )
×
探究点一 等差数列前 项和的基本计算
例1 设等差数列的公差为,前项和为 .
（1）已知，，求 ；
解:由
解得
所以 .
（2）已知，，，求及 ；
解:由 ，
整理得，解得或 （舍去），所以
．
例1 设等差数列的公差为,前项和为 .
（3）已知， ，
，，求 .
解:由 ，
，可得 ，
即 ．
又因为，所以 ．
例1 设等差数列的公差为,前项和为 .
变式 设等差数列的前项和是，若，则
( )
A.5 B.45 C.15 D.90
[解析] 设等差数列的公差为 ，因为
，
所以，
又，所以 .
故选B.
√
［素养小结］
解决等差数列前项和计算问题的思想方法
1.方程思想：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量，
，，和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基
本量和的方程组，解出和，便可解决问题.
2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用，表
示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差
数列的常用性质：若，则
，常与前项和公式结合使用．
探究点二 等差数列的前 项和的性质
例2（1）已知一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与
奇数项之和的比为,求公差 .
解:设该等差数列的前12项中偶数项之和为,奇数项之和为 ,
则解得
由,得 .
（2）设是等差数列的前项和,若,求 .
解:方法一:设等差数列的公差为, 等差数列的前 项和为
,,,整理得 ,
.
方法二:数列为等差数列,则,, 也成等差数列.
,,则数列,,是以为首项, 为公
差的等差数列,,,得,故 .
（3）已知,均为等差数列,其前项和分别为, ,且
,求 .
解: .
（4）已知等差数列和的前项和分别为， ，若
，求 .
解:设等差数列的公差为 ，则
，
又， ，
等差数列和的前项和分别为，，且 ，
，
.
变式（1）［2025·江苏南京一中高二调研］已知等差数列和
的前项和分别为和，若，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，令，则 ，所以
， ，所以
，故选B.
√
（2）［2025·山东临沂一中高二月考］一个等差数列共有 项，奇
数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大 ，则该
数列的项数是( )
A.4 B.8 C.12 D.20
[解析] 设等差数列的公差为 ，根据等差数列的性质得
，，可得 ，故该
数列的项数为 .故选B.
√
［素养小结］
1.涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题,宜用
等差数列前项和的性质求解.
2.涉及两个等差数列有限项和之比的问题,通常是将其转化为两个等
差数列前项和之比来处理.
3.涉及等差数列中与为等差数列的前项和有关的问题,可利
用是等差数列解决.
1.等差数列的前 项和公式的推导方法
（1）倒序相加法.
（2）对于公差为的等差数列 ，
.
2.等差数列前 项和公式的图形理解
我们可以根据梯形面积公式的两种推导方法“补形”与“分割”来理解
等差数列的两个前 项和公式,如图所示.
3.等差数列前 项和公式的选用
分析和 两个公式可得,选用它们
的共同点是需要知道和,不同点是选用公式 时还需要
知道,选用公式时还需要知道 ,解题时需根据已
知条件决定选用哪个公式.
当已知首项、末项和项数时,用公式①较为简便;
当已知首项、公差和项数时,用公式②较为简便.
在运用公式 时,注意结合等差数列的性质.
特别地,等差数列的前项和公式除 外,还可以是
.
例 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,在历
史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学能力,他在进行
的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原
理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也
称之为高斯算法.已知数列满足 ,则
( )
A.96 B.97 C.98 D.99
√
倒序相加法在求值中的应用
[解析] 令 ,则
,两式相加得, ,故选C.
练习册
1.［2025·广东广州越秀区高二期末］已知等差数列 的前9项和为
99，，则公差 ( )
A.2 B.3 C.9 D.12
[解析] 等差数列的前9项和为99，，则 ，
所以 ．故选A.
√
2.已知数列的前项和为，满足，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，；
当 时, .
又当时也满足，故 .故选D.
√
3.已知等差数列的前项和为，， ，则
的值为( )
A.21 B.1 C. D.0
[解析] 设等差数列的公差为, ，
，解得 ，
．故选D.
√
4.［2025·湖南长沙一中高二月考］若数列 满足
，且，则的前15项和
( )
A.135 B.105 C.90 D.75
[解析] 因为，所以数列 为等差数列，
所以 .故选B.
√
5.［2025·江苏苏州中学高二质检］在中国古代数学名题中有一道“八
子分绵”的题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十
七，要将第八数来言．”其题意是把996斤绵分给八个儿子作盘缠，
按照年龄从大到小的顺序，从第二个儿子开始，每人分到的绵比前
一人多17斤，则第八个儿子分到的绵是( )
A.65斤 B.82斤 C.167斤 D.184斤
√
[解析] 设八个儿子按年龄从大到小的顺序依次分绵斤，斤，
斤， ，斤，则数列 是公差为17的等差数列，
设其前项和为 ,因为绵的总重量为996斤，所以
，解得 ，则第八个儿子分到的绵
是 （斤）．故选D.
6.（多选题）记等差数列的前项和为，若 ，
，则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 设等差数列的公差为,由
解得故A正确；
,故B错误；
,当且仅当
时取等号，，故C正确；
, ,,故D正确.
故选 .
7.已知数列的前项和，则 ____.
15
[解析] 因为 ，
所以 ．
8.等差数列的前项和为，若 ，
则 的值为_____.
810
[解析] 因为 是等差数列，
所以，故 ，
所以 .
9.（13分）已知等差数列的前项和为,, .
（1）求, ；
解：设等差数列的公差为 ，
由, ，
得解得
所以， .
（2）求使成立的 的最小值．
解：由（1）知，， ，
由，得 ，
即，解得或，而，所以 .
9.（13分）已知等差数列的前项和为,, .
10.（13分）［2025·福建福州一中高二月考］ 已知数列的前 项
和 ．
（1）当时，求证：该数列 是等差数列；
证明：当时，，令 ，得
，
当时， ，所以
.
又 ，
所以 ，
所以 ，可得数
列是公差为 的等差数列.
（2）若数列是等差数列，求 的值．
解： ，
令，得 ，
当时， ，
所以 ，
所以 ，
若数列是等差数列，则，所以 ．
11.［2025·山东济宁一中高二质检］已知等差数列的前 项和为
,该数列共有项，若 ，
，，则项数 为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
√
[解析] ，， ，
，
，，解得 ，
，解得 .故选B.
12.（多选题）［2025·湖北武汉一中高二质检］ 已知等差数列
的前项和为，公差为，若 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
，故等差数列 的首项为负，公差为正，所以
，，故A正确，B错误；
由 ，可知 ，所以
，故C错误；
因为 ，所以，故D正确．
故选 .
√
√
13.已知等差数列，的前项和分别为，，若 ,
则 __.
[解析] 等差数列，的前项和分别为，，且 ,
所以 .
14.［2025·江苏常州一中高二质检］若等差数列的首项 ，
公差，记，则
_ ___________________________．
[解析] 因为，，所以 ，
可得等差数列的前项和 ，
令，解得，且，当 时，
；
当 时， .综上所述， .
15.已知等差数列和的前项和分别为，，且 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列的公差为，等差数列的公差为 ，
则，，
√
故 ，
又，所以不妨令 且
解得且
故 ，故选A.
16.（15分）已知数列的前项和为，且 .
（1）求,, 的值；
解：， ，
，
，
,, .
（2）求证： .
证明：当 时，
，
当为奇数时， ，
；
当为偶数时， ，
.
，
.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 倒序相加法
知识点二 1.
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）×
课中探究 例1 （1）（2），（3）>
变式 B 例2 （1）（2）（3）（4）
变式 （1）B （2）B
快速核答案（练习册）
1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.ACD 7.15 8.810
9.（1），（2）
10.（1）略（2）
11.B 12.AD 13. 14.
15.A
16.（1）,,（2）略4.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
【课前预习】
知识点一
倒序相加法
知识点二
　na1+d
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由
解得
所以S10=10×20+×(-2)=200-90=110.
(2)由Sn=n·+·=-15,
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=+(12-1)×=-4.
(3)由a1+a2+a3+a4=40,an-3+an-2+an-1+an=80(n>4),可得4(a1+an)=40+80,即a1+an=30.
又因为Sn==210,所以n==14.
变式　B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a1+a5+a9=a1+(a1+4d)+(a1+8d)=3(a1+4d)=3a5=15,所以a5=5,又a1+a9=2a5,所以S9==9a5=45.故选B.
探究点二
例2　解:(1)设该等差数列的前12项中偶数项之和为S偶,奇数项之和为S奇,
则解得
由S偶-S奇=6d,得d=5.
(2)方法一:设等差数列{an}的公差为d,∵等差数列{an}的前n项和为Sn,=4,∴=4,整理得d=2a1,
∴===.
方法二:数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6也成等差数列.
∵=4,∴=3,则数列S3,S6-S3,S9-S6是以S3为首项,2S3为公差的等差数列,∴S9-S6=5S3,S6=4S3,得S9=9S3,故=.
(3)=====.
(4)设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3a1+15d=3a6,
又b2+b10=2b6,∴==·,
∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,∴====,
∴=·=×=.
变式　(1)B　(2)B　[解析] (1)由=,令Sn=An(5n-2),则Tn=An(3n+1),所以a11=S11-S10=103A,b20=T20-T19=118A,所以==,故选B.
(2)设等差数列的公差为d,根据等差数列的性质得nd=30-24=6,a2n-a1=(2n-1)d=10.5,可得n=4,故该数列的项数为2n=8.故选B.4.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
1.[2025·广东广州越秀区高二期末] 已知等差数列{an}的前9项和为99,a1=3,则公差d=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3
C.9 D.12
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2-4n,则an= (　 )
A.n-4 B.-2n-1
C.3n-6 D.2n-5
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-3,2a4+3a7=9,则S7的值为 (　 )
A.21 B.1
C.-42 D.0
4.[2025·湖南长沙一中高二月考] 若数列{an}满足2an+1=an+an+2,且a3+a13=14,则{an}的前15项和S15= (　 )
A.135 B.105
C.90 D.75
5.[2025·江苏苏州中学高二质检] 在中国古代数学名题中有一道“八子分绵”的题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”其题意是把996斤绵分给八个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序,从第二个儿子开始,每人分到的绵比前一人多17斤,则第八个儿子分到的绵是 (　 )
A.65斤 B.82斤
C.167斤 D.184斤
6.(多选题)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=27,a2+a10=10,则 (　 )
A.a1=-5 B.S6=2
C.Sn≥S3 D.S7=a7
7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a3+a4+a5=　　　　.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则S9的值为　　　　.
9.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=S5,a4+2a5=10.
(1)求an,Sn;
(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
10.(13分)[2025·福建福州一中高二月考] 已知数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r.
(1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列;
(2)若数列{an}是等差数列,求r的值.
11.[2025·山东济宁一中高二质检] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),该数列共有m项(m≥5,m∈N*,n≤m),若S4=22,Sm=330,Sm-4=176,则项数m为 (　 )
A.10 B.15
C.20 D.25
12.(多选题)[2025·湖北武汉一中高二质检] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若S10A.d>0 B.a1>0
C.S20<0 D.S21>0
13.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=　　　　.
14.[2025·江苏常州一中高二质检] 若等差数列{an}的首项a1=13,公差d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,则Tn=　　　　　　　　　　.
15.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则= (　 )
A. B. C. D.
16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+(-1)n.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求证:a1+a3+a5+…+a2n+1第1课时　等差数列的前n项和
1.A　[解析] 等差数列{an}的前9项和为99,a1=3,则9×3+36d=99,所以d=2.故选A.
2.D　[解析] 当n=1时,a1=12-4=-3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-4n-[(n-1)2-4(n-1)]=2n-5.又当n=1时也满足an=2n-5,故an=2n-5(n∈N*).故选D.
3.D　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,∵2a4+3a7=9,∴2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1,∴S7=7×(-3)+=0.故选D.
4.B　[解析] 因为2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列,所以S15====105.故选B.
5.D　[解析] 设八个儿子按年龄从大到小的顺序依次分绵a1斤,a2斤,a3斤,…,a8斤,则数列{an}(n∈N*,n≤8)是公差为17的等差数列,设其前n项和为Sn,因为绵的总重量为996斤,所以S8=8a1+×17=996,解得a1=65,则第八个儿子分到的绵是a8=65+7×17=184(斤).故选D.
6.ACD　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由解得
故A正确;S6=6a1+d=0,故B错误;Sn=-5n+×2=n2-6n=(n-3)2-9≥-9,当且仅当n=3时取等号,∴Sn≥S3,故C正确;S7=-5×7+×2=7,a7=-5+6×2=7,∴S7=a7,故D正确.故选ACD.
7.15　[解析] 因为Sn=n2-2n,所以a3+a4+a5=S5-S2=25-2×5-(4-2×2)=15.
8.810　[解析] 因为{an}是等差数列,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,故a5=90,所以S9===9a5=810.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a3=S5,a4+2a5=10,
得解得
所以an=a1+(n-1)d=2n-6,Sn==n2-5n.
(2)由(1)知,an=2n-6,Sn=n2-5n,
由Sn>an,得n2-5n>2n-6,
即n2-7n+6>0,解得n<1或n>6,而n∈N*,所以nmin=7.
10.解:(1)证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,令n=1,得a1=S1=25-2=23,
当n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n.
又a1=27-4=23,
所以an=27-4n(n∈N*),
所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4(n≥2),可得数列{an}是公差为-4的等差数列.
(2)Sn=25n-2n2+r,
令n=1,得a1=S1=25-2+r=23+r,
当n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n(n≥2),
所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4(n≥2),
若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0.
11.B　[解析] ∵m≥5,Sm=330,Sm-4=176,∴am-3+am-2+am-1+am=Sm-Sm-4=154,又S4=a1+a2+a3+a4=22,∴a1+a2+a3+a4+am-3+am-2+am-1+am=4(a1+am)=176,解得a1+am=44,∴Sm==22m=330,解得m=15.故选B.
12.AD　[解析] 因为S100,故等差数列{an}的首项为负,公差为正,所以d>0,a1<0,故A正确,B错误;由S90,所以S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,故C错误;因为a11>0,所以S21=21a11>0,故D正确.故选AD.
13.　[解析] 等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,所以======.
14.n∈N*
[解析] 因为a1=13,d=-4,所以an=13-4(n-1)=17-4n,可得等差数列{an}的前n项和Sn==15n-2n2,令an=17-4n>0,解得n<,且n∈N*,当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=15n-2n2;当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)=S4-(Sn-S4)=2S4-Sn=56+2n2-15n.综上所述,Tn=n∈N*.
15.A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d1,等差数列{bn}的公差为d2,则Sn=na1+d1,Tn=nb1+d2,故==
=,又=,所以不妨令且解得且
故===,故选A.
16.解:(1)∵Sn=n2+(-1)n,∴a1=S1=12+(-1)=0,
a2=S2-S1=22+(-1)2-0=5,a3=S3-S2=32+(-1)3-5=3,
∴a1=0,a2=5,a3=3.
(2)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+(-1)n-[(n-1)2+(-1)n-1]=2n-1+2(-1)n,
当n(n≥3)为奇数时,an=2n-3,
∴a1+a3+a5+…+a2n+1=0+3+7+…+2(2n+1)-3==2n2+n;
当n(n≥2)为偶数时,an=2n+1,
∴a2+a4+a6+…+a2n=5+9+…+(2×2n+1)==2n2+3n.
∵2n2+3n-(2n2+n)=2n>0,
∴a1+a3+a5+…+a2n+1第1课时　等差数列的前n项和
【学习目标】
　　1.能推导等差数列的前n项和公式,能说出“倒序相加法”的特点、适用条件及操作步骤.
　　2.能说明等差数列前n项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决一些简单问题.
◆ 知识点一　倒序相加法
如果一个数列{an}中,与首末项等“距离”的两项之和等于首末两项之和,那么求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,这样就得到了一个常数列的和,进而求得数列{an}的前n项和,这一求和方法称为　　　　　　.
◆ 知识点二　等差数列的前n项和公式
1.等差数列{an}的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差d与项数
求和公式 Sn=　　　 Sn=　　　　　
2.两个公式的关系:把an=a1+(n-1)d代入Sn=,就可以得到Sn=na1+d.
◆ 知识点三　等差数列的前n项和的性质
等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质
性质1 等差数列中依次k项之和Sk,-Sk,-, …组成公差为k2d的等差数列
性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=; 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)·an(an是数列的中间项),S奇-S偶=an,=
性质3 {an}为等差数列 为等差数列
性质4 若{an},{bn}都为等差数列,Sn,Tn分别为它们的前n项和,则=(m∈N*)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知等差数列{an}的公差为d,则当n≥2时,等差数列{an}的前n-1项的和Sn-1=(n-1)a1+d. (　 )
(2)等差数列{an}的前n项和公式是关于正整数n的二次函数. (　 )
(3)等差数列{an}的前n项和公式的常数项为0. (　 )
(4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等. (　 )
◆ 探究点一　等差数列前n项和的基本计算
例1 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
(1)已知a3=16,S20=20,求S10;
(2)已知a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12;
(3)已知a1+a2+a3+a4=40,n>4,an-3+an-2+an-1+an=80,Sn=210,求n.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 设等差数列{an}的前n项和是Sn,若a1+a5+a9=15,则S9= (　 )
A.5 B.45 C.15 D.90
[素养小结]
解决等差数列前n项和计算问题的思想方法
1.方程思想:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.
2.整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
3.利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,常与前n项和公式Sn=结合使用.
◆ 探究点二　等差数列的前n项和的性质
例2 (1)已知一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27,求公差d.
(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=4,求.
(3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,求.
(4) 已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,求.
变式 (1)[2025·江苏南京一中高二调研] 已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则的值为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2025·山东临沂一中高二月考] 一个等差数列共有2n项,奇数项的和与偶数项的和分别为24和30,且末项比首项大10.5,则该数列的项数是 (　 )
A.4 B.8
C.12 D.20
[素养小结]
1.涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题,宜用等差数列前n项和的性质求解.
2.涉及两个等差数列有限项和之比的问题,通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理.
3.涉及等差数列中与(Sn为等差数列的前n项和)有关的问题,可利用是等差数列解决.

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