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(共73张PPT)
4.4 数学归纳法
探究点一 数学归纳法的原理
探究点二 数学归纳法的应用
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课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明与正整数 有关的一些简单命题.
知识点一 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当________________时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当____________________时命题成立，证明
当__________时命题也成立．
根据就可以断定命题对于从____开始的所有正整数 都成
立．这种证明方法叫作数学归纳法．
知识点二 数学归纳法的证明形式
记是一个关于正整数 的命题．我们可以把用数学归纳法证明的
形式改写如下：
条件：（1）_______为真；（2）若______为真，则_________也为真．
结论：______为真．
知识点三 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当_______时结论
成立，即命题___________；第二步是证明一种______关系，实际上
是要证明一个新命题：_____________________________．只要将这
两步交替使用，就有_______真，__________真……______真，
_________真 ，从而完成证明．
为真
递推
若为真，则也为真
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）与正整数 有关的数学命题只能用数学归纳法证明.( )
×
（2）数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1.( )
×
（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
√
探究点一 数学归纳法的原理
例1（1）用数学归纳法证明
,是正整数,在验证
时,左边所得的项为( )
A.1 B.
C. D.
[解析] 当时,等式为,
在验证 时,左边所得的项为 .故选C.
√
（2）用数学归纳法证明不等式
的过程中,由 递推到
时,不等式左边( )
A.增加了
B.增加了
C.增加了
D.增加了
√
[解析] 当时,可得 ,
当时,可得,
所以由 递推到时,不等式左边增加了 .
故选C.
（3）利用数学归纳法证明不等式
的过程中,由 到
时,左边增加了( )
A.1项 B.项 C.项 D. 项
[解析] 增加的项为,共 项.
√
变式 已知 ，用数学归纳法证明
时， _____________________.
[解析] 当时，，则当 时，
，所以 .
［素养小结］
弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律,才能清楚增加（减少）了
哪些项或增加（减少）了多少项.
探究点二 数学归纳法的应用
角度1 证明与 有关的等式
例2 用数学归纳法证明:
.
证明:设，当时， ，等式成立.
假设当 时，等式成立，
即 ，
所以 ，
这说明当 时，等式成立，
所以 .
变式 用数学归纳法证明: .
证明:记 .
当时，有 ，等式成立.
假设当 时，等式成立，即
，
则 ，这说明当
时，等式成立，故对任意的 ，
.
［素养小结］
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述
时命题的形式,二是要准确把握由到时,命题结构
的变化特点,即弄清从到时,等式两端增加了哪些项,减
少了哪些项.并且一定要记住，在证明成立时,必须使用归纳
假设.
角度2 证明不等式问题
例3 用数学归纳法证明：, ．
证明:（1）当时，左边，右边 ,不等式成立.
（2）假设时不等式成立，即 ；
则当时，左边 ，
右边 ，
，
，， ，
则当时， ，不等式成立，
综上可得, ．
变式 用数学归纳法证明： .
证明:（1）当时,左边,右边,即当 时,
不等式成立.
（2）假设当 时,不等式成立,即
,则当时, ,即当
时,不等式也成立.
由（1）（2）得,不等式对所有的 都成立.
［素养小结］
在利用数学归纳法证明不等式的第二步中,必须用上归纳假设,但具体
的证明过程可以灵活运用作差比较大小或放缩等方法.
角度3 证明数列问题
例4 已知数列的通项公式为,记该数列的前 项和为 .
（1）计算,,, 的值;
解：因为,所以 ,
,
,
.
（2）根据计算结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法证明.
解：猜想, ,下面用数学归纳法证明.
①当时, ,猜想成立.
②假设当时,猜想成立,则有 ,
则当 时,
,所
以当 时,猜想也成立.
由①②可知,对任何,均有 .
变式 设为数列的前项和,且对于任意,都有 .
（1）求,, ;
解： 对于任意,都有 ,
, .
,即 ,
,
即, .
（2）猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法证明.
解：猜想 ，证明如下.
①当时, ,猜想显然成立;
②假设当时,猜想成立,即,则当 时,
,
,即当 时,猜想也成立.
由①②可知,对一切 都成立.
［素养小结］
用数学归纳法解决数列问题的两个步骤:
（1）归纳:通过写出数列中的若干项,归纳出数列的通项公式或前项
和公式;
（2）证明:利用数学归纳法证明归纳出的结论.
角度4 证明整除问题
例5 求证:能被 整除.
证明:（1）当时, ,能被
整除.
（2）假设当时命题成立，即 能被
整除,则当时,,其中 能被
整除,所以能被 整除,所以
能被 整除,
即当 时,命题也成立.
由（1）（2）知,能被 整除.
变式 是否存在正整数使得对任意正整数
都能被整除 若存在,求出最大的 的值,并证明你的结论;若不存在,
请说明理由.
解：,,所以,
的最大公约数为36,猜想:对任意的, 能被36整除.
①当 时,猜想显然成立.
②假设当时,猜想成立,即 能被
36整除,即存在,使得 ,
时, ,
因为为奇数,所以为偶数,则 能被36整除,所
以能被36整除,即当 时,猜想也成立.
由①②知,对任意的, 都能被36整除.
故存在满足题意的,且 的最大值为36.
［素养小结］
利用数学归纳法证明整除问题,关键是熟练掌握数学归纳法的基本步
骤,根据步骤对代数式变形处理.
1.数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明，第一个步骤是要找一个
数，这个 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自
然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“ ”到“
”的过程中，要正确分析式子项数的变化．弄清等式两边的构
成规律，弄清由到 时，等式的两边会增加多少项，增
加怎样的项．
（3）利用假设是核心：在第二步证明“ 时命题成立”时，一
定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“ 时命题成立”作为条件
来导出“”，在书写时，一定要把包含 的式子
写出来，尤其是 中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用
归纳假设的证明就不是数学归纳法．
2.“归纳——猜想——证明”的一般环节：
（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前提；
（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一
般的结论；
（3）证明:对一般结论利用数学归纳法进行证明.
3.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项
（1）明确初始值 并验证真假（必不可少）；
（2）“假设 时命题正确”并写出命题形式；
（3）分析时命题是什么，并找出与 时命题形式的差
别，弄清左端应增加的项；
（4）验证时命题正确，注意应用 时的命题，并明确
等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分
解、添拆项、配方等.
1.多米诺骨牌
多米诺骨牌是一种木制、骨制或用塑料制成的长方体骨牌,起源于中
国北宋时期,由意大利传教士等带往欧洲.玩时将骨牌按一定间距排列,
轻轻碰倒第一枚骨牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次倒下.
多米诺是一种游戏,多米诺是一种运动,多米诺还是一种文化.多米诺游
戏的关键步骤是码放,骨牌准确摆放不仅是对自己负责,更是对别人负
责,对全局负责,只要有一张牌摆放的不到位就可能产生“不倒牌”而影
响全局.
2.数学归纳法
（1）数学归纳法是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推
理分为完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据
一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的
性质,这种推理方法在数学推理论证中是不允许的;完全归纳推理是在
考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论.数学归纳法是用来证明
某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广
泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在
（或）时成立,这是递推的基础,第二步是假设在 时命题
成立,再证明 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,
它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确
性突破了有限,达到无限.这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两
步,就可以断定“对任何自然数（或且 ）结论都正确”.由
这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳.
（2）数学归纳法的适用范围:数学归纳法是与正整数关系很深的一
类证明方法,通常用于证明某个命题函数对于所有正整数 为真.
数学归纳法仅能用于证明某个猜想或推测是否为真,而无法用于发现
新的理论.
（3）数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可,归纳奠基是递推
的基础,归纳递推是递推的依据,二者是一个整体,不能割裂开来.就像
多米诺骨牌游戏,第一块不倒,后面的牌肯定不倒,中间的任意一块不倒,
游戏也不能继续,游戏是环环相扣的.
除了用归纳递推外,还要注意第一步中起始值的确定,最后要归纳结论,
所以一定要牢记“两个步骤一个结论”.
（4）用数学归纳法证明时有一个技巧,即当 时,代入假设后再
写出结论,然后往中间“凑”.但中间的计算过程必须有,不能省略也不能含
糊不清.这一步是数学归纳法的精华所在,是阅卷老师关注的重要环节.
练习册
1.用数学归纳法证明“对于任意满足的正整数 都成立”
时，第一步证明中的初始值 应取( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 当时，；当时，；
当 时，；当时，；
当时，；当 时，.
则第一步证明中的初始值 应取5.故选D.
√
2.用数学归纳法证明：
A. B.
C. D.
，
第二步从到 ，等式左边应添加的项是( )
√
[解析] 等式左边的特点是各数先递增再递减，当 时，左边
,则当
时，左边 ，比较两式可得，等式左边应添加的式子是
，故选C．
3.用数学归纳法证明“ ”时，
假设当时命题成立，则当 时，不等式左边增加的项为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时，不等式左边等于 ,
，当 时，不等式左边等于
,
则当 时，不等式的左边比 时增加的项为
.故选D.
4.已知 为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设
且为偶数 时等式成立，则还需要证明( )
A.时等式成立 B. 时等式成立
C.时等式成立 D. 时等式成立
[解析] 已假设，为偶数时等式成立，
因为 只能取偶数，所以还需要证明 时等式成立．故选B.
√
5.在用数学归纳法求证“
为正整数 ”
的过程中，从“到 ”左边需增乘的代数式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当 时，左边
，当
时，左边 ，
则 .故选D.
6.（多选题）设是定义在正整数集上的函数,且 满足:“当
成立时,总可以推出 成立”,那么下列中
说法错误的是( )
A.若成立,则当时,均有 成立
B.若成立,则当时,均有 成立
C.若成立,则当时,均有 成立
D.若成立,则当时,均有 成立
√
√
√
[解析] 对于A,若成立,则由题意只能推出当 时,均有
成立,故A中说法错误;
对于B,若 成立,则由题意只能推出当时,均有
成立,故B中说法错误;
对于C,因为 不满足题设条件,所以不能得出相应结论,
故C中说法错误;
对于D,若成立,则当时,均有 成立,
故D中说法正确.
故选 .
7.用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被 整除”的第二
步是:假设当_______时命题正确,再证明当 _______时
命题正确.
[解析] 因为用数学归纳法证明当为正奇数时,能被 整除,
所以第一步,当时,，能被 整除;
第二步,假设当时命题正确,再证明当 时,
命题正确.
8.用数学归纳法证明: .假设当
时,不等式成立,则当 时,应推证的目标不等式
是_ __________________________.
[解析] 从不等式结构看,当时,左边最后一项为 ,前面
的分母的底数是连续的整数,右边的式子为 ,则应推证的目
标不等式为 .
9.（13分）已知数列满足, .尝试通过计算数
列的前四项，猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：已知，利用递推公式计算得 ，
， ，
由此猜想，对任何正整数，都有 ．
下面用数学归纳法证明这一猜想．
（1）当时， ，所以猜想成立；
（2）假设当为正整数时，猜想成立，即 ，
那么当时， ，猜想也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可知对任何正整数 都成立．
10.（13分）用数学归纳法证明不等式
.
证明:①当时,左边,右边 ,
左边 右边,所以结论成立.
②假设当 时结论成立,即 ,
则当 时,
,
要证明当时结论成立,只需证 ,
即证 .
由基本不等式得 ,故
成立,
故 成立,
所以当 时,结论成立.
由①②可知,当时,不等式 成立.
11.利用数学归纳法证明不等式
的过程中，由变到 时，左边增加了( )
A.1项 B.项 C.项 D. 项
[解析] 由题意知，不等式的左边各式的分子都为1，分母从1开始到
，故共有项，
易知由变到 时，左边由项增加到 项，
所以左边增加了 （项）.故选D.
√
12.平面上个圆最多把平面分成 个区域，通过归纳推理猜
测 的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，
当 时，需证( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意得，，， ，
依此类推, ，
归纳猜测.
当时， ，猜测成立；
假设当时猜测成立，即，
则当 时，
需证 .
故选D.
13.数学的浪漫难以言表，今年是2025年， ,
，我们将可以表
示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份称为
“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，根
据今年和下一个完美平方年的时间间隔，标题可起为“______年之
约”.（用数字作答）
1000
，
则猜想 ，
证明如下：当 时，，猜想成立；
假设当 时，猜想成立，
成立，则当时，,所以当 时，
也成立.
故对任意 猜想都成立.由 ，
得下一个完美平方年为
（年），因为
，所以标题可起为“1000年之约”.
14.已知函数，若 ，
，则_______ ．
[解析] ， ，
猜想,下面用数学归纳法证明.
当 时，等式显然成立.
假设当时等式成立，即 成
立，则当时， ，即当
时，等式也成立.
综上可知 .
15.空间内个平面最多可将空间分成 个部分,且
,则,, 的值分别为_____.
,0,
[解析] 易知,,,所以 解
得下面用数学归纳法证明, .
①当时,由 可知等式成立.
②假设当时等式成立,即 ,那么当
时,在个平面的基础上再添加第个平面,它和前 个平
面都相交,所以可以得到 条互不平行的交线,且其中任何3条交线都不
共点,这条交线可以把第个平面最多划分成 个
部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域,因此,空间区
域的总个数增加了 ,
,即当 时,等式也成立.
由①②可知, ,.所以,, .
16.（15分）如图所示的图形类似于中国结的一种刺绣图案，这些图
案由小正方形构成，其数量越多，图案越美丽，后面图形的摆放规
律与前4个图中小正方形的摆放规律相同，设第 个图中所包含的小
正方形个数为 ．
（1）利用归纳推理思想，归纳出与 的关系，并通过你
所得到的关系式，求出 的表达式；
解：由题中图知，，，， ,
则，， ，
归纳可得 .
则，，， ，
，
以上 个等式相加得
，又 满足上式，
所以 .
（2）计算， ，
的值，猜想
的结果，并用数学
归纳法证明．
解： ，
，
，
猜想 .
证明:当时，， ，
所以当 时猜想成立，
假设当 时猜想成立，
即 ，
则当 时， ，
所以当时，猜想成立.
综上可知，对任意， 都有
.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一（1） （2）

知识点二
知识点三 为真 递推 若为真，则也为真

【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
课中探究 例1 （1）C （2）C （3）D 变式
例2 略 变式 略 例3 略 变式 略
例4 （1）,,, （2）变式 （1）, ,（2）
例5 略 变式 36
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.ABC 7. 8.

9. ，，，，猜想
10.略 11.D 12.D 13.1000 14. 15.,0,
16.（1）,
（2），，
，
猜想.4.4　数学归纳法*
【课前预习】
知识点一
(1)n=n0(n0∈N*)
(2)n=k(k∈N*,k≥n0)　n=k+1　n0
知识点二
P(n0)　P(k)　P(k+1)　P(n)
知识点三
n=n0　P(n0)为真　递推
若P(k)为真,则P(k+1)也为真
P(n0)　P(n0+1)　P(k)　P(k+1)
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)C　(3)D　[解析] (1)当n=1时,等式为1+a+a2=,在验证n=1时,左边所得的项为1+a+a2.故选C.
(2)当n=k(k≥2,k∈N*)时,可得++…+>,当n=k+1时,可得++…+++>,所以由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加了+-.故选C.
(3)增加的项为+++…+,共2k项.
变式　++…+
[解析] 当n=k时,f(2k)=1+++…+,则当n=k+1时,f()=1+++…+++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-=++…+.
探究点二
例2　证明:设Tn=1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+),当n=1时,T1=1×4=1×(1+1)2,等式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,
即Tk=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,
所以Tk+1=Tk+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=(k+1)[k(k+1)+3k+4]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+2)2,
这说明当n=k+1(k∈N+)时,等式成立,所以1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+).
变式　证明:记Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
当n=1时,有S1=1=12,等式成立.
假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即Sk=1+3+5+…+(2k-1)=k2,
则Sk+1=Sk+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2,这说明当n=k+1(k∈N+)时,等式成立,故对任意的n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2.
例3　证明:(1)当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥3,k∈N)时不等式成立,即2k+2>k2;
则当n=k+1时,左边=2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2,
右边=(k+1)2=k2+2k+1,
∵2k2-2-(k2+2k+1)=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,
∴2k2-2≥(k+1)2,k≥3,k∈N,
则当n=k+1时,2k+1+2>(k+1)2,不等式成立,
综上可得2n+2>n2(n≥3,n∈N).
变式　证明:(1)当n=1时,左边=1+=,右边=+1=,即当n=1时,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+≤+k,则当n=k+1时,1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)得,不等式对所有的n∈N*都成立.
例4　解:(1)因为an==-,所以S1=-1,S2=-+-=-1,
S3=-+-+-=-1=1,S4=-+-+-+-=-1.
(2)猜想Sn=-1,n∈N*,下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,S1=-1=-1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,则有Sk=-1,
则当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=-1+-=-1,所以当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对任何n∈N*,均有Sn=-1.
变式　解:(1)∵对于任意n∈N*,都有Sn=+,
∴S1=+,∴a1=S1=1.
∵S2=+,即a1+a2=2+,
∴a2=2.∵S3=+,即a1+a2+a3=+,∴a3=3.
(2)猜想an=n(n∈N*),证明如下.
①当n=1时,a1=1,猜想显然成立;
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=k,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=+--=+--,∴ak+1=k+1,即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,an=n对一切n∈N*都成立.
例5　证明:(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.
(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,其中ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,所以a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,所以a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,即当n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被a2+a+1整除.
变式　解:f(1)=9×3+9=36,f(2)=11×9+9=108,所以f(1),f(2)的最大公约数为36,猜想:对任意的n∈N*,f(n)能被36整除.
①当n=1时,猜想显然成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,即存在t∈N*,使得f(k)=(2k+7)·3k+9=36t,则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=3(2k+7)·3k+2·3k+1+9=3(36t-9)+2·3k+1+9=108t+2·3k+1-18=108t+18(3k-1-1),
因为3k-1为奇数,所以3k-1-1为偶数,则18(3k-1-1)能被36整除,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②知,对任意的n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.
故存在满足题意的m,且m的最大值为36.4.4　数学归纳法*
1.D　[解析] 当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;当n=5时,25>52;当n>5时,2n>n2.则第一步证明中的初始值n0应取5.故选D.
2.C　[解析] 等式左边的特点是各数先递增再递减,当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,则当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,比较两式可得,等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2,故选C.
3.D　[解析] 当n=k时,不等式左边等于+++…+,k∈N+,当n=k+1时,不等式左边等于+++…++,则当n=k+1时,不等式的左边比n=k时增加的项为++-=+-.故选D.
4.B　[解析] 已假设n=k(k≥2,k为偶数)时等式成立,因为n只能取偶数,所以还需要证明n=k+2时等式成立.故选B.
5.D　[解析] 当n=k时,左边A=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),当n=k+1时,左边B=(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k+2),则===2(2k+1).故选D.
6.ABC　[解析] 对于A,若f(3)≥9成立,则由题意只能推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A中说法错误;对于B,若f(5)≥25成立,则由题意只能推出当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,故B中说法错误;对于C,因为f(7)<49不满足题设条件,所以不能得出相应结论,故C中说法错误;对于D,若f(4)=25≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,故D中说法正确.故选ABC.
7.2k-1　2k+1　[解析] 因为用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除,所以第一步,当n=1时,x1+y1=x+y,能被x+y整除;第二步,假设当n=2k-1(k∈N*)时命题正确,再证明当n=2k+1时,命题正确.
8.++…+>-　[解析] 从不等式结构看,当n=k+1时,左边最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数,右边的式子为-,则应推证的目标不等式为++…+>-.
9.解:已知a1=1,利用递推公式计算得a2=a1+=2,a3=a2+=3,a4=a3+=4,
由此猜想,对任何正整数n,都有an=n.
下面用数学归纳法证明这一猜想.
(1)当n=1时,a1=1,所以猜想成立;
(2)假设当n=k(k为正整数)时,猜想成立,即ak=k,
那么当n=k+1时,ak+1=ak+=k+=k+1,猜想也成立.
根据(1)和(2),由数学归纳法可知an=n对任何正整数n都成立.
10.证明:①当n=1时,左边=,右边=,
左边>右边,所以结论成立.
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即××…×>,
则当n=k+1时,
××…××>×=,
要证明当n=k+1时结论成立,只需证≥,
即证≥.
由基本不等式得=>,故≥成立,
故≥成立,
所以当n=k+1时,结论成立.
由①②可知,当n∈N*时,不等式××…×>成立.
11.D　[解析] 由题意知,不等式的左边各式的分子都为1,分母从1开始到(3n-1),故共有(3n-1)项,易知由n=k变到n=k+1时,左边由(3k-1)项增加到(3k+1-1)项,所以左边增加了(3k+1-1)-(3k-1)=2×3k(项).故选D.
12.D　[解析] 由题意得,a1=2,a2=2+1×2,a3=2+1×2+2×2,依此类推,an=2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=n(n-1)+2,归纳猜测an=n2-n+2.当n=1时,a1=2,猜测成立;假设当n=k(k∈N*)时猜测成立,即ak=k2-k+2,则当n=k+1时,需证ak+1=(k+1)2-(k+1)+2=(k2-k+2)+2k=ak+2k.故选D.
13.1000　[解析] 由题知(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2=2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93,则猜想13+23+…+n3=(1+2+…+n)2(n∈N*),证明如下:当n=1时,13=12,猜想成立;假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2成立,则当n=k+1时,13+23+…+k3+(k+1)3=(1+2+…+k)2+(k+1)3=+(k+1)3=(k+1)2·=(k+1)2·==[1+2+…+k+(k+1)]2,所以当n=k+1时,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2也成立.故对任意n∈N*猜想都成立.由2025=(1+2+…+9)2,得下一个完美平方年为(1+2+…+10)2==3025(年),因为3025-2025=1000,所以标题可起为“1000年之约”.
14.　[解析] f1(x)=f(x)=,f2(x)=f[f1(x)]==,猜想fn(x)=(n∈N*),下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式显然成立.假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即fk(x)=成立,则当n=k+1时,fk+1(x)==,即当n=k+1时,等式也成立.综上可知fn(x)=(n∈N*).
15.,0,　[解析] 易知f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,所以解得下面用数学归纳法证明f(n)=n3+n+1,n∈N*.
①当n=1时,由f(1)=2可知等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即f(k)=k3+k+1,那么当n=k+1时,在k个平面的基础上再添加第k+1个平面,它和前k个平面都相交,所以可以得到k条互不平行的交线,且其中任何3条交线都不共点,这k条交线可以把第k+1个平面最多划分成个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域,因此,空间区域的总个数增加了k2+k+1,所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1=k3+k+1+k2+k+1=(k+1)3+(k+1)+1,即当n=k+1时,等式也成立.由①②可知,f(n)=n3+n+1,n∈N*.所以a=,b=0,c=.
16.解:(1)由题中图知,f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
则f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,
归纳可得f(n+1)=f(n)+4n.
则f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,
f(n)-f(n-1)=4n-4(n≥2),
以上n-1(n≥2)个等式相加得
f(n)-f(1)=4+8+…+4n-4=(n-1)×=2n(n-1)(n≥2),
又f(1)-f(1)=0满足上式,
所以f(n)=2n2-2n+1(n∈N*).
(2)+=+==-,
++=+==-,
+++=+==-,
猜想+++… +=-(n≥2,n∈N*).
证明:当n=2时,+=+=,-=,
所以当n=2时猜想成立,
假设当n=k(k≥2,k∈N*)时猜想成立,
即+++… +=-,
则当n=k+1时,
+++… ++=-+=-=-,
所以当n=k+1时,猜想成立.综上可知,对任意n∈N*,n≥2都有
+++… +=-.4.4　数学归纳法*
【学习目标】
　　1.了解数学归纳法的原理.
　　2.能用数学归纳法证明与正整数n有关的一些简单命题.
◆ 知识点一　数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的数学命题,可按如下两个步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当　　　　　　时命题成立;
(2)(归纳递推)假设当　　　　　　时命题成立,证明当　　　　时命题也成立.
根据(1)(2)就可以断定命题对于从　　　　开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
◆ 知识点二　数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:
条件:(1)　　　　为真;(2)若　　　　为真,则　　　　也为真.
结论:　　　　为真.
◆ 知识点三　数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中,第一步验证(或证明)了当　　　　时结论成立,即命题　　　　　;第二步是证明一种　　　　关系,实际上是要证明一个新命题:　　　　　　　　　　　　.只要将这两步交替使用,就有　　　　真,　　　　真……　　　　真,　　　　真……,从而完成证明.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题只能用数学归纳法证明. (　 )
(2)数学归纳法证明的第一步中n的初始值n0只能是1. (　 )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. (　 )
◆ 探究点一　数学归纳法的原理
例1 (1)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(0A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
(2)用数学归纳法证明不等式++…+>(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边 (　 )
A.增加了
B.增加了+
C.增加了+-
D.增加了-
(3)利用数学归纳法证明不等式1+++…+A.1项 B.k项
C.2k-1项 D.2k项
变式 已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　　　　.
[素养小结]
弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律,才能清楚增加(减少)了哪些项或增加(减少)了多少项.
◆ 探究点二　数学归纳法的应用
角度1　证明与n有关的等式
例2 用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+).
变式 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+).
[素养小结]
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点,即弄清从n=k到n=k+1时,等式两端增加了哪些项,减少了哪些项.并且一定要记住,在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
角度2　证明不等式问题
例3 用数学归纳法证明:2n+2>n2(n≥3,n∈N).
变式 用数学归纳法证明:1+++…+≤+n(n∈N*).
[素养小结]
在利用数学归纳法证明不等式的第二步中,必须用上归纳假设,但具体的证明过程可以灵活运用作差比较大小或放缩等方法.
角度3　证明数列问题
例4 已知数列{an}的通项公式为an=,记该数列的前n项和为Sn.
(1)计算S1,S2,S3,S4的值;
(2)根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
变式 设Sn为数列{an}的前n项和,且对于任意n∈N*,都有Sn=+.
(1)求a1,a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
[素养小结]
用数学归纳法解决数列问题的两个步骤:
(1)归纳:通过写出数列中的若干项,归纳出数列的通项公式或前n项和公式;
(2)证明:利用数学归纳法证明归纳出的结论.
角度4　证明整除问题
例5 求证:an+1+(a+1)2n-1(n∈N*,a∈N*)能被a2+a+1整除.
变式 是否存在正整数m使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意正整数n都能被m整除 若存在,求出最大的m的值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
[素养小结]
利用数学归纳法证明整除问题,关键是熟练掌握数学归纳法的基本步骤,根据步骤对代数式变形处理.4.4　数学归纳法*
1.用数学归纳法证明“2n>n2对于任意满足n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的初始值n0应取 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3
C.4 D.5
2.用数学归纳法证明:12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)(n∈N*),第二步从n=k到n=k+1,等式左边应添加的项是 (　 )
A.(k2+1)2
B.k2+1
C.(k+1)2+k2
D.(k+1)2+2k2
3.用数学归纳法证明“+++…+>1(n∈N*)”时,假设当n=k时命题成立,则当n=k+1时,不等式左边增加的项为(　 )
A.
B.-
C.++
D.+-
4.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要证明 (　 )
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
5.在用数学归纳法求证“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n为正整数)”的过程中,从“n=k到n=k+1”左边需增乘的代数式为 (　 )
A.2k+2
B.(2k+1)(2k+2)
C.
D.2(2k+1)
6.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可以推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么下列中说法错误的是 (　 )
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是:假设当n=　　　　(k∈N*)时命题正确,再证明当n=　　　　时命题正确.
8.用数学归纳法证明:++…+>-(n∈N*).假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　　　　　　.
9.(13分)已知数列{an}满足an+1=an+,a1=1.尝试通过计算数列{an}的前四项,猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
10.(13分)用数学归纳法证明不等式××…×>(n∈N*).
11.利用数学归纳法证明不等式1+++…+A.1项 B.k项
C.3k项 D.2×3k项
12.平面上n(n∈N*)个圆最多把平面分成an个区域,通过归纳推理猜测an的表达式,再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中,当n=k+1时,需证 (　 )
A.ak+1=ak+k+1
B.ak+1=ak+k2-k+2
C.ak+1=ak+k(k+1)
D.ak+1=ak+2k
13.数学的浪漫难以言表,今年是2025年,2025=452,2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93,我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份称为“完美平方年”,小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信,根据今年和下一个完美平方年的时间间隔,标题可起为“　　　　年之约”.(用数字作答)
14.已知函数f(x)=,若f1(x)=f(x),fn(x)=f[fn-1(x)](n≥2,n∈N*),则fn(x)=　　　　　　(n∈N*).
15.空间内n(n∈N*)个平面最多可将空间分成f(n)个部分,且f(n)=an3+bn2+cn+1,则a,b,c的值分别为　　　　　　.
16.(15分)如图所示的图形类似于中国结的一种刺绣图案,这些图案由小正方形构成,其数量越多,图案越美丽,后面图形的摆放规律与前4个图中小正方形的摆放规律相同,设第n个图中所包含的小正方形个数为f(n).
(1)利用归纳推理思想,归纳出f(n+1)与f(n)的关系,并通过你所得到的关系式,求出f(n)的表达式;
(2)计算+,++,+++的值,猜想+++… +(n≥2,n∈N*)的结果,并用数学归纳法证明.

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